книги из ГПНТБ / Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов

В тех случаях, когда массой ведомого звена можно прене­ бречь, выражение для критерия R принимает следующий вид:

1

R = I1w ^ k * z lz'2dx.

о

Отметим, что в случае использования динамической, упро­ щенной или статической квадратической характеристики двига­ теля вид основного уравнения движения (III.24) будет другим. Также другими будут число и вид параметров оптимизации р„ однако постановка задачи динамического синтеза сохранится.

В случае постоянного движущего момента Мдв условие установившегося решения записывается в виде

92

Соотношения (III.29) выражают условия равенства нулю ско­ рости ведомого звена в мертвых положениях. Соотношение (Ш.ЗО) выражает требование обеспечения необходимого хода ведомого звена на рабочем и холостом ходе.

Выполнение граничных условий (III.2) исключает возникно­ вение в работе «жестких» ударов. В тех случаях, когда по усло­ виям работы недопустимы также «мягкие» удары, искомая пе­ редаточная функция должна удовлетворять дополнительным граничным условиям

значение функции положения ведомого звена. Искомая переда­ точная функция должна удовлетворять еще неравенствам

(III.32)

Неравенства ( 111.32) выражают требования однонаправлен­ ного прямого движения ведомого звена на участке рабочего хода и однонаправленного обратного движения на участке хо­ лостого хода. Величина приведенного момента Л4пр определяет­ ся соотношением'

М пр = М х- М сП'.

В условиях установившегося движения суммарная работа при­

На рис. 14 показан график приведенного момента сопро­

тивления М С— М СП' (кривая abode) и график движущего мо­ мента М х / — / . Площадь, ограниченная кривой abode и осью

абсцисс, пропорциональна работе сил сопротивления, а пло­ щадь, ограниченная линией/—/ и осью абсцисс, пропорциональ­ на работе движущих сил. На рис. 14 представлен также график суммарного приведенного момента активных сил (кривая fa'b'c'd'e'f). Площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс,

пропорциональна динамическим работам (работам сил инер­ ции) механизма. Условие установившегося движения в обозна­

Модуль динамической работы (работы сил инерции) за период определяется соотношением

| Л ^ Н / у | + |^-1-

93

При одной и той же функции М с(у) величина |Л"ин|]. ко­

торая может рассматриваться как критерий динамического качества движения, зависит от выбора передаточной функции

П'(ср). Чем меньше |Лдин|, тем меньше (при том же сопроти­ влении) избыточные нагрузки на звенья механизма, тем выше равномерность движения и т. д. Поэтому поставим задачу ди­ намического синтеза таким образом: требуется построить пере­ даточную функцию, удовлетворяющую соотношениям (III.29) — (III.32) и минимизирующую динамическую работу за период

Рис. 14. Кривые момента сопротивления, движущего момента и приве­ денного момента сопротивления для силового передаточного механизма.

по некоторой норме. Одновременно требуется определить зна­ чение движущего момента М\ из условий установившегося дви--

жения.

С расчетной точки зрения удобно определять искомые функ­ ции из требования минимизации среднеквадратической величи­ ны работы сил инерции за период. Тогда минимизируемый функ­ ционал динамических работ будет иметь вид

я = (••(ДГ1- М с.рПр)г</<р+ J

94

ннзма на рабочем и холостом ходу соответственно. Условие установившегося движения в данном случае имеет вид

зависит от положения и в результате анализа технологическо­

Поставленную задачу решаем методом Ритца. При использо­

(п = 1). Параметры рк находятся из условия минимума функ­

[О, фр], приводит к ограничениям на искомые параметры /ц. Эти ограничения в общем случае приводят к системе нелинейных неравенств высокого порядка относительно параметров оптими-

95

зации ри, что существенно усложняет решение задачи. Практи­

чески приемлемые результаты можно получить, если ограни­ читься полиномом 4-го порядка, т. е. искать функцию П'р(ф) в виде

Коэффициенты оптимизации аи Ьх, с{ подчиним условию

которое вместе с условием (III.30) гарантирует выполнение условия (III.32) (так как П0 > 0 ) . Перепишем соотношение

(III.37) в виде

Пр = й[ (?р?3 — ?'s) + by (?р?2 — ?3) + Ci (?р? — ?2). (III.39)

Подставляя соотношение (III.39) в равенство (Ш.ЗО), получаем

В соответствии с правилом неопределенных множителей Лагранжа мы будем искать безусловный минимум функции Ф:

параметр ах считаем свободным. В результате решения опти­ мальной задачи получим соотношения Ьх = Ь\(ах), сх — сх(ах).

Подставив эти соотношения в неравенство (III.38), устано­ вим области допустимых значений параметра ах. Таким обра­

зом, результатом решения явится семейство передаточных функ­ ций, удовлетворяющих всем поставленным условиям. Из этого семейства может быть отобрана функция, сообщающая наи­ меньший минимум исходному функционалу Rv или удовлетво­

ряющая каким-либо дополнительным условиям. Покажем, что

96

из которой могут быть установлены соотношения bl(al), Ci(ai), Mi(ai). Исключая из этой системы вспомогательную величину

Ai и величину

получаем окончательную систему для определения парамет' ров b[, С].

Подставив соотношения (III.50) в неравенство (III.38), определим область допустимых значений параметра ах. Каждо­ му значению ах из этой области соответствуют Ьх и сх по

(Ш .50), а следовательно, передаточная функция по (III.39). Надлежащим выбором, параметра ах можно построить переда­

точную функцию, сообщающую наименьший минимум исходно­

98

му функционалу динамических работ в классе функций, пред­ ставляемых в виде (III.37) и удовлетворяющих заданным до­ полнительным условиям. Конкретные примеры выбора законов движения по разработанной методике рассмотрены в § 3.

2) С л у ч а й о т с у т с т в и я « ж е с т к и х » и « м я г к и х »

Параметры оптимизации а2, Ь2, с2 подчинены неравенству

(III.38). Подставляя соотношение (III.51) в изопериметрическое условие (II 1.30), находим, что параметры оптимизации а2, Ь2, с2 должны удовлетворять следующему соотношению:

Далее, если в условие установившегося движения (Ш.34) под­ ставить выражение момента сопротивления Мс.р по (111.35) и ■функции П'р по (III.51), то после ряда преобразований получим

но можно показать, что Х2 = 0. В данном случае конечная си­

стема уравнений, из которой могут быть определены оптималь­

Из системы (III.52) находим

4 L,

6 0 П о

(111,54)

Дальнейший порядок расчета аналогичен случаю п= 1.

§ 3. Примеры выбора динамически оптимальных законов движения по критерию динамических работ

Одним из важных результатов предыдущего параграфа яв­ ляется то, что оптимальный закон движения зависит от харак­ тера нагрузки на механизм. Рассмотрим выбор оптимальных законов движения при различных видах нагрузки. Случай п=1 соответствует законам движения без «жестких» ударов; случай п = 2 соответствует движению без «жестких» и «мягких» уда­

ров.

П р и м е р 1. Проектируемый механизм должен иметь коэф­

строить передаточную функцию системы Пр, минимизирующую среднеквадратическое значение динамической работы за пе­ риод. Кроме того, из условий установившегося движения тре­ буется отыскать значение движущего момента М х, Уравнение

Из этой системы найдем

Ь1 — — 3,655+,

Ci = 0 ,1 2 2 + 2 ,6 8 7 + .

Область допустимых значений параметра + определится нера­ венством (III.38), которое в данном случае имеет вид

13,4336а2 — 4а, (0,1219 + 2,6867+) < 0.

Отсюда найдем 0+; + 0,1810.

100

Решением задачи является однопараметрическое семейство передаточных функций, удовлетворяющих поставленным усло­ виям и определяемых соотношением

Теперь из полученного семейства передаточных функций необходимо отобрать окончательное решение. Покажем, что ра­ циональным выбором параметра а, внутри полученной области можно усилить оптимизацию системы по выбранному критерию. Предварительно получим выражение для момента М и исполь­

зуя формулу (Ш .47). В данном примере после ряда преобразо­ ваний получим

7 ^ = 401 ,027а, + 191,4766, + 104,484с,. (III.56)

Дадим параметру а, следующие значения: а'=0,05, + = 0 ,1 0 , а'1 = 0 ,1 5 . Соответственно получим три системы решений. Для

каждого решения построим передаточную функцию по (111.55), найдем движущий момент по (III.56) и определим критерий

нал динамически оптимального движения, рассчитанный по соотношению (III.33), R' = 1063.

функционал динамически оптимального движения, рассчитан­

101