книги из ГПНТБ / Щукин, А. Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах

сама суммой Весьма большого числа случайных вели­ чин, каждая из которых вносит малую долю в оконча­ тельный результат.

Нормальный закон распределения дает возможность совершенно строго выразить такие величины, как мгно­ венные значения электрического тока, обусловленные его дискретной структурой из отдельных электронов, и ши­ роко используется при анализе шумов радиоэлектронной аппаратуры.

Нормальному закону подчиняются мгновенные значе­ ния величины электрических колебаний, отраженных от

радиолокацнон н ых целей.

Нормальным законом распределения часто пользуют­ ся для определения случайных отклонений снарядов от центра рассеяния, а также отклонений многих других величин от их средних значений. Следует, однако, отме­ тить, что здесь нормальный закон является только при­ ближением, более или менее справедливым лишь в тех случаях, когда среди множества причин, вызывающих отклонения, нет доминирующих.

Прежде чем переходить к формулированию закона нормального распределения, остановимся предваритель­ но на некоторых общих свойствах функций распределе­ ния плотности вероятности.

По определению (3.3) интеграл плотности вероятно­ сти р(х) в пределах ± оо равен единице, т. е. является конечной величиной. Кроме того, по своему физическому смыслу в большинстве случаев функция р(х) является непрерывной и гладкой. Функции, обладающие подоб­ ными свойствами, как известно, могут быть представ­

Если функция р(х) представляет собой сложное ко­ лебание (импульс), где x = t является временем,тофунк-

60

Ция cp(f) является частотным спектром функции р(х), выражающим зависимость плотности амплитуд Iф(/) | от частоты колебаний /. В области вероятностных явле­

среднее значение переменной х и среднее значение лю­ бой ее степени. Найдем производную

+00

—/2т J хр (х) е~‘2к!х dx,

При «свертывании» двух функций раопределения ха­ рактеристические функции, связанные с ними преобра­ зованием Фурье, перемножаются. Это очень важное положение может быть доказано следующим образом. Пусть имеются две непрерывные функции: pi{x) и рг{у). Их характеристическими функциями согласно выраже­ нию (4.13) являются

61

и сравним его с формулой (4.13). Очевидно, что в фор-

+ 0 0

муле (4.18) интеграл J р,(х) р.-, (z—х) dx играет ту же

— 00

роль, какую в формуле (4.13) играет р(х), т. е. для это­ го интеграла, представляющего собой согласно (4.11) свертку функций pi(x) и Pz(z), характеристической функцией является произведение cpi(f) фа(/") - Пользуясь формулой (4.13) и преобразованиями, аналогичными вы­ воду формулы (4.18), можно показать, что

т. е. характеристической функцией произведения двух функций pi(x) и рг(х) является свертка соответствую­ щих характеристических функций

£?i (Ф) *Ра (f — <Мd<l>.

—СО

Нормальное распределение. Как уже было сказано, нормальное распределение вероятностей дает значения случайной величины, .представляющей сумму очень боль­ шого числа т, не зависящих друг от друга случайных величин одного .порядка. Поэтому дисперсия о2 случай­ ной величины, .подчиняющейся нормальному распреде­ лению выражается формулой (1.14) и равна сумме ди­ сперсий слагаемых

т

(1-14)

1=1

62

Рассмотрим случай, когда средние значения Xi = 0, т. е. .гг2=Ог2, и сначала положим приближенно, что дис­

—СО

иразложим эту функцию в ряд по степеням f

— СО

пользуясь формулами (4.15) и (4.16), получаем, прини­

двух случайных величин является сверткой их плотно­ стей, а согласно (4.18) характеристической функцией свертки является произведение характеристических функций свертываемых функций.

'В данном случае мы отыскиваем плотность вероят­

—OP

63

Введем новую переменную а — У 2 mf—jjc/аУ2 ; тогда df = da/m Y 2 ,

+ 00 -

р(л:) = Т^7 Г I е

чение каждой слагаемой величины равным нулю (x; = 0). Это ограничение снимается, если при Хгф® ввести новые переменные yi = Xi—5;*, для которых справедливо условие

в том, что дисперсии отдельных слагаемых были приня­ ты равными друг другу (ai2= a 2/m), рассмотрим, чему равна плотность распределения вероятности двух слу­ чайных величин, каждая из которых подчиняется нор­ мальному закону.

Характеристической функцией плотности нормально­ го распределения является, как мы видели, выражение (4.21). Поэтому для двух случайных величин с диспер­ сиями оч2 и сг22 характеристическими функциями будут

т,(/) = е - м - '' » ,, (f) =

Плотность вероятности суммы двух случайных вели­ чин равна их интегральной свертке (4.11). Характери­ стическая функция свертки равна произведению харак­ теристических функций свертываемых плотностей (4.18). Поэтому

? „ (/) = ?, (Г)«Р2Ш = е ^ (в,,+в1,,:

64

Вид кривых нормального распределения (4.22) для двух значений дисперсии .показан на рис. 4.1. Из выражения (4.22) и кривых на рис. 4.1 видно, что чем больше зна­ чение дисперсии, тем более пологой является кривая р(х).

Все разнообразие кривых нормального распределе­ ния в зависимости от величины дисперсии может быть приведено к одной кривой, если принять за единицу от­ клонения х стандартное или среднеквадратическое откло­ нение о. Делая подстановку в функции распределения у=х/а необходимо выполнить условие, чтобы вероят­

ность нахождения х в пределах между х и x + dx была равна вероятности нахождения у в пределах между у и

рис. 4.1, где значения абсцисс даны в долях ст. Интеграл функции (4.25) представляет вероятность того, что у ле­ жит в пределах от — оо до данного значения у

У

66

которым мы уже пользовались в гл. 3 и значения кото­ рого приведены в табл. III. Приложения, представляет собой вероятность того, что х лежит за пределами ± у среднеквадратических отклонений; при этом очевидно,

квадратически'М отклонением

Л = 1 /о | / 2 ".

Кроме дисперсии и среднеквадратического или стан­ дартного отклонения, нормальное распределение можно также характеризовать с р е д н и м о т к л о н е н и е м хСр, которое равно

или хСр= 0,798а.

Наконец, часто употребляется термин вероятное или срединное отклонение, под которым подразумевается значение хр, при котором вероятность того, что х равно или меньше по абсолютной величине хр, равна 0,5, т. е.

+ х р

Р ( И < х р) = - ^ = j e ^ d x =

возможное отклонение равным утроенному среднек'вадратическому отклонению 3 }/гх2=За или учетверенному срединному отклонению 4хр.

Огибающие дискретных распределений: биномиаль­ ного (2.2) и Пуассона (4.'2) — приближаются к кривой нормального распределения плотности вероятности при больших значениях величин т и п в биномиальном рас­ пределении и величин -V п а: в распределении вероятно­ стей Пуассона. Для того чтобы сопоставить кривую нор­

мального распределения р{у) = ( 1/ 1^ 2 тг) е~и’!% с ди­ скретным распределением Пуассона Р(х) ='(хх/х\) е~х, последнюю следует провести к масштабу нормального распределения. Дисперсия распределения Пуассона мо­ жет быть получена из дисперсии биномиального распре­

в нормальном распределении.

Масштаб по оси ординат в распределении Пуассона

Для того чтобы показать порядок приближения рас­ пределения Пуассона к нормальному в зависимости от

от масштаба по оси ординат распределения Пуассона к нормально­ му, ордината, соответствующая *t= x — 10=90, может быть найдена

68

+ 0,434294,10 — 0,39908 — 0,5 (lg 110— lg 100)= 1,37023;

Я (х 2) Кж = 0,23456.

Сравнение с той же величиной Р ( у — 1) = 0,24197 показывает, что

Р (х2) ]Гх на —3,02% меньше ординаты нормального распределения. 2. .7=100; х—xi=20; 7—хг= —20; Xi=80; Х2= 420. В этом случае Я (х ,) Кг = 5,2035-ю - 2; Я ((/ = 2,0)=5,3990- 10_ 2,т. е. при х, =80

ординаты огибающей распределения Пуассона на —3,6% меньше

уменьшает расхождение между ординатами огибающей распределе­ ния Пуассона и соответствующими ординатами нормального распре­ деления примерно на порядок, при величине расхождений на 7 = IО4 порядка нескольких десятых долей процента. При дальнейшем уве­ личении 7 расхождения становится еще меньше и огибающая рас­ пределения Пуассона практически совпадает с нормальным распре­ делением.

69