книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

Преобразуем выражение (11.95) интегрированием по частям. Обозначим

Параметр р, отражает соотношение допустимых величин сил инерции и динамической мощности и является известной вели­ чиной. Неизвестная величина v может быть определена из (П.97). Далее определяем

Таким образом, найдены все неизвестные и задача решена.

Вкачестве примера рассмотрим типичный случай: р1= р 2= 1, р,= 1, соответствующий равноопасности и равнозначности мини­

мизируемых динамических факторов. Решение (11.97) на ЭЦВМ «Минск-22» дает значение для v: v = 0,5127, причем

62

Я^-)1!* =1,9973.

О

После ряда последовательных вычислений получим

Таблица 6

Инварианты подобия для закона комплексной динамической оптимизации

63

5

Рис. 8. Кривые закона движения, синтези­ рованного по комплексному критерию оптимальности, учитывающему уровень динамической мощности и ускорений ме­ ханизма.

64

где Ь=у — инвариант скорости. В табл. 6 приведены значения инвариантов ускорения I, скорости б и пути %полученного зако­ на движения. Соответствующие графики приведены на рис. 8.

Если по условиям работы «мягкие» удары недопустимы, то по­ лученный закон движения следует откорректировать в начале

иконце интервала.

§7. Оптимизация механизмов по комплексному энергетическому критерию

Вряде случаев представляет интерес улучшение энергетиче­ ских характеристик проектируемого механизма как в динамиче­ ском отношении, так и в отношении затраченной работы дви­

жущих сил. В этом случае становится целесообразным требова­ ние минимизации некоторого комплексного критерия, характе­ ризующего сумму затраченной работы и нормы работ сил инерции системы за период. При этом обобщенный момент тех­ нологических сопротивлений Мс полагается известной функцией

положения механизма. Улучшение энергетических характери­ стик механизмов может быть достигнуто рациональным выбо­ ром передаточной функции системы, которая, как обычно, долж­ на обеспечивать заданный ход ведомого звена на рассматривае­ мом интервале и удовлетворять условиям непрерывности и без­ ударного движения.

При решении этой задачи предполагаем, что ведущее звено имеет постоянную угловую скорость. Такая постановка пред­ ставляет интерес для задачи оптимизации силовых механизмов, у которых с ведущим звеном связаны значительные маховые массы, так что его скорость близка к постоянной.

Критерий оптимальности можно записать в виде

лыми инерционными нагрузками эта функция будет минимизи­ ровать потребную работу (и мощность движущих сил), а для быстроходных механизмов с малыми технологическими нагруз* ками — норму работы сил инерции за период.

К числу дополнительных соотношений, которым должна удо­ влетворять искомая передаточная функция П', относится требо­ вание, чтобы механизм имел заданные углы рабочего и холо­ стого хода (фр и фх), а также заданное значение хода ведомого звена (По).

Обозначив передаточные функции на рабочем и холостом ходу Пр и Пх, запишем указанные выше условия:

тельно ниже, чем на рабочем ходу Мс. р. Учитывая это, соот­

Эта задача допускает решение точными методами. Уравне­ ние Эйлера имеет для функционала (11.99) вид

где /- — подлежащий определению множитель Лагранжа. По­ лученное уравнение совпадает с уравнением задачи о мини­ муме динамической мощности (§ 6, гл. II), что является след­

ствием предположения о постоянстве момента сопротивления. Решая его, получим

где а = Ж0-(-Х. Постоянные интегрирования Q и С2 опреде­

ляются из граничных условий (11.101) Сх = ^ - а у 9а?‘ , С . =

66

Ф = Я + X/.

Нетрудно видеть, что определение коэффициентов а, Ь, с сво­

дится к решению нелинейной системы уравнений

(II. 108)

или систему двух уравнений 2-го порядка, что удобнее с расчет­

ной точки зрения. После ряда преобразований получим общую

0

q, = - 0,725298?4p, ?2=0,009096?*,

Яг = - 0 , 64761 V p, = ~ 17,276192-^,

<75 = 2 ,0 0 0 0 0 0 -^ ,

Yp

68

. Совершенно аналогично решая задачу для k —\, получим

ПоПХ= ® (3,665 — <р) (0,28<р2 + 0,010).

Графики этих функций приведены на рис.-9.

Рис. 9. График закона движения, син­ тезированного из условий минимума комплексного энергетического критерия.

§ 8. Приближенный метод построения оптимальных безударных законов движения

I

Как уже указывалось, применение точных методов, связан­ ных с интегрированием дифференциального уравнения Эйлера для данной вариационной задачи, ограничивается тем, что по условиям работы механизма искомый закон движения должен удовлетворять дополнительным граничным условиям. Поэтому полное число граничных условий превышает число постоянных интегрирования уравнения Эйлера.

Например, функция у(х), сообщающая минимум величине

среднеинтегральных ускорений ведомого звена |^ |

1

||^||еее/? = j y '2d x

о

70

то использование точных методов невозможно, так как число граничных условий (4) превышает порядок дифференциального уравнения Эйлера п = 2.

где / — функция, удовлетворяющая всем необходимым требова­ ниям непрерывности и гладкости; р — вещественное число.

Функция, сообщающая минимум функционалу (11.113), мо­ жет быть найдена из дифференциального уравнения Эйлера— Пуассона, которое для данной задачи имеет вид

т. е. является уравнением 4-го порядка, общий интеграл кото­ рого содержит 4 постоянные интегрирования. Эти постоянные интегрирования могут быть определены из граничных условий (11.110), (11.111). Таким образом определяется функция у(х,р),

удовлетворяющая 4 граничным условиям и сообщающая мини­ мум функционалу (11.113). Можно показать, что при достаточно больших р по модулю функция у(р,х), удовлетворяющая гра­

му ему функцией у(х), которая является решением вариацион­ ной задачи (11.110) — (11.112).

На практике проще всего выбирать функцию / ( / ' ) в виде /( У ') = У '2. В этом случае уравнение Эйлера—Пуассона имеет вид

Принимая в качестве критерия оптимальности величину среднеинтегральных ускорений ведомого звена, находим, что искомая функция у(х) должна сообщать минимум функционалу

1

R= J y '2dx

О

при выполнении однородных граничных условий

71