книги из ГПНТБ / Щукин, А. Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах

йяется иногда только в отношении наиболее ответствен­ ных элементов и целых блоков аппаратуры.

Умножение вероятностей отдельных событий или свойств для получения вероятности их совместного су­ ществования возможно только тогда, когда исходы событий или свойства объектов не связаны друг с дру­ гом, т. е. независимы.

Например, если вероятность встретить на улице чело­

человек одновременно будет иметь темные волосы и

—Р(1)], а вероятность того, что снаряд пролетит вправо

вгоризонтальной плоскости.

4.Появление того или иного числового значени случайной величины может зависеть от разных причин, не связанных друг с другом. Например, процент брако­ ванных изделий в партии может зависеть от качества материалов, условий производства и т. д. Если случай­ ная величина зависит от двух не связанных друг с дру­ гом причин, причем Рi(x) есть вероятность значения х

случайной величины, обусловленная первой причиной, a Pz(y) есть вероятность значения у той же случайной величины, обусловленной второй причиной, то для того, чтобы обе причины вызвали появление значения z, слу­ чайной величины, необходимо, чтобы значения у удов­ летворяло условию y — z—х. Вероятность того, что одно­ временно первая причина вызовет появление значения х, а вторая-— появление значения y = z —х, равна по выра­

10

Вероятность Pv (z) появления значения z, обусловлен­ ная одновременным действием этих двух причин, равна

Pz (z) = i:xP, (х)Ра( г - х ) ,

где х у суммы обозначает, что суммирование произво­ дится 'по всем возможным значениям величины х.

Необходимость такого суммирования обусловлена тем, что получить значение числа z как сумму чисел х и у можно при разных числовых значениях х. Поэтому на основании свойства суммирования вероятностей (1.1), если х может принимать п дискретных различных зна­ чений,

что брак вызывается двумя различными причинами и вероятности появления того или иного числа бракованных изделий по каждой из двух различных причин Р i(x) и Рг(у) равны

Получить число бракованных изделий z = 2, можно при следую­ щих комбинациях чисел х и у:

в пределах только тех значений х, которые возможны по физиче­ ским условиям задачи. В частности, мы не принимали во внимание

Pi(x)P2( z - x ) или же Pi(z—y)P2(y).

11

ния Л'1 случайной величины х на основе ограниченного числа опытов, мы исходили из существования генераль­ ной совокупности, которую составляют все реально су­ ществующие случайные величины. Для генеральной совокупности вероятность появления данного значения Xi случайной величины х является совершенно опреде­ ленным числом P(xi), которое представляет собой одну из основных характеристик случайной величины.

На практике при ограниченном числе опытов вместо вероятности P(xi) получают частость (или относитель­ ную частоту) Pm(xi) появления данного значения хи представляющую собой отношение числа п случаев по­ явления значения xi к общему числу наблюдений или опытов m

Pm(Xi)=n/in. (1.7)

В отличие от вероятности Р(хi), которая является неиз­ менной, частость Pm(xi), как правило, бывает различной при различном числе испытаний, а также при повтор­ ном проведении одинаковых серий' испытаний. С увели­ чением числа испытаний пг частость Pm(xi) приближа­ ется к значению вероятности Р(х\)

оо.

6. Важной характеристикой случайной величины является ее среднее значение х. Средние значения слу­ чайных величин широко используются на практике, осо­ бенно когда речь идет о многократных наблюдениях случайной величины.

Среднее значение х т случайной величины х, найден­ ное в результате проведения т испытаний, равно сумме В'сех значений хи полученных при испытаниях, деленной на число испытаний т, т. е.

Среднее значение хт приближается к значению х, ха­ рактеризующему «генеральную совокупность» при неог-

12

раниченно большом числе испытаний т, т. е. хт — при т— >-оо.

В дальнейшем изложении, рассматривая значения случайных величин, получаемых из опыта, будем назы­ вать х средним значением величины х, опуская индекс/??..

Если в числе т значений случайной величины, полу­ ченных из опыта, только s значений являются различ­ ными, причем число значений xi равно яь а число зна­ чений х'2 равно Я2 и так далее, причем П1 + Л2+ . . .+ па = т, то

ния xi, равную Pm(Xi)=nilm, через Рт(х2) = п21т и т. д.,

получаем

Хт— Рт (-Ч) Хх—j—Рт (-^-г) -^2 —1“ •••" Г"

+ Рт (xs) X s = У 1 Рт (Хг) Х{.

/=]

При неограниченном росте т— voo частости событий приближаются к их вероятностям:

Pm(xi)— ^P(xi); Рт(х2) — *Р(х2): .. .; Pm(xs) — >Р(xs)

Поэтому

Х — Р { х 1) х 1-\-Р {х„) Х2+ ... + Р (Xs) Xs= S Р (Xi) Xi.

(1.9)

7.Частость Рт{хi2) появления определенного значе

если х может принимать только положительные значе­ ния, то

Рт(хI2) =Рщ(У l) =Рт(Х i).

Если же х может принимать как положительное, так и отрицательное значение, то

Рт(ХI2) =P,n(yi) =Рт(Х i) +Pm(—Xl).

так как при одном и том же значении yi— Xi2 возможны значения: +xi и —Xi.

Повторяя рассуждения, сделанные при выводе фор­ мулы (1.9), находим, что при достаточно большом числе

13

испытаний т среднее значение квадрата случайной ве­ личины

ния ж, показать, насколько разбросанными вокруг этого среднего значения являются случайные значения. Такой характеристикой разброса значений случайной величины является ее дисперсия сг2.

Дисперсия представляет собой разность между сред­ ним квадратом случайной величины х2 и квадратом ее среднего значения (х )2:

а2= х 2— (о:)2

и характеризует разброс случайных значений х; относи­ тельно среднего значения х.

так как при достаточно большом числе пг случайные

положительные и отрицательные отклонения Ai от сред-

т

*) Учитывая неточность в определении х на основе ограничен­ ного числа опытов, более строгим и точным выражением дисперсии, определенной из т опытов является

i=l

Вывод этого выражения не приводится.

14

Представляет собой среднее значение квадрата отклоне­ ния случайной величины от ее среднего значения, так как

{хг — г )2== £ 2— (х)~.

Вчастном случае, когда х = 0, дисперсия равна сред­ нему значению квадрата случайной величины

а2=.т2. (1.12)

Если случайная величина представляет собой сумму случайных независимых величии, то среднее значение суммы равно сумме средних значений слагаемых, а дис­ персия суммы равна сумме дисперсий слагаемых.

Покажем справедливость этого положения сначала для суммы двух случайных величин х и у. Если х,- и у,— случайные значения этих величин, то их сумму можно представить как лу+у;=л; + у-НДхг + Дуг, где Дху и Дуг— случайные отклонения величин Хг н yi от их средних значений х и у. При т измерениях

т

^=И)=^г S (*+М=!%+!%+

i—t

тт

+ 4 - £ д х < + 4 - £ а » ‘ - i- 1 i-\

тт

Но по определению дисперсии сумма х-\-у, равная а^+ц.

15

Функции, выражающие зависимости вероятности по- ' явления тех или иных значений случайной величины от ее абсолютного или относительного значения или от абсолютных или относительных величин отклонений слу­ чайной величины от ее среднего значения, носят назва­ ние функций распределения или просто распределения вероятностей.

На практике встречаются разнообразные распределе­ ния вероятностей в смысле большей или меньшей кон­ центрации случайных значений вокруг средних, симмет­ рии или асимметрии функций распределения, наличия одного или нескольких максимумов и т. д.

Тот ли иной характер распределения зависит от фи­ зической сущности исследуемого процесса или явления.

Среди многочисленных возможных распределений случайных величин существует несколько законов рас­ пределения, которые можно вывести, исходя из простых логических или физических предпосылок. Во многих случаях они являются хорошими приближениями для распределений случайных величин, встречающихся на практике.

Основой ряда важных законов распределения слу­ чайных величин является так называемое биноминальное распределение.

Пусть случайная величина, событие или свойство могут иметь только два несовместимых значения. Под случайными величинами или событиями подразумевают­ ся: появление одного из двух чисел, появление данного числа или любого другого числа, существование одного из двух свойств, существование данного свойства или любого другого свойства, наконец, просто появление или непоявление данного события.

Одним из двух случайных овойств может быть, на­ пример, неисправность, негодность детали или целого объекта, а вторым — их исправное состояние. Одним из двух случайных событий может быть попадание снаряда в круг данного радиуса, в то время как вторым явится непопадание снаряда, т. е. его пролет вне пределов кру­ га и т. д.

Обозначим условно первое из двух чисел, свойств .или событий через 1 и назовем его появление положитель­

ным результатом испытания. Появление второго числа, свойства или события обозначим через 0 и назовем его отрицательным результатом испытания.

По условию возможны только два исхода испытания: положительный или отрицательный. Поэтому если веро­ ятность появления положительного результата равна р, то вероятность отрицательного результата (1—р).

Положительные и отрицательные результаты могут появляться на практике в соотношениях, отличных от р/( 1—р), и в любой 'последовательности.

Например, в группе из пяти испытаний при вероят­ ности появления положительного результата, равной р—2!5, может случиться, что положительный результат ни разу не будет получен или, наоборот, все пять испы­ таний дадут положительные результаты. Однако подоб­ ные исходы испытаний будут встречаться гораздо реже, чем исходы, когда положительный результат будет по­ лучен два раза, а отрицательный — три.

Для того чтобы найти вероятность РтР(п) появления п положительных результатов в т независимых друг от друга испытаниях, опытах или измерениях при условии, что вероятность появления единичного положительного результата равна р, воспользуемся следующими рассуж­ дениями.

Совершенно очевидно, что получить во всех т испы­ таниях положительные результаты существует однаединственная возможность (п — т), точно так же как существует одна-единственная возможность не получить ни одного положительного результата. Вероятность пер­

лучить положительный результат в каждом из т испы­ таний равна р, а отрицательный— (1—р).

Получить один положительный результат {п —1) в т испытаниях можно т различными способами, т. е. п р и т различных последовательностях исходов испытаний, так как положительный результат может появиться либо при первом, либо при втором, либо при третьем и т. д. вплоть до m-го испытания. Вероятность получения одно­ го положительного результата в каждой из таких равно­ вероятных последовательностей одинакова и равна, как это следует из (1.3), р( 1—р)т~*. Поэтому вероятность

18