книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

сопротивления Мс.пр=.МсГГ будет мало уклоняться от постоян­ ной величины, близкой к постоянному движущему моменту М х.

Следовательно, оптимальная передаточная функция должна

Рис. 15. Оптимальные законы движения с „мягкими" ударами (а) и без „мягких" ударов (б) в случае параболического момента сопротивления.

/ - П д ( ¥ );2 - п ' (9 ); 3 - n J (<р);

иметь относительно большие значения в области малых значе­ ний момента сопротивления и малые значения в области боль­ ших значений момента сопротивления. Все кривые, изображен­ ные на рис. 15, а, в той или иной степени удовлетворяют этому условию. В наибольшей степени этому условию удовлетворяет кривая ГГ3(ф), которая и сообщает системе наиболее сильный

оптимум, как это подтверждается вышеприведенными расче­ тами.

С л у ч а й п = 2. Рассмотрим теперь случай реализации

движения с заданной нагрузкой при отсутствии не только «жестких», но и «мягких» ударов. Используя соотношения

(III.53) и (III.54), получаем

Ь2 = — 3,66519а2,

с2= 0,04356 + 2,88105а2.

Из соотношения (III.38) определим область допустимых изме­ нений параметра а2: 0 <1 а 2+ 0,09455. Вычисляя на ЭЦВМ и сравнивая между собой значения критерия оптимальности R для различных а2 из этой области, получаем выражение для

оптимальной передаточной функции

Пр = ср2 (3,66519 — ?2) (0,0680ср2 - 0,24932ср + 0,24127),

102

Сравнивая результаты расчетов при п = 1 и при п = 2, за­

мечаем, что ликвидация «мягких» ударов, как и следовало ожи­ дать, привела к некоторому увеличению критерия оптимально­ сти и момента двигателя.

П р и м е р 2. Построим оптимальную передаточную функ­ цию для случая линейной зависимости момента сопротивления

с, = 0,1884 -f 3,057а,. J

Подставляя выражение (III.57) в неравенство (III.38), приведем это неравенство к виду

272,757а*— 47,277а!+ 0,13167 < 0 .

Отсюда установим область допустимых значений параметра: 0,003 < а, <0,1703.

Решением задачи, как и в примере 1, является однопара­ метрическое семейство передаточных функций, удовлетворяю­ щих поставленным условиям и определяемых соотношением

П' (ср) = <р (3,665 — ®) [а ,+ — да (0,0363 + 3,867а,) +

+ 0,1884 + 3,06a,]. (III.58)

Рациональным выбором параметра ai внутри полученной обла­ сти можно получить наиболее сильный оптимум в данной зада­ че. Кроме передаточной функции и среднеквадратического зна­ чения динамической работы R представляет интерес определе­

103

решения построим передаточную функцию по (111.58), найдем потребный движущий момент M l по (111.59) и рассчитаем вели­

чину критерия оптимальности по (111.33).

1) «1=0,05. По (111.57) определим: Ь\ = —0,2297, с1=0,3412.

При этом передаточная функция

П1 = 9 ( 3 , 6 6 5 - <р) (0,05ср2 — 0,2 2 9 7 ср -j—0,34 1 2 ).

График этой функции показан на рис. 16, а. По (III.59) опре­ делим потребный движущий момент: All = 10,46 кГм. Вычис-

Рис. 16. Оптимальные законы движения с .мягкими" ударами (а) и без- „мягких" ударов (б) в случае линейного момента сопротивления.

1 - П| (<р); 2- П'бр); 3- п' (?).

ленный по формуле (Ш.ЗЗ) функционал динамически оптималь­

График этой функции представлен на рис. 16, «. По (III.59)

104

так как она доставляет решению наиболее сильный оптимум по критерию R, в то время как потребный момент М\ сравнительно

слабо зависит от вида передаточной функции. В данном случае, как и в примере 1, вид оптимальных передаточных функций (см.

рис. 16, а) хорошо согласуется с физическим смыслом задачи: передаточные функции относительно велики там, где момент сопротивления мал, и относительно малы там, где момент со­ противления велик. Функция П/^ф), обладающая этим свойст­ вом в наибольшей степени, доставляет решаемой задаче наибо­ лее сильный оптимум.

Из неравенства (III.38) найдем область допустимых значений параметра а2: 0,00232 а2 0,08856. Расчеты показывают, что

минимальное значение функционал динамических работ при­

или иного закона движения решается с учетом конкретных ус­ ловий работы механизма. Отметим для сравнения, что широко

105

исистема уравнений (III.48) принимает вид

«1?? — *i = 0,

т. е. эти соотношения совпали со случаем параболической зави­

симости^ момента от положения (пример 1), причем

0^ a, ^ U,1810.

Однопараметрическое семейство оптимальных передаточных функций, как и в примере 1, имеет вид

п ' (?) = ? (3 ,6 6 5 - ср) (ахср2— 3,665^® + 2,687а, + 0,122).

Выражение для потребного движущего момента получим пцеобразованием (III.47): р

т. е. в этих условиях потребный движущий момент Ж, не за­ висит от вида передаточной функции, что, впрочем, очевидно.

Передаточные функции П,, Пг, Пз, составленные для значений параметра ai = 0,05; 0,10; 0,15, совпадают с функциями П(,

Пг, П3 в примере 1. Для исследования этих функций на опти­ мальность вычислим величину функционала R по (Ш.ЗЗ) для

различных передаточных функций. После преобразований получим

После подстановки и вычисления величины R для соответ­

ствующих значений а получим

1)<21=0,05, /?; = 0,134/Яо,

Hi = ? (3,665 — <р) (0,05?2 — 0,183? + 0,256).

106

сильный оптимум системе сообщает функция Пь а передаточ­

ная функция П3, которая была наилучшей при параболическом моменте сопротивления, до­

ставляет критерию R наиболь­ шее значение и в данном случае не является оптималь­

следующим результатам:

П' = с?2(3,66519 — ф)2(0,05ф2 — 0,18335® + 0,18941).

§ 4. Решение оптимальной задачи в случае, когда усилие сопротивления зависит от координаты ведомого звена

В ряде случаев момент (усилие) технологического сопро­ тивления М с задается в виде функции от положения ведомого

звена

М с— М 0пь(С),

где М 0— среднее (масштабное) значение момента или силы сопротивления; т (С) — безразмерная функция позиционного

107

коэффициента координаты ведомого звена 1 = — , характери-

<7о

зующая закон изменения сопротивления.

Принимая упрощенную характеристику двигателя, положим

Ждв = THj = const.

Из условий установившегося движения найдем величину

1

Ж, = ^ - Ж 0|о т ( С) (К.

о

Критерий оптимальности, характеризующий среднеинтеграль­ ную величину работы сил инерции за период, имеет вид

Я = [ ' ( Л * 1 - Л 1 спр)2йГ?,

ствующий рабочему ходу.

Пренебрегая сопротивлениями на холостом ходу и исполь­ зуя безразмерную форму записи, приведем критерий R к виду

(Ш.60)

где

Искомая функция С(х), которая должна сообщать минимум функционалу (III.60), должна удовлетворять следующим оче­ видным граничным условиям:

функционалом (III.60) как несущественный, запишем диффе­ ренциальное уравнение Эйлера для этого функционала. После преобразований соответствующее уравнение принимает вид

т (!) С’ - f т[ (Q С = 0.

108

• 2

Подстановкой С* =y(Z) это уравнение сводится к линейному

. уравнению первого порядка с переменными коэффициентами

У + 2 тт ' С(Q) У = 0,

л=0

№

Далее найдем инвариант скорости

в виду, что аппроксимация по графику пути Z,(x) нецелесооб­

разна, так как при этом возможны большие погрешности ско­ рости и ускорения. Аппроксимация же инварианта ускорений в данном случае невозможна, так как при этой аппроксимации невозможно выполнить условия безударного движения. Следо­ вательно, в данном случае необходимо аппроксимировать ин­ вариант скорости д(х). На рис. 19 приведены различные вари­

анты аппроксимации графика скорости. Рассмотрим схему аналитической аппроксимации полученного закона движения

Рис. 19. Аппроксимация расчетного закона движения.

а — кусочно-линейной функцией; б — с сохранением „мягких* ударов; б —с ликвидацией „мягких* ударов.

для двух вариантов: 1) с целью исключения «жестких» уда­ ров; 2) с целью исключения как «жестких», так и «мягких»

ударов.

В первом случае инвариант скорости

условие

1

J bdx = 1

о

111