книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

Искомый закон движения у (х )= б (х ) должен обеспечивать

заданный ход ведомого звена на заданном интервале, что при­ водит к изопериметрическому условию

1

Кроме того, так какпо условиям работы механизма «мягкие» удары недопустимы, потребуем еще, чтобыудовлетворялись следующие соотношения:

Рассмотрим вспомогательный функционал

Учитывая изопериметрическое условие (11.115), найдем, что функция У р ( х ) должна сообщать безусловный минимум функ­ ционалу

о

где А, — неопределенный множитель Лагранжа. Дифференциальное уравнение Эйлера—Пуассона для функ­

ционала (11.118) имеет следующий вид:

X - 2 y ' + Jr:yIV = 0.

Интегрируя это уравнение, получим

у = - 4 - jc2+ С,х + С2+ С3еР* - f С4е - /«,

где Си С2, С3, С4— постоянные интегрирования.

Далее находим

У ==■ - -А. Л+ Сх+ рСфР* - рСф - г*.

Используя граничные условия (11.114) и (11.116), получаем си­ стему уравнений

С2-\-С3-\- Сц — О, С\-\-рСъ— р С 1= 0,

72

Решая систему уравнений (11.119), получаем

_х

Подставляя соотношения (11.120) в функционал (11.117), получаем

+ р (2 —ер—g-*) + /> (е'р— 1)еР* —р (1 — ер) егРх]2+

i_ [_2p(2 — ep — e-P) + p2(e-p— l)epx-}-p2( l — eP) e~Px]^dx.

73.

После достаточно громоздких преобразований получим

что совпадает с результатом § 4, гл. II. При этом соотноше­ ния (11.120)—(11.122) вырождаются в соотношения (11.68) —(11.70).

Сообщая параметру р различные значения, получаем семей­ ство функций У р ( х ) , и з которого может быть отобрана функция,

наилучшим образом отвечающая условиям поставленной зада­ чи. Можно показать, что переходя к пределу при р->-оо, полу­

чим Rp-^Rmш=12, что совпадает с результатами § 4, гл. II.

/?-*оо Начиная с р>р* все функции уР(х) могут быть приняты в

качестве решения, так как они удовлетворяют всем граничным

.условиям и сообщают функционалу оптимальности Rp значение,

превышающее минимальное значение на малую величину по­ рядка е. Представляет интерес определение величины р* по за­

данному е*, начиная с которой выполняется соотношение

(11.123)

Учитывая, что при р > 19 величиной е р можно пренебречь, запишем выражение для функционала R p в виде

Сохраняя только члены, линейные относительно е*, найдем

. 6 -f- 4е*

Р >

74

При сравнении различных законов движения представляет интерес оценка максимальной скорости и максимального уско­ рения ведомого звена. Для максимального значения инвариан­ та скорости бшах получено выражение

3

— Р- — 6/7

°ШаХ = /7'-' — 6/7 + 12 •

Что касается максимального значения инварианта ускоре­ ний £тах, то его значение получено численным расчетом. Вычис­ ленные для различных е* значения р* и соответствующие зна­ чения R p, бшах, ?шах приведены в табл. 7. Анализируя последо-

Т а б л и ц а 7

Результаты по приближенным безударным законам движения

вательность е-оптимальных законов движения (табл. 7), можно сделать вывод, что эти законы превосходят как закон равноубывающего ускорения, имеющий «мягкие» удары, так и сину­ соидальный закон, имеющий величину бШах=2, £тах = 6,28. На рис. 10 приведены графики инвариантов подобия основных ки­ нематических функций для /7= 300, что обеспечивает превыше­ ние критерия оптимальности R p всего на 2%.

Применение указанного способа может быть рекомендовано и для более сложных задач динамической оптимизации меха­ низмов.

§9. Анализ полученных результатов

Внастоящем параграфе дается сравнительная характери­ стика задач оптимизации и методов их решения, обсуждается вопрос об устойчивости исходных критериев оптимальности и о достаточных условиях минимума, указываются возможные об­

ласти применения полученных результатов.

75

1) У с т о й ч и в о с т ь в а р и а ц и о н н ы х к р и т е р и е в Д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я м и н и м у м а . Удовлетворение уравнению Эйлера является лишь необходимым условием того, чтобы закон движения сообщал минимум исходному функцио­ налу и выбранному критерию оптимальности [48]. Строго гово-

Рис. 10. Приближенный динамически оп­ тимальный закон движения с непрерывным графиком ускорений.

ря, для доказательства этого необходимо исследование доста­ точных условий минимума. Этот вопрос имеет скорее теорети­ ческий интерес, чем прикладной, так как в реальных условиях само существование решения вариационной задачи является по­ ложительным ответом на вопрос о достаточных условиях мини­

76

мума. В частности, в рассмотренных выше задачах обеспечение минимума исходных функционалов найденными законами дви­ жения подтверждается тем соображением, что существование максимума у этих функционалов исключено. Всегда можно сконструировать закон движения со сколь угодно большим зна­ чением, например, максимальной скорости и средних ускорений ведомого звена, смещая центр тяжести' эпюры ускорений на от­ резке [0, 0,5] к середине от­

вая скорость ведущего зве­ на постоянна, используя для закона движения форму позицион­

ных инвариантов подобия и обозначая 6(х) =у, 1(х) =у', потре­

77

где ||Д|]— норма критерия оптимальности; р(х) — весовая функ­

ция, непрерывная вместе со своей первой производной на отрез­ ке и удовлетворяющая условию р ( х ) > 0.

Искомый закон движения должен удовлетворять граничным условиям

функций у(х), непрерывных вместе ^производной у'(х) на от­

резке [0,1], удовлетворяющих предельным условиям (11.125) и изопериметрическому условию (11.126), требуется найти ту функцию, для которой функционал (11.124) принимает наимень­ шее значение.

Оо

78

функционалу и критерию оптимальности в классе всех допусти­ мых функций D, не имеющих «мягких» ударов внутри отрезка

[0,1]. При этом под допустимыми понимаются непрерывные функ­

промежутка [0,1] функций, то в этом более узком классе най­

денный закон движения (инвариант скорости) имеет минимум максимального значения, что легко проверяется.

На практике важен вопрос о зависимости выбранного кри­ терия ||,/?|] от вида закона движения. Этот вопрос представляет интерес по двум причинам.

1) При воспроизведении найденных законов движения шар­ нирно-рычажными механизмами реальные законы движения не­ избежно отличаются от исходных теоретических. В этом случае представляет интерес оценка получающегося отклонения дей­ ствительного значения критерия оптимальности от теоретиче­ ского, а также вопрос о том, как осуществлять синтез механиз­ мов для уменьшения получающейся ошибки.

2) После корректировки некоторых законов движения для ликвидации «мягких» ударов в граничных точках отрезка [0,1]

получающиеся законы движения (без «мягких» ударов) сооб­ щают обычно большее значение исходному критерию оптималь­ ности, чем исходные законы движения. При этом представляют интерес как оценка отклонения величины выбранного критерия, так и соображения о наилучших способах корректировки.

Учитывая, что величина (норма) критерия оптимальности WRW связана со значением квадратичного функционала R соот­

ношением ||# ||= !'ГЯ, получим, что увеличение нормы

Д1RII = IIR (У)11-ЦЖУ0) II = УЖУ)~ УЖУ),

где у,, — оптимальный закон движения, сообщающий минимум функционалу R и норме |#||; у — фактический закон движения. Обозначим 7j=_y — у0, где г, (х) — ошибка воспроизведения

закона движения или корректировочная функция. Имея в виду, что функция 7j(jc) удовлетворяет соотношению (11.128) и одно­

b \ \ R \ \ = y w y ) [ Y m ! ) ~ \ -

79

По формуле (11.129) можно оценивать относительную погреш­

о том, что исходные функционалы устойчивы по функции у, т. е. малым изменениям у соответствуют малые же изменения нор­

мы ||Д||. Об этом свидетельствует то, что функция-ошибка вхо­ дит в соотношение (II. 130) своей обобщенной интегральной характеристикой. Поэтому даже значительные местные отклоне­ ния функции г]' от нуля не должны существенно повлиять на величину Дг, если только ц' на отрезке [0,1] в среднем доста­

точно мала.

Указанное подтверждается непосредственными расчетами. Так, закон движения 2 (§ 2, гл. II) корректирует с целью лик­ видации «мягких» ударов в граничных точках закон движения 1

(§ 1, гл. II) для случая постоянной скорости ведомого звена. На рис. 12 приведены графики инвариантов ускорений для этих законов, а также график производной корректировочной функ­ ции х\'(х). Функция г\'(х) имеет сравнительно большие значе­

в этих случаях достаточно близки. Так, максимальная величина

разница составляет всего 4,3%. Этот результат показывает, что в ряде случаев корректировка законов движения с «мягкими» ударами может быть достаточно эффективной, так как ликви­ дация «мягких» ударов в граничных точках рассматриваемого отрезка увеличивает область применения полученного закона движения без существенного ухудшения величины исходного критерия.

80

Отметим, что устойчивость исходных функционалов допуска­ ет возможность использования не только кулачковых, но и шар­ нирно-рычажных механизмов для воспроизведения полученных законов движения. При синтезе шарнирно-рычажной схемы сле­ дует добиваться хорошего качества воспроизведения в среднем, для чего целесообразно использование методов среднеквадра­ тичного приближения [49].

Полученные результаты строго относятся только к базовому случаю равномерного вращения ведущего звена, выбору исход­ ного функционала в виде (2.124) и отсутствию дополнительных граничных условий по производным от закона движения (§ 1, 3,

Ряс. 12. Аппроксимация гладкой функцией у, (х) ис­ ходной разрывной функции у2 (х).

гл. II). Однако можно полагать, что и в других рассмотренных случаях определения оптимального закона движения в резуль­ тате интегрирования уравнения Эйлера имеют место аналогич­ ные тенденции.

Отметим, что аппроксимацию следует проводить по диффе­ ренциальным кривым (инварианту ускорений), так как погреш­ ности аппроксимации при интегрировании «сглаживаются» и графики скорости и перемещения получаются с более высокой точностью. Напротив, аппроксимировать график скорости, а тем более перемещения нецелесообразно, так как при дифферен­

таты, полученные в настоящей главе, носят не только методоло­ гический характер. Найденные законы движения могут найти применение в задачах оптимизации реальных механизмов про­ изводственных машин-автоматов. При этом существенным яв­ ляется предположение о том, что скорость ведущего звена из­ вестна. Такая постановка характерна для задач расчета цикло­ вых исполнительных механизмов производственных машинавтоматов, приводимых от главного вала, на котором закреплен