книги из ГПНТБ / Штейнман, О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля

J%{K, р, Pi, Q) =

l

= j dW П б+ (0»,; m / k ) ? x (K L, PL, Pxl, - W ) X

1

x 7 k.a x (K n, Pr , Pkr, W)- (8 .2 2 )

Далее определим функцию J\ так же, как в (7.17), но с под­ становкой в нужных местах множителей к и ю^. В частно­

сти, следует ввести множитель jj[ Iсо^ (р;)]-1. По гипотезе

индукции функции k ~ ciEj \ представляют собой ограничен­ ное семейство в пространстве

Hei{KR, РЯ| PI'Ql, U, W; Qn, V) при е, < е.

Образуем теперь выражение J\(Wl, Pi, Q, U, V), подста­ вив в соответствующие места формулы (7.18) множители к и сохПрименив опять гипотезу индукции, найдем, что функции

Поскольку функция /о представляет собой сумму чле нов вида (8.22), мы доказали, что она обладает свойствами, сформулированными в теореме 8.2 для функции г£. Если выбрать специальный случай, когда совокупности перемен.

Здесь — непрерывные функции с компактными носите­ лями, не зависящими от к. Более того, функции Fa непре­

рывно зависят от Дх (см. обсуждение теоремы 26 в моно­ графии Шварца [19]), так что

Здесь Gh — фурье-образ функции Дх (S), т. е. целая функ­ ция. Из (8.29) и (8.30) можно получить оценку

где аР— положительно определенный полином, не зави­ сящий от к, и при е > О

lim к~еСх = 0.

\ —оо

Аналогичные оценки справедливы для производных от и, следовательно, также для ее гёльдеровых норм С учетом

этой информации можно доказать, что функция Д^ удовле­ творяет условиям теоремы 8.2. Доказательство аналогично

не была существенной; достаточно было лишь свойства ограниченности типа (8.32). (Конечно, значение константы с0 может быть больше ее значения в простейшем случае.)

Остается доказать, что функция т\аи (Р) удовлетворяет условиям теоремы. Тщательная поэтапная проверка пока­ зывает, что этого можно достичь дословным повторением

доказательства того, что функция ricit удовлетворяет тео­ реме 7.1 со следующими изменениями. Все функции и обоб­

щенные функции 7; „, /, f и т. д. приобретают индекс к\ то же относится и к переменным Р~, Р'~ и т. д. Функции %(р), %° (р) необходимо заменить на функции %(кр), Х°(кр), а также ввести множители [to^ (р;)1-1- Любое утверждение типа «/(К, U) € He (U; К)» следует заменить

для d (п, о). Существуют теории, для которых условие (8.33)

если бы (8.33) представляло собой равенство. Можно допу­ стить также, что подлинное возрастание значения d (я, о) по сравнению со значением (8.33) происходит в результате сокращения различных членов в / 0. Однако подобные сокра­ щения членов никогда не наблюдались и маловероятно,

Более общее утверждение гласит: число неоднозначно­ стей тесно связано с разностью

Если б (п, а) < 0 при п > 2, б (2, а) ^ 2, то никаких неоднозначностей не существует. Число неоднозначностей растет с ростом б. Из неравенства (8.33) следует

для всех п, кроме конечного числа. Все остальные теории называются неперенормируемыми. В неперенормируемых теориях с ростом порядка а число неопределенностей неогра­ ниченно возрастает.

Из соотношения (8.36) следует, что критерии перенормируемости (8.37), (8.38) выполняются для теорий типа (4, 0) и (3, 0). Они соответствуют в канонической теории поля теориям с лагранжианами взаимодействия А4 и Л3, кото­ рые, как известно, перенормируемы в каноническом смысле слова. Если исключить некоторые маловероятные сокра­ щения, только эти две теории являются перенормируе­ мыми, отвлекаясь от тривиальных моделей типа тех, что упоминались при обсуждении теоремы 8.3. Напомним, что мы принимаем р ^ 3, и отметим, что v должно быть чет­ ным числом, поскольку только полиномы четных степеней могут быть лоренц-инвариантными.

Конец этой главы мы посвятим краткому обсуждению двух перенормируемых теорий.

Теория типа (4, 0)

Отметим сначала, что все функции га с нечетным числом аргументов обращаются в нуль:

Оценка (8.36) при р = 4, v = 0 принимает вид

во всех порядках о функциями гх низших порядков. Поскольку

отвечает в точности граничному значению, начиная с кото­ рого появляются неоднозначности. В каждом порядке о мы

с другой основной проблемой: как охарактеризовать взаи­ модействие критерием, сформулированным вне рамок теории возмущений. Предложенная выше процедура задания мо­ дели путем спецификации ее запаздывающих функций

впервом порядке, очевидно, не вполне удовлетворительна.

Вданном случае можно предложить следующее. Четырех­

и аналитична в окрестности начала координат [27]. Поэто­ му ее значение в начале координат

ности функции г (X).

Определим теперь теорию типа (4, 0), предположив, что

величина g имеет предписанное ненулевое значение, а все функции г (xit . . ., хп) обладают максимальными допу­ стимыми s-степенями, совместимыми с этим значением.

Применим этот критерий в теории возмущений. Пусть

Потребуем, чтобы

(8.47)

О

где константа g фиксирована. Здесь мы сталкиваемся с проб­ лемой определения «константы связи» g, т. е. такого пара­ метра разложения, который не определяется общей харак­ теристикой теории, приведенной выше. Более естественным представляется выбор в качестве параметра разложения

в точности функцию ri {pi, . . ., р4), с которой и начнем

построение теории. Все другие функции rt (Р) обращаются в нуль, поскольку очевидно, что среди возможных решений нулевое решение отвечает максимальной s-степени. (Мы применяем требование максимальности по отдельности в каждом порядке, пренебрегая возможными сокращениями членов различных порядков.) Построение высших порядков происходит в точности по сформулированным выше пра­ вилам, а неоднозначности в четырехточечной функции фиксированы условием (8.49).

Однако выбор (8.48) не является единственно возмож­ ным. Его можно обобщить следующим образом:

гДе g (g) — степенной ряд по g. Параметры ga могут быть

(р,,. . ., рп) — gj64 Q^Pi), а в остальном будем строить

теорию, как и прежде, используя для устранения всех неоднозначностей условие (8.51). Легко убедиться в том, что два решения

совпадают в смысле формальных степенных рядов. Дей­ ствительно, если разложение (8.50) подставить в решение (8.52), а затем перестроить ряд по степеням g, то окажется, что коэффициенты результирующего разложения r„ (X) обладают всеми нужными свойствами коэффициентов r'a (X ) и тем самым совпадают с ними.

Свобода выбора функции g (g) в формуле (8.50) есть частное проявление той свободы выбора, которая известна в канонической теории возмущений под названием «ренор-

мализационной группы» (см. [5], гл. 8). Переход от g к g соответствует конечной перенормировке константы связи. Аналогичная свобода в принципе имеет место и при выборе массы т. Вместо того, чтобы рассматривать массу как фикси­ рованный внешний параметр, мы могли бы так же, как

вслучае с g, считать ее функцией константы связи: т —

=т (g). Но это привело бы к значительному усложнению формализма, связанному с тем, что т явным образом (через

посредство А+-функции) входит в соотношения полноты (2.36). Очевидно, что вводить такое усложнение в рас­ сматриваемую простую модель не имеет смысла. Однако это вовсе не так для моделей с частицами нескольких сор­ тов, где зависимость от g разностей масс может иметь важ­ ное физическое значение. Подобная ситуация рассматри­ вается в работе [33].

Теория типа (3, 0)

Эта теория соответствует лагранжиану взаимодействия А3. Как известно, такая теория, строго говоря, не имеет смысла [341, поскольку в ней нарушается требование поло­ жительности энергии. Однако эта трудность в теории воз­ мущений не проявляется. Поэтому такую теорию допустимо рассматривать в нашем контексте и это рассмотрение может