книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

функции уп{х) удовлетворяют заданным граничным условиям.

В качестве функции \F0(a:) можно выбрать, например, линей­ ную функцию

Wo ( x ) = ± = ^ ( x - a ) + l .

Кдостоинствам метода Ритца относится возможность удов­ летворить большому числу дополнительных условий и эффек­ тивность этого хметода при расчетах для случая квадратичного функционала и линейных ограничений. К недостаткам метода Ритца относится то, что решение ищется в более узком классе функций, чем в точных методах и чем это необходимо по усло­ вию задачи. Тем не менее метод Ритца в большинстве случаев позволяет найти решение вариационной задачи с требуемой точностью.

Иногда целесообразной является ликвидация «мягких» уда­ ров путем корректировки (аппроксимации) динамически опти­ мального закона движения, полученного интегрированием урав­ нения Эйлера, полиномиальными или тригонометрическими функциями, имеющими достаточное число непрерывных про­ изводных.

П р и м е н е н и е п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в . В рас­ смотренных задачах решение получено в аналитическом и, как правило, в явном виде П'(<р) или 6( х ) . Основные результаты решений представлены в табл. 1, там же указаны предполагае­ мые области применения полученных законов движения.

Законы движения, оптимизирующие по различным крите­ риям динамический режим на ведомом звене при заданной ско­ рости ведущего звена, могут применяться, как это отмечалось выше, в сравнительно несиловых механизмах машин-автома­ тов, которые слабо влияют на скорость главного вала, или в силовых механизмах с приблизительно равномерным движени­ ем ведущего звена.

Те законы движения, которые оптимизируют динамический режим системы при заданных силах и неизвестной скорости главного вала, относятся прежде всего к силовым механизмам, определяющим скорость главного вала агрегата своим взаимо­ действием с движущими силами.

Возможность и целесообразность применения законов с «мягкими» ударами в тех или иных случаях может быть реше­ на только на основании экспериментальной проверки и опыта эксплуатации производственйых машин. Для реализации полу­ ченных законов движения могут использоваться различные ку­ лачковые и шарнирные механизмы.

□

Г л а в а II

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕХАНИЗМОВ В ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ НА БАЗЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

При решении задач такого рода полагаем, что скорость ве­ дущего звена механизма известна и в общем случае непостоян­ на. Как уже упоминалось, это предположение оказывается до­ статочно справедливым для сравнительно несиловых цикловых механизмов производственных машин-автоматов, а также для силовых механизмов с тяжелым маховиком. В качестве кри­ терия динамически оптимального движения в данном случае принимается величина среднеинтегрального взвешенного уско­ рения ведомого звена, среднеинтегральной динамической мощ­ ности ведомого звена и пр. Оптимизация системы по этим кри­ териям позволяет уменьшить динамические напряжения в сис­ теме, вибрации, шум, износ в кинематических парах и повы­ сить равномерность вращения.

Отметим, что минимизация средних ускорений приводит к уменьшению коэффициента максимальной скорости 6Шах, что оказывает благоприятное влияние на условия работы меха­ низма.

§1. Выбор закона движения из условия минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена при

установившемся неравномерном движении ведущего звена

При решении задачи предполагаем, что скорость ведущего звена незначительно уклоняется от постоянной величины. Это предположение достаточно хорошо согласуется с практикой работы большинства производственных машин и позволяет решать задачу оптимизации в линейной постановке. Для за­ кона движения механизмов в данной задаче используется фор­ ма передаточных функций как более удобная при неравно­ мерной скорости ведущего звена. Полагаем, что скорость ве­ дущего звена задана в виде

23

где (о0 = const; e — малый параметр; /(cp) — непрерывная огра­ ниченная периодическая функция.

Тогда ускорение ведущего звена определится соотношением

для ускорения ведомого звена, сохранив только члены, линей­ ные относительно е:

оо

Всоотношении (II.3) сохранены только члены, линейные от­ носительно е. Полагаем, что искомый закон движения удовле­

творяет в общем случае неоднородным граничным условиям

Считаем далее, что при проектировании задано наибольшее значение функции положения ведомого звена П0 (ход или угол качаний). Тогда передаточная функция П' (у) должна удовлет­ ворять еще одному соотношению

функция у ( ф) должна сообщать безусловный минимум функ­

ционалу:

24

Для функционала (11.6) уравнение Эйлера, которое выра­ жает основное необходимое условие минимума этого функ­ ционала, имеет вид

Для решения этого уравнения используем метод малого пара­ метра. По этому методу ищем решение уравнения (11.7)

N

У— ^ п У п,

п=0

Подставляя соотношения (11.8) в уравнение (11.7) и прирав­ нивая коэффициенты при одинаковыхстепенях г (ограничи­ ваясь членами, линейными относительно е), получим

Первое приближение у^.(?) определяется из уравнения (11.10)

двукратным последовательным интегрированием:

У1 = Q + С3<р— j d f | (4уц/ + 4Уо/'-f-yof") d<p.

25-

Тогда выражение для функций у {(?) будет иметь вид

y t = С4,+ С3ср+ (?) + П > 2 (?) + IF, (?).

Постоянные интегрирования С, и Сх определим из однородных

соответствует широко распространенному случаю работы ку­ лачкового механизма в цикле выстой—перемещение-выстой или интервалу работы шарнирного механизма, характеризую­

26

Отметим, что передаточная функция, сообщающая минимум i-средним ускорениям ведомого звена, одновременно минимизи­ рует коэффициент максимальной скорости 6тах. Снижение ко­ эффициента максимальной скорости способствует уменьшению наибольшего крутящего момента на ведущем валу и углов дав­ ления для кулачковых механизмов. В качестве примера рас­ смотрим построение оптимальной передаточной функции для случая, когда угловая скорость ведущего звена задана в виде

* = ш0(1 +0 , 1 sin k'i).

Примем

?о = 210°, П0 = 1, П„ = Пк = 0.

После ряда преобразований получим

27

Рис. 1. Динамически оптимальный закон движения, синтезированный для неравномерного движения ведущего звена.

1- е= 0; 2 —s= 0,l.

28

■Соответственно формулы для второй передаточной функции ;П"(ю) и функции положения П(?) имеют вид

j среднеинтегральных ускорений ведомого звена при постоянной

мерного вращения ведущего звена позволяет получить мини­ мум максимальной скорости ведомого звена при симметричной относительно середины рассматриваемого интервала скорости ведущего звена. В частности, при равномерном вращении ве­ дущего звена оптимальная передаточная функция является симметричной квадратичной параболой. Это решение, получен­ ное интегрированием дифференциального уравнения Эйлера, обеспечивает движение без «жестких» ударов. Однако исполь­ зование точных методов не дает возможности удовлетворить дополнительным граничным условиям, которые могут оказать­ ся важными в некоторых случаях. Оптимальный закон движе­ ния, полученный в § 1 этой главы, имел разрыв непрерывности второй производной функции положения в граничных точках рассматриваемого интервала, что приводило .бы к «мягким» ударам в работе механизма в этих точках. В настоящем па­ раграфе задача об определении оптимальной передаточной функции механизмов из условия минимума среднеинтеграль­ ных ускорений ведомого звена в классе функций, обеспечиваю­ щих движение как без «жестких», так и без «мягких» ударов, решается методом Ритца. При этом скорость ведущего звена принимается постоянной. В данной задаче для закона движе­ ния механизма используем форму инвариантов подобия. Вы­

29

ражение для кинематических функций ведомого звена имеетвид в соответствии с (1.3);

Я= q0y (х),

Я=Яо 1ГУ'(Х),

¥о

со?

Я = Яо-тУ"(х),

Уо

где q, q, q —обобщенное смещение, скорость и ускорение ведомого звена соответственно; q0— ход ведомого звена на

рассматриваемом интервале; <р0 — угол поворота ведущего звена на рассматриваемом интервале; и>0— угловая скорость ведущего

звена; х = - у - , 0 < х < ! 1 ; у, у', у" — инварианты подобия пу­

ти, скорости и ускорения ведомого звена соответственно, так что

у{х) — ^{х), у '( х ) = о(х), у"(х) = Цх).

В соответствии с поставленной задачей будем искать опти­ мальный закон из условия минимума функционала R:

о

При этом искомый закон движения должен удовлетворять изопериметрическому условию (11.16), которое требует, чтобы ис­ комый закон движения обеспечивал заданный ход ведомого звена qo‘.

о

Рассмотрим общий случай перехода с одного установивше­ гося режима на другой, при котором для предотвращения как «жестких», так и «мягких» ударов в работе искомый закон движения должен удовлетворять следующим граничным усло­ виям:

где а и р — заданные положительные числа.

Отметим, что рассматриваемая схема задачи охватывает

другую (а^ О , рфО). Искомый закон движения должен быть

определен из условия минимума функционала (11.15) при на­ личии изопериметрического условия (11.16), граничных усло­ вий (11.17) и (11.18).

30

Нетрудно видеть, что поставленная задача не может иметь точного решения, так как число дополнительных условий (4) превышает порядок дифференциального уравнения для рассчи­ тываемого функционала (2). Поэтому применим в данной за­ даче прямой вариационный метод Ритца.

При этом условия (11.20) выполняются автоматически, а усло­

Задача свелась к определению условного минимума функ­ ции (II.25) при наличии линейных связей (11.22) — (II.24). В соответствии с правилом неопределенных множителей Лагран­ жа параметры щ должны сообщать безусловный минимум функции Ф:

ф= я + 2м><,-

/-I

31