Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Штейнман, О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

20 Глава й

состояниями удается снять в теории возмущений. Там опе раторы A )*\t) определены на всех состояниях вида (2.18)

независимо от того, каковы носители у функций /*, и удов

летворяют		предельному условию (2.20).				В дальнейшем мы
будем	обсуждать только такую ситуацию.									Лех,
Пусть		$£ех — фоково пространство					операторов
т. е.	гильбертово пространство, натянутое на векторы Фех
вида	(2.18)		при	п = 0,	1 , 2 , . . . . Мы		потребуем,			чтобы
выполнялся
Постулат V (асимптотическая полнота)
				<ш1п= с в оп1=<т.						(2.2i)
Важнейшим инструментом в формализме ЛСЦ служат
запаздывающие произведения R {хь . . .,						хп),		которые опре
деляются		следующими			условиями:		. .	., хп) являет
1) Запаздывающее произведение R (хи
ся операторно-значной обобщенной						функцией			умерен
ного	роста.		Его значение R (ср) на			основной			функции
Ф (xj,	. . .,		хп)	обладает свойствами			полевого монома,
устанавливаемыми постулатом IV,а.						Иначе говоря,					это
замыкаемый			оператор,		определенный	на пространстве					3)

иотображающий 3 в себя.

2)Произведение R (ф) эрмитово при вещественных ф.

3)R (*,) = А (*,)•

4)Произведение R (лу, х2, ■. ., хп) инвариантно отно

сительно перестановок		аргументов х2, . . .,		хп.
5) Произведение	R удовлетворяет тождествам
R (х, у, хи . . . , * „ ) — # (у,			х, хи . . ., х„) =
-	-	iS [R	(х, X L), R (у,	* я)1, (2.22)

где суммирование производится по всем разбиениям сово

купности переменных X ---		{х4,	. . .,	хп) на	две взамно
дополнительные	подсовокупности		X l	и X r ,	причем одна
из них может быть пустой.		хп)	содержится		в множестве
6) Носитель	R (хи . .

Т„ = {(*„ . . хп) : (Xi — xt) е V+ для

1 = 2..........

«}, (2.23)

где V+ — замкнутый конус будущего.

Формализм Лемана — Симанзика — Циммермана	21
7) Произведение R ковариантно:
R (Л*, + а, . . ., Лх„ + а) =
= U (Л, a) R (,.......... хп) U (Л, а).	(2.24)

Объекты, удовлетворяющие этим условиям, называются «резкими» запаздывающими произведениями. Всегда ли они существуют в теории Вайтмана, удовлетворяющей посту латам I—V, в настоящее время неизвестно. До сих пор в столь общих предположениях удалось доказать сущест вование лишь «гладких» запаздывающих прсизведений. Последние отличаются от «резких» произведений тем, что их носитель лежит в е-окрестности Тп. Кроме того, условие ковариантности (2.24) справедливо только для трансляций, а не для собственных преобразований Лоренца. Однако в теории возмущений «резкие» произведения R существуют, так что не следует проявлять беспокойства по этому поводу.

Условия 1—7 не определяют произведения R однознач но. Но это несущественно. Для дальнейшего пригоден любой набор операторов/?, удовлетворяющих условиям 1—7.

Вакуумное среднее оператора R называется запазды

вающей	функцией и обозначается через г:
	г (X) =	<0 \| R (X) \| 0).			(2.25)
Определим фурье-образ г функции г равенством
г (pi, .	. Рп) = (2л)-5п/2 J	dXexp {t 2	PJxj}	х
		X r(* t, . .		x„).	(2.26)
Фурье-образ R оператора R определяется				аналогично.
Функция г имеет вид
	г (plt . . ., рп) = 64 (2 р }) г {ри		. . .,	рп).	(2.27)

Здесь 6-функция выражает закон сохранения энергииимпульса. Функция г определена только на многообразии = 0, так что одна из переменных в ней выражается

через остальные.


«Ампутация» функции г	по переменной pt означает
умножение ее на (р? — тг).	В х-пространстве это соот
ветствует применению оператора		Клейна — Гордона

22 Глава 2

— (CU + m2)- Определим функцию ГатР (ри .. ., р„; qu . . ., qt) =

i	^
— П (qi—m*)r{pu ...,q i),		(2.28)
t=i

такую, что переменные, стоящие справа от точки с запятой, «ампутированы».

Рассмотрим функцию ramP (pit	. . .,	рп;	qit . .	.,	qa,
q'v . . ., <7 р) в окрестности значений	qi =	0,	q\+— 0,	т.	е.

для значений переменных qt вблизи положительной энер гетической поверхности, и значений переменных q[ вблизи отрицательной энергетической поверхности. Переменные qj и q1+ можно рассматривать в качестве новых переменных, заменяющих qi0 и qlo. Такую обобщенную функцию мы

по-прежнему будем называть ramр, несколько злоупотреб ляя этим обозначением. Пусть ц>(Р), f (Q), g (Q') — основ ные функции умеренного роста. Определим функцию

Р (Q-, < П = j dP dQ dQ \(P )f(Q )g (Q ')x

х Г атР(Р; Q", Q, Q'+, Q')- (2.29)

Предположим, что функция р непрерывна в окрестности начала координат. Последнее справедливо в теории воз мущений. В общем случае было лишь доказано, что оно следует из постулатов I—IV, если произведение fg обра щается в нуль вместе со всеми своими производными в точ ках, где либо две переменные q(, либо две переменные q(, либо одна из q; и одна из —qj совпадают [20].

Пусть

ф 1п= 4 п; . л Г о , V = A h - - - AZ n (2-30)

-два состояния вида (2.18). Матричный элемент

М = (Ф 1п, R(pu . . . , рг) ¥ 1п)

(2.31)

можно выразить через функцию ramP с помощью редук ционной формулы

	min(n, т)	v
м =	2	2 Ц (? « ,^ р ,)(Ф 1п(а/), R(P)V'r т Т1тс
	v=--0	(ai, Pi) i= l

(2.32)

Формализм Лемана— Симанзика— Циммермана

Здесь вторая сумма берется по всем возможным способам

спаривания v		индексов а,-, 1	с v индексами рг,
1 ^	^ т.	Состояния Ф \|п (аг)	и ЧПп (Р,)	получаются
из состояния		<t>tn и Y 111 соответственно, если		в последних
опустить те операторы рождения,			волновые функции кото

рых fj и ghвходят в один из множителей (/ai, £Pi). Эти мно жители имеют вид

^ ) = 1 4 Ь	) * »	(2-33)
Наконец,
(Фш, R(P) Yln)Trunc—
П
= (2л)п+т ( И [dqj8+(qj) f* (q,)] x
m
X П [dq’^ +Ы gH(4h)l	(P; Q, - Q').	(2.34)
Л=1

Согласно предположению (2.29), э т о т интеграл существует как обобщенная функция переменных Р.

Образуя вакуумные средние тождеств (2.22), суммируя в правой части по полному набору промежуточных in-состоя

ний	и пользуясь редукционной			формулой,		мы	получаем
уравнения полноты, или уравнения					Глазера — Лемана —
Циммермана (ГЛЦ),			[8]	оо		I

r(p,	q, P) - 7(q ,	Р, Р )= — i 2		2 П Г " I		1	X
	I	;	L, R 1=1		‘

х { П б+ (kt) -		П б_ (Л,)} Гатр(р,			PL;-K)~ram» (я, Рд; К).
	v 1	1					(2.35)

Здесь Я обозначает совокупность переменных {pi,							. . р п},
а суммирование		2	производится		по всем	разбиениям Р
		l, л

на две взаимно дополнительные подсовокупности Pl и Рр.

Глава 2

Вх-пространстве эти уравнения принимают вид

ооI

г (х,	у, Х) — г(у,		х, X ) = - i 2	2 4	j lllduidV ilX
			L, Я 1=1			1
	х К‘ (и -		1/) ramР (X, X L\ V) ramР (у,			Х и; V),	(2.36)
где	Х = {хи		и = {щ,		и	т. д.,
			i	i
	К 1 (и -	V7)= 1J Л+ («г - Vi)-- 1 1 л + (Vi - щ ) ,					(2.37)
			i	i
	А+ (6 )= — Щ Г J			d*Pб+ (Р) е~Ы •			(2-38)
Центральным звеном нашего подхода в теории возмуще
ний	является	теорема Глазера — Лемана — Циммермана

(ГЛЦ) [8, 181. В ней утверждается, что описанная выше теория поля полностью характеризуется своими запазды вающими функциями, и формулируются условия, при выполнении которых заданный набор запаздывающих функ ций определяет некую теорию поля. Мы приведем такой вариант этой теоремы, который специально приспособлен к потребностям теории возмущений. Предположения, кото рые формулируются ниже, сильнее, чем необходимо, но они выполняются в теории возмущений и обладают тем преиму ществом, что позволяют значительно упростить формули ровку теоремы ГЛЦ.

Прежде		чем сформулировать эту теорему,						мы	введем
некоторые		новые	понятия и		обозначения.
а)	Функция			/ (»!, . . .,	ип)	называется		непрерывно
в смысле		Гёльдера		с индексом е,		е > 0, если величина
	f (и1+ аь ■.		ап + ап)— / (и!,		...,	ип)	№	= 2	а?,
				\А Iе

остается ограниченной при | А | -> 0 для всех щ. Введем пространство #„ функций, непрерывных в смысле Гёль дера и быстро убывающих на бесконечности. Его элемен тами являются функции f (U), для которых справедливо условие1

111“» ( (1+u‘f 11'■<у>i+ у У ™ } <

< оо (2.39


	Формализм Лемана — Симанзика — Циммермана		25
для	произвольного конечного Л 0 и всех положительных
целых степеней N г).		(2.15) мы предполагаем, что волновая
б)	В формуле
функция f — основная		функция умеренного роста. Факти
чески операторы Л^х,		образованные из операторов свобод

ного поля Ле\ существуют на более широком классе вол новых функций, а именно на всех функциях }, для которых

Это

пространство содержит, в

частности,

функции

/ (р) 6

6 Яе,

е >

Более того,

для

функций f (рь

. . . , р„) £ Яе

существует вектор

d3Pi

■>■..........Р”>х

2co (pj)

(р,) . . .

(р„) Q.

(2.40)

Линейное пространство, натянутое на

все

векторы

такого

вида,

мы будем обозначать X Iх.

х (р) 4-вектора р

в)

Введем

вспомогательную функцию

со следующими свойствами: х принадлежит

классу С00,

X = 1 Д ля ро = to (р) и

supp X <=

{р:

Ро > 0,

0 <

Л <

рг < В <

4 т 2},

(2.41)

где

и В выбраны так, что (р +

q) $ supp

х. если р, q £

6 supp X-

Функцию х можно выбрать

в виде

X (Р) =

0 (Ро) X (/>2),

(2.42)

где

х ( т 2) =

и supp х

{А <

р2 <

В).

вариант тео

Теперь

мы можем сформулировать

наш

ремы ГЛЦ.

Теорема 2.1.

дг„),

п =

. . . — обобщен

Пусть

г (*!, . . . .

ные функции умеренного

роста со следующими свой

ствами:1

1) Волновые функции, непрерывные в смысле Гёльдера, введены Шнейдером [21]. Свойства функций, непрерывных в смысле Гёль дера, описаны в этой работе, а также в работах [22, 23].

26	Глава	2
A. Функция г (X)	вещественна, инвариантна отно
сительно преобразований		из группы	и инвари

антна относительно перестановок переменных х2, . . .

• • •I	х п.							в облас
Б. Носитель функции г (X) содержится								в облас
ти Тп, определенной условием (2.23).								Pl, рр,
B.	Пусть	0 <	е <	V2 и /	(pi,	Pi,	• •	Pl, рр,
qu	qy) £ Не,		ф (ku	. . .,	ka) 6		Тогда функция
		У				Р
F(P~, Q) =		I I x ( - ^ ) J d / C d P I I x					(рА ф (К) х
	X f (Р-, Р,			Q) ramP (К;		Р-,	Р, Q)	(2.43)

существует и принадлежит пространству Нг- для любого е' < е. Отметим, что аргументами всех функ ций в подынтегральном выражении (2.43) следует выби рать Р~, Р, а не Р0, Р. Случай а = О, р + у = 2 исключается.

Г. Функции г удовлетворяют уравнениям полноты

(2.36).

При выполнении этих предположений разложение Хаага

оо
А(х) = 2 4 " j	dui	dutr&mp (*;	uu	ut) X
		X :Aln(Ul) . . .	Ain(«;):	(2.44)
сходится сильно	на	пространстве	Х еп1 и определяет

поле Вайтмана, удовлетворяющее постулатам I—V, причем заданные здесь г-функции — это запаздываю щие функции самого поля А (х). Более точно: задан ные функции г представляют собой возможный набор запаздывающих функций поля А (х). (Это уточнение необходимо ввиду неединственности определения функций г.)

Условие В в этой теореме гарантирует существование интегралов, входящих в условие полноты (2.36). Условие Г помимо всего содержит предположение, что сумма в фор муле (2.36) сходится. Точнее, предполагается, что сумма по I сходится по отдельности для каждого разбиения (L , R).

Формализм Лемана — Симанзика — Циммермана

Двоеточие в формуле (2.44) обозначает виково (нормальное) произведение.

Разложение (2.44) можно обобщить:

		СО
R ( x u - . - , хп) = г (*!, . .		дгп) + 2 -7Г j dUi ■• • du‘ х
		i=i
X ramP (Xu • • •, Xni	Ut.........и,): Л'п (и,) . . . A *		(u,):.	(2.45)
Доказательство	этого	варианта теоремы	ГЛЦ	можно

без труда получить из доказательства более общего вариан та этой теоремы, приведенного в работе [18]. Сильная форма предположения В, которой мы воспользовались, избавляет от необходимости при формулировке теоремы вводить обобщенные запаздывающие функции, хотя они все же удобны при ее доказательстве. Можно доказать, что при сделанных предположениях эти функции существуют и об ладают надлежащими свойствами.

Поскольку комбинаторная часть доказательства теоре мы изложена довольно кратко и в работе [18], и в ориги нальной работе [8], мы изложим здесь еще раз главный раздел доказательства: докажем, что запаздывающие опе раторы вида (2.45) удовлетворяют тождествам (2.22). Это доказательство может также служить моделью аналогич ных выкладок, которые потребуются нам ниже, но не будут приводиться явно.

Для простоты ограничимся двухточечным случаем

R (х, у) - R (У, х) = - i [А (х), А (у)}. (2.46)

Обобщение на произвольный случай проводится непосред ственно.

Преобразуем правую часть формулы (2.46), подставив в нее разложение (2.44):

Правая часть= — i [А (х),			А (*/)] =
оо	оо	I	I *
= - {1 2	S	т г i t 1 И	dUi И	dv^ mv (*; и) ' amp (у; v ) x
1=0 l'=0		1	1
x : A ln(ui) .	. . A in(ul)::Ain(vi) . . .			A * ( v , . ) : - ( x ~ y)} . (2.47)

28 Глава 2

Согласно теореме Вика, имеем

m in (I, I')

(«О ... Ain(и,): :Ain (v,) . . . Ain (vr ) : = 2	ik X
ft=0
X 2 A+(«ii —»ii) • • • A+(Uik — Vjh): Ain(ut)	... Ain(vr):.
<V V	(2.48)
	(2.48)

Вторая сумма берется по всем возможным спариваниям k переменных щ и k переменных v}. Черта над нормальным произведением означает, что в нем опущены те операторы A ia, аргументы которых входят в один из множителей Д+. Заметим, что в силу симметрии функций г все члены в фор муле (2.48) с фиксированным числом k дают один и тот же вклад в выражение (2.47). Поэтому достаточно вычислить вклад только одного члена, а затем умножить его на полное

число таких членов:

оооо min(Z, I')

Правая часть =		- 1 { 2 2	2	Т Г	1 х
		1=0 i'= 0	ft=0
l	Г	к

X f П dm П dVj П A+ (« V — »v) '■amp (X\ U) ramp {у; V) x

1 1 v = l

x : A in(uh+l) ... /Г (« ,) Л ш(оА+1) . . . Ain(Vl.): - ( * — </)}.

Заменим обозначение переменных:

(uh+u •••>«;) Vk+i, . . . , V i

->(ШЬ . . . , W a, Wa+1, . . . , W a+b), 0 = 1 — k, b = l ' — k

и изменим порядок	суммирования (можно показать, что
это допустимо в том контексте,				в каком будет использо
ван этот расчет). В результате получим
	оо	оо	оо	a-J-b
Правая часть = — t {	2 j	2	2	‘к Т Г ' й _ Т г 1 П da;* X
	й = 0	а = 0 Ь =0		1
				к

X :Л 1п (ш4) . . . А*п {Wa+ъУ- Y \[dU i dVi&+{Ui — Vi)] X

Формализм Лемана — Симанзика — Циммермана

			X ramp (х; wu . . . , wa,					......... uh) X
	X ramp (У; ОУа+1 , • • • >wa+b,						V,, . . . ,		vh) — (x —*• y) \|		=
=	- '	{ S	-ST	2	( “ ) J II			^	M	... А'- (ш„): x
		a=0		a=0		1
			oo		h
			X 2	T f 5					— »l)l X
			h = 0	’	1
			X ramp (*;		wu		wa,	uu	. . . ,	uh) X
		X ramp (y;			Wa+u	■■■, w a , Vu ... , vh) — («-«,)} .
Вследствие			симметрии нормального						произведения		сумму
2	(* )	можно заменить				на	сумму		2*	гДе суммирование
а=0 ча '									L,R

проводится по всем возможным разбиениям совокупности

переменных		№ =		{гг^, . .	и»0 } на	две	взаимно дополни
тельные	подсовокупности				WL и	Wн:
				00
Правая	часть=		— i 2		j dW :Л\|п(до,)		. . . Ain (wa): x
00				a —0
00				k
x { 2	^	2	j	П [duidv^+^i — Uj)l ramp (x-, W L, U ) x
h = 0		L, R	"	1

X ramp {y; WR, V) — (x* --«/)j.

Сравнивая этот результат с формулой (2.36), получаем

	оо	а
Правая часть =	— 2	( Y\dwt :Л1П(до,) . . . Л‘п(доа): X
	а —О	1
X{ramp(*,	у; Г ) - / * " 41 («Л л:; W)) = R{x, y ) - R ( y , дс),

что и требовалось доказать.

Теорема ГЛЦ в	том виде, в каком она сформулирована
нами (см. теорему	2.1), все еще не	обладает той формой,
в которой мы будем ее использовать.		Необходимо перефор

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ