книги из ГПНТБ / Журавлёв, Ю. И. Алгоритмы вычисления оценок и их применение [монография]

каждого элемента „М~еЦ4 построим оценку Ги (ад). Оценку Гн (S)

определим одним из следующих способов:

6.Решающее правило для алгоритма А. Предположим, чт

ляет собой функцию от данных величин. Область этих значений

здесь величины 3j и о, есть априори, заданные константы.

20

возможно, так как перестановка столбцов в исходной таблице не

первый и второй классы.

Отнесение строки 5 к одному из классов можно провести од­ ним из указанных выше решающих правил (правила 1), 2) п.б).

21

ленным образом. В этом случае они будут представлять собой пе­ ременные параметры решающего правила и соответственно алго­ ритма голосования. Следовательно, с помощью надлежащего выбо­ ра значении 6i и 62 можно обеспечивать соответствующую степень «строгости» отнесения строки по данному правилу. По-видимому, для более тонкого распознавания эти условия (выбор 8\ и б2) должны быть более жесткими.

Например, параметры о, и 5, можно выбрать^в процессе обу­ чения (на контрольном материале) следующим образом. Фикси­ руются некоторые о, и В2. Проводится прогноз на контрольном материале. За каждый неправильный прогноз начисляется одно штрафное очко, за отказ от прогноза — половина штрафного очка. Подсчитывается общее число штрафных очков. Осматрива­ ется окрестность В, и о2 и каждый раз вычисляется сумма числа

торой суммарный штраф меньше и т. д.

Алгоритмы вычисления оценок при надлежащем подборе голо­ сующих множеств и параметров обеспечивают высокую точность отнесения строки 5 к классу, которому она действительно принад­ лежит. Приводим пример. Пусть дана таблица объектов

В качестве голосующих наборов рассмотрим наборы столбцов <1, 2>, <3, 4>, <5, 6>. Две строки будем считать похожими, если они совпадают.

Оставляем в таблице сначала столбцы 1, 2, затем 3, 4 и, нако­ нец, 5, 6. Получаем таблицы:

Анализируем первую из сокращенных таблиц. Число совпа­ дении S' со строками первого класса равно 1, второго клас­

§ 3. Теоремы о вычислении оценок

Из анализа • этапов задания алгоритмов вычисления оценок явствует, что эффективность применения этих алгоритмов во многом зависит от того, насколько просто решается задача под­ счета голосов Гц (S). Приведем ряд теорем, позволяющих успеш­

но решить эту задачу.

1. Примем в качестве системы опорных множеств совокуп­ ность всех подмножеств множества (1, 2, ..,, п]. мощности к.

Функцию близости зададим таким образом:

1, если u'S - u>Sq, 0, если mS ф u>S0.

23

Положим также, что

*T ( S' 5?) = г ш5’ ш5? ) :

горитмы зависят от параметров к, о,, о2).

Предположив, что признаки принимают значения 0, 1 и обоз­

справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Число голосов, поданных строкой S за класс Ки , равно

Д о к а з а т е л ь с т в о . Изопределения алгоритма следует, что

т„

24

« - ' Л „ - | т 1 * = 1 ЛГ_е S*

Л

25

л ^ , ^ ) = Г 'еслир_(5-£' )<‘'

1 0, если p(S, S 9) > s.

Как и при доказательстве теоремы 1, изменим порядок сумми­

ти была отлична от нуля, необходимо и достаточно, чтобы из /г

27.

6. Рассмотрев ту же схему с той лишь разницей, что в ка честве системы опорных множеств берется совокупность всех возможных поднаборов системы (1, 2,..., а], и использовав свойства биномиальных коэффициентов, легко доказать теоре­ му 6:

х=о ? (s. sq)

§ 4. Задачи, решаемые алгоритмами вычисления оценок

Охарактеризуем круг возможных задач, которые могут быть ре­ шены с помощью алгоритмов вычисления оценок. Существенным моментом в их решении является эффективное использование ос­ новной количественной оценки, названной числом голосов. Дока­ занные же выше теоремы позволяют построить схему строгого сче­ та этой количественной оценки.

1.Основная задача распознавания образов. Как было указано

вглаве I, основная задача распознавания образов заключается в отнесении вновь предъявляемого (контрольного) объекта 5 к одно­ му из классов, заранее заданных своими эталонами. В классе ал­

горитмов вычисления оценок данная задача решается следующим

изводится отнесение 5 в соответствующий класс.

При надлежащем подборе параметров б| и бг решающих пра­ вил алгоритмов вычисления оценок можно обеспечить качество распознавания новою объекта с удовлетворительной степенью точности, которая, как правило, согласуется с требованиями экс­ пертов.

2. Задача самопроизвольной классификации. Самопроизвольная классификация возникает при невозможности заранее задать пли сформировать эталонную таблицу объектов, т. е. когда необходимо осуществить некоторое удовлетворительное разбиение заданного множества объектов на классы, используя лишь информацию, со­ держащуюся в таблице описаний.объектов.

Алгоритмами вычисления оценок эта задача решается с при­ менением некоторых количественных мер. характеризующих

28

произведений информационных весов признаков на значение са­

мих признаков:

П

1(s i) = H / ’ W v /=1

Вычисленные для всех заданных объектов 5,, So, . ., S т информа­ ционные веса 1 (S i), l(So), . .., I(Sm) упорядочиваются затем по убыванию.

Разбиение объектов на классы в этом случае, основывается на том предположении, что при упорядочении I(S\) объекты по зна­ чениям последних будут группироваться по рангам. Например, первому рангу будут соответствовать объекты с большими инфор­ мационными весами, последнему /-му рангу — с малыми. При этом, как правило, колебание информационных весов объектов одного ранга оказывается значительно меньшим, чем колебание между соседними рангами, что и позволяет объекты одного ранга отнести в одни класс. В классе алгоритмов вычисления оценок разбиение, полученное с помощью ранжирования, является промежуточным этапом самопроизвольной классификации. Окончательное же раз­ биение (окончательный результат решения задачи) выдается лишь после того, Как с помощью стандартных процедур голосования по указанной в п. 1 схеме будет подтверждена принадлежность объ­ екта своему классу.

(3. Задача вычисления количественной оценки важности призна­ ков объектов распознавания. При решении проблемы распознава­ ния образов возникает задача оценить с помощью некоторой ко­ личественной меры информативность признаков, участвующих в описании объектов. С помощью алгоритмов вычисления оценок эта информативность оценивается мерой важности, подробно описан­

ной в главе III.

Мера важности играет определяющую роль в решении различ­

с одной стороны, вводится естественным образом и, с другой,— эф­ фективно вычисляется.

, 4. Задача отбора и упорядочения признаков в системах распо­ знавания. Она всегда возникает в практике распознавания обра­ зов, связана с формированием иеизбыточного описания объектов

иможет быть кратко сформулирована следующим образом. Имеется исходное (например, заданное специалистами) описа­

ние объектов, подлежащих распознаванию. Необходимо для целей распознавания оставить такой набор признаков, который, с одной стороны, включал бы наиболее существенные признаки и, с дру­ гой,— обеспечил бы эффективное (в определенном смысле) распо­ знавание.

Алгоритмы вычисления оценок решают эту задачу через анализ информационных весов признаков и некоторую последовательную процедуру исключения малоинформативных признаков. Контроль

29