книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

Соотношения (11.47) и (11.50) определяют искомый динами­ чески оптимальный закон движения в виде функции, непре­ рывной на отрезке [0, 1], удовлетворяющей поставленным од­

нородным граничным условиям.. Конкретный (численный) вид этой функции зависит от п параметров а*. Эти параметры в

силу соотношений

Выбирая соответствующим образом положительные пара­ метры «г. удовлетворяющие условию (11.51), можно усилить полученную оптимизацию по выбранному критерию. Для этого надо потребовать, чтобы параметры ai сообщали минимум функционалу R (R рассматривается как функция п перемен­ ных a i ) . Для составления выражения Я (а,) предварительно

установим следующие зависимости:

42

рых /г<0‘— 1. Значение функции у, на правом конце i-го участка (при x = x t) может быть найдено из выражения (И.47)

З а i 1

(И.53)

Рассматривая рекуррентные соотношения (11.53) как систему линейных алгебраических уравнений относительно y h получим

N

gfe

У1

'

fc=l

В соответствии с правилом неопределенных множителей Ла­ гранжа параметры аг будем искать из системы уравнений

ляется соотношением (11.51). Учитывая, что - р - = 1, запишем

систему уравнений (11.54) в виде

Соотношения (11.55) и (11.51) образуют неоднородную алгеб­ раическую систему уравнений, из которой могут быть опре­

я—1 л—1

6 i=l m=*

( - D Я—ft—1 d-nk — }Л—ft—1д*

После ряда преобразований с учетом приведенных выше соотношений получим систему линейных алгебраических урав­ нений л-го порядка

/=1

43

В системе уравнений (11.56) коэффициенты CVj и <7,- вычисля-i ются по следующим формулам:

0 при у '< л — 1,

Из системы уравнений (11.56) определяются параметры on-i тимизации аь после чего зависимости для оптимального за­

кона движения на г-м участке (11.47) приобретают численный вид. Таким образом, динамически оптимальный закон движе­ ния на отрезке [0, 1] построен как непрерывная функция, удов­

летворяющая однородным граничным условиям и изоперимет-i рическому условию (11.31).

44

Соответственно выражения для инвариантов ускорения !(х ) и пути С(х) имеют вид

Графики полученных инвариантов подобия пути £, скорости б и ускорения | приведены на рис. 3,6 для случаев р = 2, 5, а также для случая р = 1, что соответствует требованию равно­

мерной минимизации средних сил инерции и совпадает с за-

;ных рабочих скоростях. Для использования полученных ре­ зультатов в более быстроходных системах необходима предва­ рительная корректировка полученных законов движения с целью ликвидации «мягких» ударов в граничных точках путем аппроксимации этих законов полиномиальными или тригоно­ метрическими функциями с необходимым числом непрерывных производных во всех точках отрезка.

§4. Решение оптимальной задачи для быстроходных механизмов

Сувеличением рабочих, скоростей производственных машин

становятся недопустимыми разрывы непрерывности второй Цроизводной функции положения ведомого звена («мягкие» удары). Одновременно целесообразным является уменьшение как ускорений, так и рывков ведомого звена (рывок представ­ ляет собой производную от ускорения по времени и характе­ ризует интенсивность изменения ускорения ведомого звена). В рассматриваемой задаче закон движения найден из условия минимума некоторого комплексного критерия, характеризую­ щего средний уровень ускорений и рывков ведомого звена в

характеризуется углом поворота ведущего звена <р0 и измене­ нием обобщенной координаты ведомого звена до, и обозначив

45

х = ^-, получим выражения для смещения q, скорости q, уско­ рения q и рывка q ведомого звена:

«жестких» и «мягких» ударов в граничных точках обеспечи­

удовлетворять изопериметрическому условию (11.59), которое выражает собой требование перемещения ведомого звена на

Норма критерия оптимальности, учитывающая средний уро­ вень ускорений и рывков ведомого звена,

инварианта рывка на том же интервале.

Критерий ||/?|| составлен в предположении равноопасности

46

придем к задаче отыскания оптимального закона движения из условия минимума функционала R:

R = \ { y ' 2 + f - ) d x

о

при наличии изопериметрического условия (11.59) и граничных условий (II.57), (11.58). Так как решение отыскивается в клас­ се непрерывных функций с непрерывными производными, то нулевые граничные условия по ускорениям и выбранные соот­ ветствующим образом ненулевые условия по скорости при ра­ боте механизма в заданном рабочем цикле гарантируют от возникновения как «жестких», так и «мягких» ударов. Обозна­ чим

Тогда искомая функция может быть определена в результате решения задачи об условном минимуме функционала

1

R = | (х- -f- z'2) dx

б

где 7i(x), X, (х) — подлежащие определению функции. Система уравнений для функционала (11.64) имеет вид

/•1-|- — 0,

/•1 = 0,

47

Тогда

Постоянные интегрирования С\, С2, С3, С4 и вспомогатель­

ный параметр v могут быть определены из граничных условий (11.63) и изопериметрического условия (11.59). Система линей­ ных алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования в матричной форме имеет вид

для цикловых механизмов. В этом случае выражения для без­ размерных позиционных коэффициентов скорости Ь(х), уско­ рения 1(х) и пути £,(х) приобретают вид

а из соотношения (11.67) следует, что v = 737, 463. Графики, построенные по уравнениям (11.68) — (11.70), приведены на

рис. 4. При использовании полученных формул все вычисления

48

следует проводить с достаточно высокой точностью (5—6 зна­ ков после запятой), так как, например, в формулах (11.68)—

(11.70) величина v сравнительно велика, выражение же, стоя­

Рис. 4. Кривые динамически оптимального закона, синтези­ рованного по комплексному критерию, учитывающему уро­ вень ускорений и рывков ме­

ханизма.

§ 5. Задача оптимизации в случае неустановившегося движения ведомого звена

Для широкого класса механизмов производственных ма­ шин-автоматов период работы, соответствующий одному обо­ роту ведущего звена, состоит из участков рабочего и холосто­ го хода. На рабочем ходу механизм преодолевает усилия тех­ нологического сопротивления, на холостом ходу эти усилия отсутствуют. При разбеге механизма на холостом ходу ско-

рость ведущего звена увеличивается, причем динамический ре­ жим на ведомом звене определяется как параметрами движе­ ния ведущего звена, так и видом передаточной функции меха­ низма. В этих случаях возникает задача выбора оптимальной передаточной функции механизма с учетом параметров, харак­ теризующих движение ведущего звена. Подобная задача воз­ никает также при расчете механизмов, у которых периоды неустановившегося движения играют большую роль. В дальней­ шем для определенности будет рассматриваться случай разбе­ га механизма.

Поставим задачу отыскать передаточную функцию механиз­ ма с одной степенью свободы на холостом ходу из условий минимизации среднеинтегральных ускорений (и сил инерции) ведомого звена при разбеге механизма, принимая в качестве базового случая разбега равноускоренное движение ведущего звена. При решении этой задачи для закона движения меха­ низма используем форму передаточных функций как более удобную при неравномерном вращении ведущего звена. Иско­ мая передаточная функция должна обеспечивать безударное движение, т. е. быть непрерывной и удовлетворять однородным граничным условиям:

где фх — угол холостого хода. Передаточная функция должна, кроме того, обеспечивать заданный ход ведомого звена П0, что приводит к изопериметрическому условию

где ©о — угловая скорость кривошипа в начале холостого хода; е — угловое ускорение кривошипа.

Найдем выражение для величины со0, полагая известными среднюю скорость ведущего звена за оборот и коэффициент производительности механизма

k — Ь

тельности ki и общему коэффициенту k легко находится кине­

50

матический коэффициент производительности к2: й2= /г/Л,. Из

соотношений

(*)Ср — &2^ср

можно найти выражение для <«*р:

Я = Щ [ ? П ' + Г Г ( 1 + 2 Р < р ) ] .

По условию задачи искомая передаточная функция должна сообщать минимум функционалу R:

/? = J q2d v

о

при наличии изопериметрического условия (11.72) и граничных условий (11.71).

Обозначим П'(®) = у. Тогда минимизируемый функционал

о