книги из ГПНТБ / Скрыдлов, Н. В. Автоматизированные системы оперативного управления в строительстве

т ■ М (1

-

М - 3

).

N

Нетрудно заметить,

что метод итераций при большинстве

зна­

чений параметров N ,

М , S

выгоднее, чем алгоритм Кана.

Алгоритм Адельсона-Вельского, не отличаясь от

алгоритма

Кана по числу обращений при подготовке к счету, требует

при

счете вдвое большего числа обращений, чем алгоритм Кана.

Это

происходит из-за необходимости считывать каждое

событие

дважды -

при ходе вперед и при ходе назад.

4 .4 . Расчет больших сетей при их

разбивке

на фрагменты

Представим себе, что граф,

изображающий

рассчитываемую

сеть, разбит на подграфы, каждый из которых содержит не

более

К работ (К = М - 5

),

и что любой путь исходного графа

раз­

бивается не более чем на

/П=\

N

1 + ^ частей,

каж-

Lm - 'S

J

дая из которых целиком принадлежит одному из подграфов.

Гра­

ничные события каждого подграфа (те события, которым

инци­

дентны работы других подграфов)

автоматически входят и в

эти

подграфы.

На первый взгляд такая разбивка кажется искусственной,

од­

нако сеть большого объема практически составляют из

сетей

малого объема, ибо исполнители сперва составляют сети

своих

участков, а потом уже объединяют их в большую сеть.

Расчет сети происходит по следующим правилам:

1) списьюается очередная

подсеть (фрагмент) и

рассчи­

тывается как самостоятельная сеть с учетом того, что ее

гра­

ничные события могли получить оценки времени при

расчете

других фрагментов;

2) после расчета последнего фрагмента проверяется,

изме­

нилась ли оценка времени какого-либо события, и если да,

то

процесс повторяется.

Поскольку при такой разбивке каждый путь делится

не

более

чем на

т частей,

этот процесс эквивалентен расчету по

ме­

лучать не только т /

, но и Т/1

, мы получим точное

число

обращений к внешней памяти

п —М2

Как видно, при возможности деления сети на умеренное

число

подсетей число обращений к внешней памяти может быть

не

слишком велико,

4 .5 . Алгоритм, позволяющий резко

сократить

время

расчета

большой сети

Выделим в графе

G = (Х,Г) некоторый подграф (А,ГД).

Вы-

делим в этом подграфе множество граничных событий 1 гр,

кото-

рому инцидентны дуги, не принадлежащие подграфу (А ,Г д),

при­

соединим к нему также входы и выходы графа

G , если

они

вошли в подграф.

Срок свершения любого события К графа (Х,Г) определим

со­

гласно формуле

т. = max

max

т|>] .

*

j * k

K j,k ]

Из определения подграфа следует,

что ни одно из его

событий

J .

j £

1

не может быть соединено путем ни с

одним

}

гр

событием К,

К ^

А,

минуя события,

принадлежавшие

множеству

1 , Поэтому если

и TJ°

определены для всех l£ 1

,

^

они тем самым определены для всех

j £

А.

Для

I £

1

и для всех

г

4.

А разобьем множество

пу­

тей, идущих к ним от других событий, на два класса:

пути,

про­

ходящие через работы ( к , i ) £

,

и пути,не проходящие через

такие

работы.

Для событий, входящих в 1 гр и в дополнение от X до А,

не

существенна структура подграфа, значение имеют лишь

пути

максимальной длины, соединяющие точки 1

гр

друг с другом.

Этот результат, принадлежащий Адельсону-Вельскому1,

дает

возможность эффективно рассчитывать большие сети, не

вме­

щающиеся целиком в оперативную память ЭВМ.

Такие сети делятся на подсети, в каждой из которых

помеча­

ются граничные события, а также входы и выходы графа

G (X.Г).

* Изложен со ссылкой на автора алгоритма

в [У.1].

Затем для каждой пары те 1

, l e i

такой, что т<*1,

вычис­

ляется птах Т (у)

и каждтЙ? под<Зет?> заменяется набором фик-

тивных^раёот ( т, I

) с Tmi

= Л73Х

Т ( и )

Из таких работ всех подграфов составляется сеть

меньшего

объема, она рассчитывается и в граничные события всех

подсе­

тей подставляются значения

и Тд

, после чего

дальней­

ший счет происходит в сети каждого подграфа отдельно.

При расчете по такому алгоритму число обращений к

внешней

памяти не более 4 /77 , где /77 -

число подсетей.

псег =

/772

;

ПА,& =

4/77 .

Следовательно,

при /77 —: 4

выгоднее алгоритмы

сегментации,

при /77 = 4

они эквивалентны, при /77 > 4 выгоднее

алгоритм

Адельсона-Вельского.

Кроме того, на каждый из алгоритмов накладывает

ограниче­

ния объем оперативной памяти ЭВМ. При расчете сетей с

сег­

ментацией по методу полного расчета каждой подсети

предпо­

лагается, что массив событий лежит в оперативной памяти,

по­

этому ограничения возникают тем быстрее, чем меньше

отно­

шение

....'У■■■I -

числа работ к числу событий.

На алгоритм же Адельсона-Вельского объем оперативной

па­

мяти накладывает ограничения - ограничивается объем

общего

набора фиктивных работ по всем подсетям. Так, если

каждый

эквивалентный подграф окажется транзитивным

( что

впрочем

является не частым случаем), число эквивалентных работ

ока­

жется равным.

^экб = ~

Д*

(rf ~ 1) ,

где Р;

- число граничных событий подсети i , в

частности,

если все Р,-

равны друг другу, то

* В транзитивном графе для каждой пары точек х и у

справед­

ливо

х

е Г у

или у е Г х .

поиска наилучшего расписания при заданных ограничениях

на

ресурсы. Принципиально схему такого алгоритма

предложил

Келли

[У1.1] . В отечественной практике алгоритм,

анало­

гичный

предложенному Келли,

реализован В.И.

Садовским

[У 1. 2] .

Автором совместно с В В. Шафранским [У 1.3J

был на

основе

анализа алгоритма Кана построен более эффективный

алгоритм.

Сущность его работы описывается следующим образом.

Предположим, что каждая работа ( *»J ) потребляет в

едини­

цу времени постоянное количество

ресурса

единственного

няться в любое время, имеется постоянное во времени

количе­

ство ресурса

Q . Эти предположения делаются для

упрощения

описания, ибо,

как будет ясно из дальнейшего, отказ от них при­

рядка.

Пусть в некоторый момент tk оканчивается одна из работ

и

освобождается связанное к ней количество ресурса

.

Тогда

в этот момент должно быть принято решение о направлении

ос­

вободившегося ресурса на одну или несколько работ ( к , t

).

Интересным является вопрос о выборе правил

приоритета.

Келли, равно как и Садовский, выбирал в качестве

приоритета

расстояние от начала каждой работы до конца сети.

Такой

прио­

Можно, как предлагалось автором в[У 1.4]

,

использовать

'рандомизированный' * приоритет, тем более,

что

оформление

предусматривает как случайный поиск, так и

возможность

включения специальных блоков вычисления приоритета.

По

мнению автора, необходимо систематически испытывать

ряд

правил приоритета для набора статистических данных.

Ниже

приводится алгоритм, позволяющий реализовать

некоторые

правила при ограничениях, накладываемых технологией

и

ресурсами.

Технологические ограничения допускают направление

ре­

сурсов лишь на те ( к , / ), для которых выполнены

все

( i , j ) =£

{ к ,1 ). Ресурсные ограничения показывают,

что

ресурс можно направить лишь на ту работу, для которой

по­

требность

не превышает свободного ресурса.

описанного выше. Сущность модификации заключается в

сле­

дующем:

работы { ( i , j j j с П-* = О попадают в 'очередь',

в

вычисляется время окончания каждой из них (Тн

+

t y

) и

они упорядочиваются по времени окончания;

из этой очереди выбирается первая работа; при этом

счет­

чик Тп

получает значение Т

выбранной работы,

количе­

ство свободного ресурса типа мощности увеличивается

на

высвободившуюся вместе с этой работой величину, и

прове­

ряется,

как и предусмотрено в

алгоритме Кана,

возможность

пополнения "очереди' работ, ожидающих выполнения.

Блок-

схема алгоритма приводится на рис. 8.

действующим и позволил решать задачи методом

назначения

случайных приоритетов. Была сделана попытка

сопоставить

качество различных типов приоритетов на случайно

генери­

руемых сетях.

Для генерирования сетей были использованы

следующие

предпосылки:

а) в сети существуют параллельные цепочки работ,

идущие

от начала к концу, их число различно для различных сетей;

б) сети характеризуются отношением числа работ к

числу

выражено как отношение числа событий, из которых

выходит

более одной работы, к их общему числу и через

плотность

в) сети характеризуются распределением

продолжитель­

ностей работ;

г) сети характеризуются распределением

интенсивностей

бот и взаимной корреляцией между видами ресурсов.

Предположения "а" и "б' относятся к структуре сети,

"в"

и ' г ' -

к количественным оценкам параметров работ.

Распределение продолжительностей работ

характеризуется

двумя различными плотностями вероятностей: для работ,

вы­

ходящих из событий по одной, и для работ, выходящих из

со­

бытий пучками. В первом случае практически

отсутствуют

работы длины ноль,

во втором случае их процент весьма велик.

Так, из-за предположения (не существенного для

работы

всех упомянутых алгоритмов расчета, но удобного

методи­

чески)

, что сеть не является мультиграфом, в реальных сетях

возникает до 3 0% работ нулевой длительности.

Корреляции между распределениями различных ресурсов

и

между

ресурсами

и

продолжительностями

работ

трудно

поддаются

учету.

В данной работе был

использован лишь

совершенно

очевидный

факт, что работа нулевой

продол­

жительности не нуждается в ресурсах.

Блок-схема алгоритма генерирования случайных сетей

ис­

пользовалась для сравнения эвристических алгоритмов

со­

ставления расписания работ по жестким правилам для

прио­

Приводим описание техники сравнения.

Исходная сеть описывалась параметрами: 1)

число событий

1 2 8 ; 2 )

число выходов 2; 3 ) число информационных

связей

5 0 ; 4 )

число технологических линий 10 ; 5 ) число

испыта­

ний 5 0 (

П = 2 8 ) ; б ) ресурсы имеют одну и ту же

важ­

ность

Я/ = 1 ; / = 1 , 2 , 3 ; 7 )

длительности работ и связей

и их распределения задаются в табл. 4 и 5; 8)

распределение

интенсивности ресурсов на работах задаются табл. 6 .

Т а б л и ц а

4

Распределение продолжительности работ

Продолжительность работ

№ работ

1

0 0 2

2

0 0 3

4

0 0 5

5

0 5 0

6

0 2 0

3

0 0 3

•-7

0 0 2

1

8

0 0 5

9

0 0 2

1 0

0 0 2

11

0 0 2

12

0 0 4

Т а б л и ц а

5

Распределение продолжительности связей

Продолжительность работ

№ связей

0

0 5 0

1

0 0 2

2

0 0 3

4

0 0 1

5

0 2 5

6

0 1 0

3

0 0 1

7

0 0 2

8

0 0 1

9

0 01

1 0

00 1

11

001

1 2

0 0 2

Т а б л и ц а

6

Распределение интенсивности работ

Количество ресурса

% работ

0

0 6 0

1

0 3 0

2

0 1 0

Суммарный уровень ресурса

Q0 бьш принят равным 3 ,

а

число испытаний равно 5 0 .

Проверка состояла из двух этапов:

проверки нормальности распределения

длины

по

этого строилась эмпирическая функция Гп

( t

) и

вычисля­

лись отклонения от функции, соответствующей

нормальному

распределению

( t ).

Значения Т

(в единицах Т

, вычисленного без учета

ог­

раничений)

приведены в табл, 'ff

Т а б л и ц а

7

Т

Результаты испытаний величины

■.К£ -----

для приоритета

Ткр

по максимальной длине пути и по

максимальной

трудоем­

кости непосредственно

следующих

работ

№ п/п

Максимальная длина

Максимальная трудоем­

пути

кость

следующих работ

1

2 ,0 0 7 6 3 3

1 ,9 5 4 1 9 8

2

1 ,8 6 6 7 1 8 7

2 ,0 9 3 7 4 9

3

2 ,4 0 3 2 2 5

2 ,1 6 1 2 9

4

2 ,5 1 2 8 2

2 ,3 8 4 6 1 5

5

1 ,9 9 0 9 9

2 ,0 6 3 0 6 3

6

1 ,8 5 8 4 0 7

2 ,2 5 6 6 3 7

7

2 ,2 2 8 0 7

2 ,2 9 8 2 4 5

8

2 ,2 9 5 0 8 1

2 ,3 2 7 8 6 8

9

1 ,8 3 7 83 7

1 ,8 1 0 8 0 9

1 0

2 ,1 1 7

2 ,0 7 5

11

2 ,1 7

2 ,2 6 4

79