книги из ГПНТБ / Журавлёв, Ю. И. Алгоритмы вычисления оценок и их применение [монография]

6) к найденным

для классовоценкам Г]5

Г2,

... , Г,

приме­

няется решающее

правило,

относящее распознаваемый

объект

к одному из классов или

отказывающееся

от

классификации

для оценок положим

шГ (S, S9) =

r(cuS, ш5? ),

ти

1 ' , Й =

2

*r is - s -y-

r " (S )= 2

r . W .

q -ш„ —г!-1

м ^ а л

а решение будем принимать, сравнивая величины

(S), ... , Г,(5)

и у, и---- 1, 2, ..., /, у — 1,

2, ..., /, то получится модель,

учи­

тывающая два параметра /г

и о,. Добавление в решающее

пра­

вило условия

1,

если

р

. е ,

г

р > s ,

О,

если

где шS = (<

а0;

h

h )

р — число невыполненных неравенств

вида

| я! - Р г| < 6Р *' = 1. 2- - . * •

Тогда необходимо

рассматривать дополнительный ряд числовых

параметров гр г2,

, sn и порог

s, т. е.

мы получим

модель,

зависящую от п -j- Т параметров.

количество

числовых

Таким образом,

привлекая различное

мы ^ описали

однопараметрические

(k),

двухпараметрические

(/г, о,), трехпараметрические

(/г,

8,, о.,) и (п

4)-мерные модели.

Назовем

(/г),

(k,

о,), (k, о,,

о2)

модели

малопараметрическими.

Модели,

зависящие от (/г +

4)

параметров,

при п <СП0

также

отнесем к группе

малопараметрнческих,

(/г +

4)-мерные

модели

при 1 0 5 0

будем именовать

среднепараметрическими мо­

делями оптимизации.

Важным частным случаем

(я + 4)-мерных, или (г,, г2, ...,

sn<

s, к, 8,, 82)-моделей является

пятипараметрическая модель,

по­

лучаемая при Sj = е2 = • • • = £я.

ствами мощности

k

множества

(1,

2, ...,я | (семейство

2/().

Вы­

бор опорной системы сводится к различению параметра

k.

2.

Функция

близости

задается

так

же, как

при построении

(я +

4)-мерной модели.

фиксированного

опорного

множества:

3.

Оценка по строкам

0)Г (5 . S„) =

Ti (Sq) г (wS,

+ д2 (5?).

Задаем оценку шГ как линейную функцию от величины

.

Коэффициенты

f2

являются

параметрами,

зависящими

от

строки S . Следовательно, полное задание

величины

шГ требует

параметров 1'! (Sj),

..., Ti (s m);

T2(5i)> — >T2(5™)-

Всего

необхо­

димо задать 2т параметров.

4.

Оценка Гц(ш)

по

фиксированному

опорному

множеству

АГ~:

(i>

r e W = Тз(ш. «)

2

шГ(5 , 5 ?)-

Полное задание Гц (ш)

требует наличия С* -I параметров т3 (ш, я) .

5.

Оценка

гц(5) =

2

т4(“)г„й-

Полное задание оценки требует наличия Скп параметров д4 (сн-).

6.

Решающее правило определяется заданием двух известны

параметров 84,

82.

k,

Ej, ••• , е „> S1 Т: ( S i ) ,

I I ( ^ m ) i

>

To ( ^ ш ) ’ ( Ш1> ^ ) >

....... 73 ( ‘°r;*-

l)’ -

.Ts

| “ cb

/ )>

7.i ("i).

•■■•T4 ( tuc*)’ Si’ S2’

t.

e. алгоритмы задаются

набором С* ( / +

1) +

2т +

/г-|-4пара­

Проанализируем три множества [Л], (Z), { z } ,

{ zczj

fZ ) .

Элементы А множества (Л) назовем алгоритмами, элементы Z

мно­

задачами,

или эталонами.

(Z) для каждого алгорит­

Будем

считать, что на множестве

ма Л из

{Л) существует функция

(Z) — эффективность реше­

<?, (Ж )=

II,

если Р(М) =

Р (Ж),

’

к '

Аv

л

[0,

если Р (Ж) Z P

(Ж).

Г если

= ЬА

( z ) , Z -+0,

где \Zj

— измеримое множество и р-

— мера на \ Z j ;

3)

= - ^ г f T ,( z ) v ( z W { z } ;

iA\z / (Z,

здесь

v \z} " О — важность задачи Z,

установленная

на

множе­

стве

{ z } .

1) —3),

удовлет­

Функции бл , определенные соотношениями

воряют

условиям

1 ° —2 °.

хотя бы один ал­

Во множестве алгоритмов {Л} существует

горитм

А-, на котором реализуется т а х б л . Такие алгоритмы Л*

в дальнейшем будем называть экстремальными.

рассматри­

Вместо функций

эффективности бл (Z),

можно

Пусть заданы

метрические

пространства

М 2, ..., М п с

метриками рр р2, .... , р

соответственно.

если а.еМ {, i =

Назовем

набор

( а р а2, ..., ап)

допустимым,

= 1, 2, ..., п. Обозначим

множество

всех допустимых наборов

через D. В

дальнейшем

будем предполагать, что существует

разбиение

D

на

систему

непересекающихся

подмножеств Кх,

К2, ..../С,, которые назовем классами.

Пусть также заданы

множества M R и М к при условиях:

1°. M r c .D,

Ж ^ С Д

2°. Kt [\M R непусто,

i =

1,

2,

...,

I.

выдает номер из множества (0, 1 , 2 ,

, /).

то будем

по­

Если алгоритм выдал

номер /, отличный от 0,

лагать, что А занес

предъявленный

элемент

из

D в класс

.

При

выдаче символа 0

алгоритм

отказался

от классификации

(распознавания) элемента из D.

множества M R,

М к ,

Кх,

К2 ,

В дальнейшем будем

считать

,...,

А' измеримыми.

Положим

M R п А,. = Kv i — 1, 2,

..., /.

класс K p j ^ O . В множество К10 отнесем

все элементы

из ЛГг,

которые алгоритм А отказался классифицировать.

О п р е д е л е н и е 2. Величину

(IV. 1)

назовем эффективностью алгоритма А, если

все Кп, i = 1,

2, ..., /

измеримы. Здесь |а (jWa-), и.

, / = 1 , 2 , . . . , / — меры множеств

Здесь

может быть определена

равенствами (IV. 1)

или

(IV.2).

Рассмотрим

величины

a . ., / =

1, 2,

/, j — 1. 2,

/, /=£/

и величины рг,

i =

1, 2,

Назовем

а., штрафом

за

отнесе­

ние элемента из класса К{ в класс Kj

и fl. — штрафом

за

отказ,

от распознавания элемента из Kt алгоритмом распознавания.

О п р е д е л е н и е

4. Величину

ства K,j, 1 <

i - /; 1

< j < l измеримы;

здесь jj. [к ^

— мера

мно­

жества ДО.

классы Kv ...,

Kt равноценны,

все a.tj равны

В случае,

когда

между собой.

5. Алгоритм

Лесть

экстремальный

алго­

О п р е д е л е н и е

ритм второго рода,

если на нем достигается нижняя грань б4 .

Если заданы также величины a..,

i =

1, 2, ...,

/ — меры

по­

ощрения за

правильное распознавание

элементов

класса Kv эф­

фективность

6 ^ определяется формулой

! < / < / ; 1 < /'

(IV.4>

I.

Так же, как в § 1

гл. II, множества MR, М к допустимых

наборов D будем задавать в виде таблиц, в которых наборы по

вертикали упорядочиваются

следующим образом. Сначала выпи-

сываются элементы класса Kv затем АГ, и

т.

д.

Множество M R

состоит

из

объектов

5^5.,,

, Sm, причем

к классу Л",

относят­

ся

объекты 5 р

5 . ,,

К

А о

+1 > 5

m +2> ••• ’

А

И’

•••' Sm.,

Ь.

А/ ^ т ^ + Р

(т1= ту Аналогично,

М к положим

составленным

из объектов

5[

, . . . , S q,

причем

объекты

i+1,

,

S

принадлежат

клас-

су

Кр

7 =

1, 2,

... , / , ? , =

q.

II.

Мы уже

описали

класс

алгоритмов

распознавания, осно

ванных на вычислении оценок, т. е. класс алгоритмов

вычисле­

ния оценок (А). Этот класс допускает

параметризацию (см. § 1

данной

главы), при которой

алгоритмы

из

(А)

могут быть

вза­

имно однозначно закодированы

наборами

значении

фиксирован­

ных числовых параметров. Если

из

внешних параметров

вводить

в рассмотрение лишь -^(S,.), именуемые

просто

-у(S,), то алго­

ритмы

вычисления

оценок

кодируются

набором значений

пара­

метров

k, зг

г2,

...,з /г,

г,

ч,,

7;.

, Tm> Sp

S

всеГ0

« +

т + 4

параметра.

алгоритмов

вычисления

оценок

функционалы

,

III.

Для

становятся функциями числовых аргументов:

V h —

'г’л

£ Р

“ 2 '

•

с

е

ip |о,

’ i f f l ’

V

О

^

у

v

О

•

е

z

v

«ч*

• ’• ■ , 7 „ р

V

3 2 ) .

' > л =

* Л ( * .

г 2-

’

И *

1 2 ’

Построение экстремального распознающего алгоритма сво­

дится,

таким

образом, к

отысканию

верхней

и нижней грани

функции многих переменных.

Можно ограничиться следующими значениями введенных

параметров:

1 < k< п — 1 ; 0 < г < k — 1 ; 0 < Тг < 1 ;

i =

1 , 2 , ...,

т;

0

-

<

1 .

Если

множества

yV/p

М 2,

...,

М п ограничены

и р)пах —

наиболь­

шее

расстояние

между

элементами М р то

параметр г. достаточно

варьировать

в отрезке

|0 ,

f>Ii”axJ.

Параметр

3t

можно

ограничить

•сверху

величиной

7f

j

.

Напомним еще

раз

формулу

для

эффективного

вычисления

величин Г„(5), учитывающую внешние параметры

7 (5 /).

Если

5;==( я„

яя ),

5

=

^

,

ра, ...,

ря ),

то

обозначив

через

г (5,

) количество

выполненных

неравенств

из

совокупности

P i ( ai>

. Рп ( я«- ?„)<*„•

можно

написать,

что

т и

Г,Д5)

v

Т (50

л--0

к—к

(7х

г“ т «-1+ 1

" -r ( s' s,) ■

При наличии эффективного

алгоритма

вычисления

расстояний

р ( а., 3.)

и

числе

операций

при

одном

таком

вычислении, не

превосходящем

Q, количество операций

при расчете всех величин

Г (5), Г., (S), ... ,

Г,

(S)

не

превышает

2Q/im.

Число операций

при распознавании одного объекта

в фиксированном алгоритме

А

пропорционально

„площади11

таблицы M R с коэффициентом про­

порциональности,

не превосходящим

2 Q.

можно

рассмат­

Как было

отмечено в предыдущем параграфе,

ривать различные подклассы (модели)

в

множестве

алгоритмов

{Л|, например:

M f равноценны;

1)

f! =

т2 — • • • = Тш=

1

все

элементы

г,=

,, = ел = s= 0 .

Тогда

получается

семейство алгоритмов, зави­

сящее от трех

параметров

k,

3t

о., — семейство

(Л)

. В

указан­

ном примере

г «(5) =

V

С (5, S.)

и = 1 , 2 ,

2 ) T i = Т , =

• • • = T m =

1; и = е 2 = • • • = 6 Л = 0 .

В этом случае

семейство

алгоритмов

[Л}4 зависит

от

четырех

параметров /г, е, 3,, 3„.

множеств M R, М к

Для описываемого нами случая конечных

будем считать, что мера множества совпадает с его мощностью.

Тогда для вычисления значений фд ,

достаточно провести про­

цесс распознавания

последовательно

для

строк

,..., S табли­

цы М /(,

после

чего

нетрудно

найти

мощности

множеств KtJ,

а

следовательно,

и

величины

йд ,

для фиксированных

алгорит­

мов Л.

IV.

Проанализируем

теперь

вопросы, связанные с отысканием

кроме Sj, 8^, замкнуты.

Значения

фд ,

при фиксированных

MR и Мк ограниченны.

Изучим влияние параметров 8, ,

8^ на величины &А,

Рас­