книги из ГПНТБ / Щукин, А. Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах

Например, вероятность получить два положительных результата (и = 2) в пяти испытаниях (т= 5) при вероятности положительного результата jO=0,4 равна

(2) = 0,42-0,63 = 0,3456.

Вероятность (2.2) может рассматриваться как п-й член разложения 'бинома Ньютона

т. e. сумма вероятностей получения любого числа поло­

Вынесем в правой части этого равенства за скобки мно­

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой би­ ном Ньютона: [(1—p )+ p ]m_1= 1. Поэтому

т. е. среднее число положительных результатов равно числу испытаний т, умноженному на вероятность р по­ ложительного результата одного испытания. Впрочем,

20

тр (1 — р )7,1-1 + 2яг(яг— \)рг (\— р )771-2=

— (1—р)7,1-2 [тр + т (т— 1) р2]+ т (т—2) р2( 1 —р) 7,1-2

Присоединив второе слагаемое правой части этого ра­ венства к четвертому члену основного разложения, по­ лучим

Продолжая действия в том же поргядке, т. е. присоеди­ нив второе слагаемое правой части последнего равенст­ ва к пятому члену основного разложения и т. д., полу­ чаем

n'-=[mp-\-m(m— 1)р3] [(1 — р)т 2-j-(/я —2)р(1—p)m_3-f-...

21

С увеличением числа испытаний т вероятность полу­ чить число положительных результатов п, точно равное их среднему значению п—тр, уменьшается. В то же время вероятность получить число положительных ре­ зультатов п, лежащих в любых заданных пределах око­ ло среднего значения п, с увеличением т возрастает, и таким образом наиболее вероятные результаты все 'бо­ лее тесно группируются вокруг п= тр. В первом из этих свойств биноминального распределения вероятно­

Второе свойство биноминального распределения под­ тверждается прежде всего тем, что отношение средне­ квадратического или стандартного отклонения а, харак­ теризующего разброс случайных значений относительно среднего, к самому среднему значению тр стремится к нулю с увеличением числа испытаний т, так как отно­ шение среднеквадратического отклонения к среднему равно согласно (2.5) o/mp=)/r (1—р)1тр. В этом свой­ стве можно убедиться на числовых примерах.

Определим, например, вероятность того, что отношение числа

иметь значения 3; 4 п 5. Поэтому вероятность получить эти три результата Р2о0,2 '(3, 4, 5) равна сумме:

Р°202 (3; 4; 5) = Р%2 (3) + Р°62 (4) + Р°62 (5) =

= С|о р> (1 - р)» + С20 р* (1-р )1в + С\0 р> (1 - р)'К

22

Соответствующие расчёты с использованием табл, t прИлО&ё- Иня дают

P\q (3; 4; 5) = 0,205+ 0 ,2 1 8 + 0,175 = 0,598.

'Выполняя точно такие же расчеты для Я1г=40, находим

P ° f ( 6; 7; 8; 9; 10) = 0,125 + 0,151 + 0,156 + 0,138 + + 0,108 = 0,678,

откуда следует, что

P\q (3; 4; 5 )< Р ° 62(6; 7; 8; 9; 10).

Нахождение вероятности получения числа 'положи­ тельных результатов л, лежащего в более или менее широких пределах, по формуле (2.2) 'приводит даже при относительно небольших числах т к очень трудоемким вычислениям. Подобные вычисления могут быть значи­ тельно сокращены, если пользоваться специальными таблицами, 'позволяющими сразу во заданному числу испытаний т и вероятности р найти вероятность того, что число положительных результатов будет равно или меньше заданного Pm? (n^..N). Эта вероятность, на осно­ вании формулы (2.2) представляет собой сумму

= —m(l — p)m~1-\-m{\ — p)m~l — m(m— 1) p (1 — p)m"2 +

A p"(> - рГ " - ' -

При суммировании все члены, за исключением последне­ го, сокращаются, и потому

23

полных бета-фунщий.

Таблицы неполных бета-функций были вычислены Пирсоном [13]. С их помощью построена табл. II прило­ жения, дающая вероятность Pmv (n^.N) для некоторых значений т, р и N. Пользуясь этой таблицей, можно найти вероятность того, что при заданных т и р число положительных результатов будет лежать между Ni

и N2:

=0,5836 — 0,0480 = 0,5356.

ОНЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

°ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

ИИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

СРЕДНЕЕ, СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

ИДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Биноминальный закон является частным случаем такого распределения вероятностей Р(х), при котором случайная величина х может принимать только дискрет­ ные значения, отличающиеся друг от друга на конечные

24

величины. Например, число годных или бракованных изделий в различных партиях может отличаться только на целые числа этих изделий. Число промахов или по­ паданий в цель при различных стрельбах также может отличаться только на целые числа и т. д. Однако часто приходится встречаться с такими явлениями, где слу­ чайная величина может принимать в некоторых преде­ лах плавно и непрерывно изменяющиеся значения.

Например, величина промаха при стрельбе в цель может быть любой в известных пределах; возможен любой промежуток времени от момента включения аппа­ ратуры до появления в пей неисправности и т. д. В таких случаях вместо понятия вероятности данного дискретного значения случайной величины, вводится понятие вероятности нахождения случайной величины в заданных пределах. Чем уже эти пределы, тем меньше вероятность того, что в них будет находиться случайная величина.

Предел отношения вероятности того, что значение случайной величины х лежит между х и х+Ах, к интер­ валу значений Ах при непрерывном его уменьшении но­ сит название плотности вероятности

р(х) =dP(x)/dx. (3.1)

Кривые, изображающие зависимость плотности вероят­ ности р(х) от переменной х, носят название дифферен­ циальных кривых распределения вероятностей. Пример такой кривой изображен на рис. 3.1.

Вероятность того, что величина х лежит в пределах между а и Ь, выражается через плотность вероятности

а

и изображается на дифференциальной кривой распреде­

Кривая плотности вероятностей р(х) охватывает все возможные значения х. Поэтому в общем случае вероят­

25

Если заранее известно, что случайная величина х может принимать любые значения только в пределах величин Л и В, то

строятся на основании данных, полученных расчетным пли экспериментальным путем. При этом в качест­ ве ординат на них нано­ сятся значения вероятно­ сти появления или числа появившихся объектов, для которых х лежит в пределах х и x+dx. Так, например, можно постро-

ить кривую распределения вероятности выхода из строя радиоламп данного типа в зависимости от продол­ жительности работы. При этом по оси абсцисс отклады­ вается время работы ламп до выхода из строя, а по оси ординат — число или процент ламп исследовавшейся партии, выходивших из строя в течение заданного про­ межутка времени (например, одного часа) после той или иной продолжительности работы. Время может изме­ ряться в сутках, часах, десятках, сотнях и тысячах часов и так далее, а в качестве интервалов могут приниматься одинаковые отрезки времени, например сутки, тысяча или сотня часов и т. д.

Точно так же можно построить кривую распределе­ ния попадания снарядов в мишень, откладывая по оси абсцисс величину промаха, выраженную в любых едини­ цах (метрах, футах и т. д.), а по оси ординат — числа снарядов, также выраженные в любых единицах (еди­ ницах, десятках, сотнях и т. д.), отклонившихся от цент­ ра мишени на расстояние, лежащее между последова­

распределения еще не представляют собой плотности ве­ роятности р(х). Для того чтобы перейти от величин, от­ ложенных по оси ординат на подобных кривых, к пдот-

26

МоСтй вероятности, необходимо принять во внимание ра­ венства (3.3) или (3.4) и привести ординаты к такому масштабу, при котором площадь всей кривой распреде­ ления была бы равна единице, т. е. н о р м и р о в а т ь масштаб. Для этого следует первоначально принятый масштаб ординат разделить па площадь построенной кривой распределения.

Поясним сказанное примерами.

П р и м е р 1. Кривая рис. 34 построена по формуле

Р —IO.v3(1—х)2 при OsS-v^l.

Ее площадь, полученная интегрированием или планиметрированием в указанных пределах, равна ‘/в- Поэтому для того, чтобы кривая рис. 34 изображала зависимость плотности вероятности данного значения р(х), масштаб по оси ординат должен быть увеличен в шесть раз и вместо значений Р, показанных слева от оси орди­ нат, должны быть значения р(х).

кам, полученным экспериментально. По оси абсцисс отложено вре­ мя работы этих элементов до выхода из строя, а по оси ординат — отношение числа элементов, выходивших из строя в течение после­ довательных промежутков времени в 100 ч, ко всему числу испыты­ вавшихся элементов.

Нетрудно убедиться, что для того, чтобы кривая представляла собой плотность вероятности р(х) выхода из строя элементов в за­ висимости от времени, выраженного в часах, масштаб по оси орди­ нат должен быть, уменьшен в 100 раз.

гральных кривых вероятности и являются интегралами плотности вероятности

Р (х < x t) = j р (х) dx

о

или площадью дифференциальной кривой вероятности р(х), лежащей в пределах от 0 до лд.

27

На рис. 3.2 изображена интегральная кривая йероятности, соответствующая дифференциальной кривой на рис. 3.1. Она построена по формуле

A'i

Р ( х < х 1) = 60 jc3 (1 — х)~ dx.

о

Ее можно также получить планиметрированием кривой рис. 3.1 при соответствующем масштабе р(х). В некото­ рых случаях бывает необходимо знать среднее значе­ ние плотности вероятности р в определенном интервале значений х. Эта плотность равна

При непрерывном распределении вероятностей сред­ ние значения случайной величины х, значения ее сред­

него квадрата л'2 и дисперсия а2 находятся не суммиро­ ванием, как в формулах (1.9), (1.11), а интегрировани­ ем. Поэтому

+СО

х= J р(х) х dx

—оо

а

если х физически может иметь значения, лежащие толь­ ко между а и Ь.

Точно так же

28

появления п положительных результатов в /га испытани­

удовлетворяют поставленным требованиям, найти, како­ вы наиболее вероятные границы значения р — того, что взятое наугад изделие окажется негодным. Или, сосчи­

числа, которое было получено при измерениях, проведен­ ных на ограниченной партии из /га колосьев.

Характерная особенность, отличающая такую поста­ новку задачи от рассмотренной раньше, решение кото­

заключается в том, что вероятность РРт(п) в этой фор­ муле может иметь при данных р, гаг и га только одно­ единственное значение. В то же время, получив в /га испытаниях /г положительных результатов, можно до-

29