книги из ГПНТБ / Штейнман, О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля

свертку:

А ( Р ) * В (Р) = I dQA (Р — Q) В (Q).

Не вдаваясь в детали, подчеркнем лишь, что постоянные Rax тесно связаны с константами вычитания (перенормировочными константами) канонического формализма. Неопре­

деленность в части Fu констант R„K 1см. (4.49)] соответ­ ствует произволу в выборе этих констант вычитания. Под­ робное исследование этой связи пока не проведено.

Наконец, следует сделать замечание о специальном слу­ чае двухточечной функции. При ее рассмотрении мы долж­ ны учесть дополнительное условие (2.58), которое до сих

пор не обсуждалось. Функция r0 (р, q), определяемая фор­ мулой (3.3), удовлетворяет условию (2.58), так что в стар­

теоремы 2.1 и условию (4.62), необходимо и достаточ­ но, чтобы /„ (х , у) была обобщенной функцией уме­

Те же рассуждения, которые были использованы для функ­ ции г после формулы (2.56), могут быть применены и к г„. Из них следует, что r„(q) = ra (—q) при q2< 4m2. Это доказывает необходимость условия «д».

Доказательство достаточности вновь сводится к по­ строению явного решения. Из доказательства теоремы 4.2 мы знаем, что выражение (4.59) в частном случае п — 1 представляет собой решение уравнения (4.63), удовлетво­ ряющее всем требованиям, за исключением, возможно, условия (4.62). Пусть

Fa (р, q) = б1 {р + q)~r'a (q)

есть решение вида (4.59). Поскольку носитель функции

г'а (я) = Fa (—q) для q2< 4m2,

так что, согласно теореме «об острие клина», функция r„ (q) аналитична для вещественных q при q2< 4m2. В силу своей лоренц-инвариантности аналитическая функция г'а зависит только от q2, так что ее можно разложить в окрестности q2 — т2 в ряд:

обладающее всеми необходимыми дополнительными свой­ ствами. Поэтому функция

представляет собой искомое решение га уравнения (4.63), удовлетворяющее условию (4.62).

ПОВЕДЕНИЕ НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ

Вернемся к вопросу о произволе в решении уравне­ ния (3.9) для функции га. При обсуждении теоремы 4.1 мы говорили, что выбор функции г, фиксирует взаимодей­ ствие. Это утверждение пока не представляется слишком содержательным, поскольку неопределенности вида (4.3) возникают в любом порядке а. Чтобы избавиться от них хотя бы отчасти, следует наложить на функцию га допол­ нительное условие. В качестве такового мы рассмотрим естественное предположение о поведении га на малых рас­ стояниях х).

Прежде чем сформулировать это условие, сделаем корот­ кое математическое отступление. Рассмотрим пространство РР (ult . . ., ut) основных функций умеренного роста I переменных. Линейное отображение

Это отображение РР' на РР' также линейно и непрерывно. Семейство обобщенных функций 7 \, порожденное Т £ РР', непрерывно зависит от К в пределах О < К< оо.

Формулу (5.2) можно представить в удобной интеграль­ ной записи:

J dUTx (U) ср (U) = Xl j dUT{U)yx{U)

(5.3)

*) Вместо этого можно было бы ввести ограничения на пове­

дение фурье-образа га при высоких энергиях. Мы отдаем предпоч­ тение условию в дг-пространстве, поскольку проведенное в гл. 4 построение было осуществлено в х-пространстве.

6 6 t лава $

где f — непрерывная функция, удовлетворяющая условию

достигается равномерно на ограниченных множествах из <^, причем ограниченное множество определяется требованием, чтобы все || ф ||о ,м были ограничены некоторыми заданны­ ми конечными значениями ([19], стр. 235). Это доказывает

ной степенью *), или короче s-степенью обобщенной функ­ ции Т. Сокращенно мы будем обозначать ее SD(T),

*) Мы предпочитаем это название термину «размерность», который приобрел популярность для обозначения данной величины в другом контексте. Мы считаем, что за термином «размерность» следует сохранить его освещенный временем смысл, фиксирующий положение функции Т в специальной системе единиц.

щее s-степень d и удовлетворяющее условиям А и Б теоремы 2.1. Решений га с s-степенью больше d не су­ ществует.

Вторая часть теоремы 5.2 очевидна ввиду четвертого из приведенных выше примеров. Из условия SD (га) > d

несколько более сложно. Мы воспользуемся здесь понятия­ ми и обозначениями гл. 4.

| г = х — х(, также равна d. Это следует из свойства (5.4).

в окрестности точки |* = 0, так что величины ^.-|DIYx(“ ) должны обладать такими же общими свойствами, что

и сами yD. Согласно результатам гл. 4, можно написать

Первый член здесь имеет форму (5.13); поэтому он обладает должным асимптотическим поведением при X -> оо. Второй член также имеет правильные свойства всюду, где он опре­ делен единственным образом: на С [уС_1/*Ы он обращается

в нуль, а на Ffiy функция г„ совпадает с I а. В обоих этих случаях s-степень больше или равна d. Теперь следует показать, что неопределенные члены в функции га всегда можно выбрать так, чтобы г„ в целом имела s-степень d. Это означает, что должно существовать такое решение r ot что

Пусть г'а — решение, построенное так, как это делалось в гл. 4, но не обязательно имеющее желаемую s-стенень.