книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

Для решения этой системы целесообразно использование стандартных вычислительных программ для ЭЦВМ. В частно­ сти, полученная система при N = 9 решалась на цифровой вы­

числительной машине «Минск-22» для случаев: а) выстой—

ния охватывает характерные случаи в работе механизмов ме­ таллорежущих станков-автоматов (автоматов продольного то­ чения и токарно-револьверных автоматов). В табл. 2 приведе­ ны значения коэффициентов оптимизации аи для рассмотрен­

5 (л) = 179,5914л — 1689,8454л;2 + 6168,0840л:3 -

-9645,1050л4 - f 4309,6470л3 + 540,1095л6

+8532,1280л7 - 14580,2790л8 + 6185,6760л9. . (11.28)

С(л) = 29,93190л3 — 140,82045л4 -ф 308,40420л3 —

Сравним этот закон с законом движения, сообщающим по­ ставленному критерию минимум в более широком классе функ­ ций, а именно в классе функций, допускающих в граничных

32

Рис. 2. Корректировка закона движений с разрывным гра­ фиком ускорений достаточно­ гладкой функцией.

34

точках отрезка [0, 1] разрывы непрерывности инварианта уско­

рений («мягкие» удары). Такой закон был синтезирован в § 1, гл. II настоящей работы, где показано, что в случае постоян­ ной скорости ведущего звена он вырождается в известный за­ кон равноубывающего ускорения, для которого максимальное значение инварианта скорости 6тах=1,5, а максимальное зна­

Таким образом, в настоящем законе ценой увеличения ко­ эффициента максимальной скорости и средних ускорений на 4,3% и коэффициента максимального ускорения на 6,5% уда­ лось ликвидировать скачок ускорений Д£, который в законе

ведены графики безразмерного позиционного коэффициента ускорения %(х), скорости 6 (х) и пути £(х) для базового слу­ чая а = р = 0.

Полученный закон движения целесообразно применять в сравнительно быстроходных механизмах'при равномерном вра­ щении ведущего звена в целях уменьшения инерционных на­ грузок, получения благоприятных углов давления в кулачко­ вых механизмах, уменьшения крутящих моментов на главном валу.

§ 3. Оптимизация движения по критерию средневзвешенных ускорений ведомого звена

В предыдущих задачах динамически оптимальный закон движения находился из условия равномерной минимизации ускорений ведомого звена на заданном интервале при извест­ ной скорости ведущего звена. Иногда возникает задача о бо­ лее выгодном распределении сил инерции по ходу ведомого, звена при одновременном уменьшении сил инерции на всем ходу. Например, при синтезе тяжело нагруженных кулачковых механизмов в зоне удаления (подъема) более выгодным явля­ ется уменьшение сил инерции в начале подъема, когда усилие замыкающей пружины, усилие трения и силы инерции нагру­ жают пару кулачок—толкатель. Напротив, в конце участка удаления, когда силы инерции разгружают контактную пару, можно допустить более высокий уровень сил инерции. В этом и в других подобных случаях возникает задача о минимиза­ ции средневзвешенных ускорений ведомого звена. Полагая, что ведущее звено вращается с постоянной угловой скоростью, для решения поставленной задачи используем форму безраз­ мерных позиционных коэффициентов пути £, скорости б и уско­ рения С использованием этих коэффициентов кинематиче­

ские функции q, q, q ведомого звена на отрезке [0, ф0] можно

<Ро

Искомый закон движения 3(л) должен сообщать минимум функционалу оптимальности, который в данном случае имеет вид (

R = ^p( x)?(x)dx, (Н.ЗО)

о

где р (х) > 0 — весовая (управляющая) функция.

Искомый закон движения должен удовлетворять изопериметрическому условию (11.31), которое выражает требование,

В дальнейшем мы рассмотрим случаи, когда р(х) непрерывна

на рассматриваемом интервале или является кусочно-постоян­ ной функцией.

Обозначим

&(■*)= У (*). £(■*) = У '(■*)•

1. С л у ч а й н е п р е р ы в н о й в е с о в о й ф у н к ц и и . В

этом случае оптимальный закон движения может быть найден в результате интегрирования уравнения Эйлера для поставлен­ ной вариационной задачи (11.33) — (11.35). Искомая функция

у(х) должна сообщать безусловный минумум функционалу R*:

1

36

Уравнение Эйлера для функционала (11.36) имеет вид

Находим общий интеграл уравнения (11.37)

Постоянные интегрирования Сь Сг и неопределенный множи­

тель А определяются из граничных условий (11.35) и изопериметрического условия (11.34).

Вкачестве примера рассмотрим случай, когда весовая

у = ___V M L + ! 4 _

*2р- ( ! * + 2) In(!+ (!)•

Находим закон движения в рассматриваемом случае:

8 (■*) = 2^ —0Г+~2) In ('1+ ,х) Iх ln (1 + !А) ln (1 + Р*)] •

Соответственно выражения для инварианта ускорения 1(х) и

инварианта пути £(х) имеют вид

[in <! + , « ) - - ! - ] } .

Ha рис. 3, а приведены графики инвариантов подобия для ■—0,5 и р = 0, что соответствует условию равномерной оп­

тимизации.

2. С л у ч а й к у с о ч н о - п о с т о я н н о й в е с о в о й ф у н к ­

весовая функция имеет постоянное значение pi. Искомый опти­

мальный закон движения по-прежнему удовлетворяет изопериметрическому соотношению (П.34) и граничным условиям (11.35) , причем в данном случае принято 60= 6i = 0. Величина

средневзвешенного квадратического ускорения ведомого звена, которая в соответствии с постановкой задачи является крите­

37

рием оптимальности движения, принимает вид функционала

(11.38)

где у{(х) = ^ (х )— безразмерный позиционный коэффициент скорости на i-м участке при x t.x^ х < x t. Критерий оптималь­

ности на г'-м участке имеет вид

Рис. 3. Оптимальные

а- в случае непрерывной весовой функции: / — для равномерной оптимизации (/> (х) = 1); 2—

38

xi-1

5

39

где af— неопределенный положительный параметр. С учетом соотношения (11.40) уравнение Эйлера на /-м участке для функ­ ционала (11.39) можно записать в виде

Хг — 2у; = 0,

где X, — неопределенный множитель Лагранжа для /-го участка. Функция y t {x), сообщающая условный минимум функцио­

налу (11.39), имеет вид

по граничным условиям на этом участке. Полагаем, что пози­ ционный коэффициент скорости у (л:) на / — 1 участках построен.

вий следует, что у„(х„) = 0. Для определения постоянных ин­ тегрирования на /-м участке привлечем кроме условий непре­

Условие трансверсальности (11.43) совместно с условием пери­ одичности (11.44) и изопериметрическим условием (11.40) по­

зволяет определить постоянные интегрирования Clh C2i и па­

раметр X,-:

40

постоянные интегрирования определяются из следующих усло­ вий:

4 f- + Cln+ C2„= 0.

Из системы уравнений, образованных соотношениями (11.49) и (П.46) при i = n , определим

41