книги из ГПНТБ / Скрыдлов, Н. В. Автоматизированные системы оперативного управления в строительстве

/^ р

Гт/

=/пах-

Т/

=min

/т/

/7

_ Т/ %

*

Последняя величина, будучи вычтенной из т *

= тах Т /

даст Ту

для каждого J .

Р

<v^

Если при любом

из проходов

максимум

Ту

или Tj был

получен путем суммирования,

то

признаку

1

присваиваем

значение true и повторяем

счет. Поскольку нумерация

со­

бытий определяется потребностями производства,

то

номера

событий не имеют, вообще говоря, отношения к

последова­

тельности их вхождения в пути сетевого графика.

Просмотр списка работ мы осуществляем от начала

к кон­

цу, поэтому число просмотров

лежит между 1 (если в

спис­

ке работы упорядочены так, что порядок их расположения

в

любом пути таков же, как

в

исходном списке)

и

/ ( j 1 )

в

случае противоположного расположения. Здесь /

(/О

-

наи­

большее число работ в пути.

Поэтому математическое ожидание числа просмотров

се­

тевого графика Е (/ff)

=

1

( ^ + ^ (J4),

С другой стороны, обращает на себя внимание

предельно

малое число операций,

осуществляемое при анализе

каждой

ме исходных данных /

[1 : П~] , ур., n] ,

t y

[ 1 : /Т 2

и

результатов

Ткр , Т Р [ 1 : У ] , T n

[1 :

нужны лишь

параметры

П, М , J

).

Таким образом, метод итераций является

(если

данные

целиком размещаются в оперативной памяти)

наиболее

эко­

номичным с точки зрения затрат времени на

анализе

одной

ЭВМ для размещения дополнительной информации.

Недостатком метода

является сравнительно большое

чис­

ло просмотров, поэтому возникает необходимость

упоря­

дочения списка работ.

Введем

отношение

квазипорядка

на графе

(X, Г) *

сле­

дующим образом: х ^ у ,

если х=у

или имеется путь из х

в

у.

Будем в этом случае говорить, что х предшествует у или

у

следует за х. Если одновременно

х » у

и

у «=

х,

то говорят,

что

х эквивалентно

у

(у

=

х ).

В этом случае

х

совпадает

с у

(х= у)

или х и у лежат на

одном контуре.

В

графе

без контуров

х=у означает совпадение

х с

у;

в

этом

случае отношение

является отношением

порядка.

Отношение £

есть

квазипорядок,

если

имеют

место:

рефлексивность (х

*

х

для всех х

е

X);

транзитив­

ность

(х ^ у,

у^ 2 —

х ^ z

для

х,

у , z c

X).

Рассмотрим для графа

0 \ ^ ( Х , Г)

множества

X

(<* ) ^ :

Х (0)

=

{ * >Гх 1 е

0 }

;

Х ( 1 >

=

( л , г ; 1 € Х(0)}

;

хш={*,г;1е (/-*;];

х

г

;

1€jr (/7- 1)}.

Назовем a. (X) порядковым числом вершины х,

если xeXY^A

Некоторые вершины графа не могут иметь порядка,

к

таким

относятся все вершины контура.

Применительно к описанному выше алгоритму

получаем

следующие

очевидные следствия.

1 . Порядковые числа вершин вычисляются с помощью при­

веденного

алгоритма расчета при всех

£у = 1.

2 . Если в сети имеется контур, то алгоритм

зацикли­

вается. Поскольку до окончания работы алгоритма нам

не­

известна длина

/

( J4 )

максимального пути, для

контроля

числом работ в сети п .

3 . В случае отсутствия в сети контуров можно

упорядо­

чить список работ, вычислив порядок вершин и

расположив

работы (х, у) по

росту

ос (х).

4 . При использовании метода итераций в случае

'упоря­

доченного" списка работ расчет-просмотр производится

с

минимумом элементарных операций.

Простейший алгоритм упорядочения состоит в

последо­

вательном переборе списков i , j , t y

с

выписыванием

в

списки с*, J*, tij

работ, для которых

& ( 1)

=0,

затем

1 и

т.д.

Это позволяет

иначе

организовать

алгоритм

расчета,

а

счет.

При этом счет сводится к простому процессу

вычис­

ления глах{ ^ . tij для каждого события

j и

осуществ­

ляется за один просмотр упорядоченного

списка

работ. По­

этому если расчет сетевого графика входит во

внутренний

цикл, целесообразно произвести отдельно его

упорядочение

и во внутреннем цикле оперировать уже с

упорядоченным

списком работ.

* Для конечных графов один из частных случаев

поряд­

ковой функции.

gi.ApTPPKrM.Kgga

Фулкерсон описал в [У .2] алгоритм, позволяющий

при­

сваивать время событиям графа в порядке

роста

их

поряд­

ковой функции.

В просмотр вставляется дополнительный цикл, в

котором

проверяется возможность осуществить операцию

присваи­

вания времени некоторому событию, а именно (

описываем

для ранних сроков): при просмотре работ для каждой

из них

организуется дополнительный, внутренний перебор,

т .е . про­

веряется, входит ли в предшествующее ей событие

L £ s J *

хотя бы одна работа; если нет, то событию

Г s ] ,

в

которое

рядковой функции ft ( xL ) его можно применить для

упоря­

дочения списка работ. Для этого соответствующие

работы не

исключаются, а заносятся в другой список в порядке

обна­

ружения.

Работа с упорядоченным списком существенно

сокращает

горитм более эффективным. Такой алгоритм описан

Каном

в [У .З ].

Эффективность работы

алгоритма достигается

за

счет определенной предварительной подготовки,

состоящей

из следующих этапов:

предварительное упорядочение исходного списка работ;

создание служебных информационных массивов.

Предварительное

упорядочение

работ состоит

в

син­

хронной перегруппировке всех массивов таким образом,

что

в списке

/ [ в ]

номера

i

растут с ростом s .

Для ускорения поиска создаются служебные массивы

А [ I ] , пЬх Г /]

i

1Г [ s ] .

Массив А [ i ] для каждого

включает номер

s

в

списке / [ s ] ,

начиная с

которого содержатся начальные вер­

шины с номером i .

Массив

/7|х [ I ]

для каждого

с

содержит число

конеч­

ных событий

в списке j [ s ] , для которых j [ s ] ~ i

, т .е .

он

для каждого имеет значение числа работ, входящих в

собы­

тие с номером

/

Чистка: г : ■ 0

I

Массив K [ s ] является булевским

и принимает

значение

true для тех

s

,

для которых

iC&]

+

Алгоритм работает следующим образом (рис. 6 ) .

Рассмотрим одно существенное свойство алгоритма

Кана:

алгоритм позволяет получить все расширения графа G (Х ,Г ),

не приводящие к образованию контуров.

Оператор 'начальный шаг' в указанном

алгоритме

строит

'фронт работ', исходящих из х

.

Оператор (§) строит

(не

выделяя их явно)

последующие “фронты,

пользуясь

правилом

выбора

работ из

^

подряд.

G'

G , не

В произвольном расширении

графа

приво­

дящем к образованию контуров, могут встретиться

дополни­

тельные дуги ( i , У

)

двух типов:

соединяющие вершины с

i r ( i ) ^ 1T(j)

-

они не меняют фронтов

работ;

7t(i)^7i(J)

соединяющие вершины с

-

наличие таких

вершин

эквивалентно введению запретов на рассмотрение работ,

исхо­

дящих из

j

, до рассмотрения работ,

исходящих из

i.

Таким образом,

для каждого допустимого расширения

G '

G в упорядоченном списке будут расположены в том же

поряд­

ке, как они были бы расположены в упорядоченном списке

G' ,

во фронты, причем правило выбора должно гарантировать

мини­

мум срока выполнения комплекса работ.

Таким образом, алгоритм Кана является подходящим

инстру­

ментом для построения множества расширений графа G

с

за­

данными ограничениями на фронты работ.

По сравнению с алгоритмом метода итераций алгоритм

Кана

требует дополнительно место для расположения служебных

мас­

сивов Л f < ] ,

С / J и булевского массива f f ( s ) .

По числу операций на анализ одной работы он требует

при­

мерно в 5 раз большего времени. Однако он позволяет

упорядо­

чить спиоок работ за один просмотр. Кроме того, с его

помощью

мальной очередности работ с заданными ограничениями на

ре­

сурсы.

65

3 . Ал г о р и т м обхода д у г ориентированного графа

Данный алгоритм аналогичен.алгоритму Тарри [y.3j

, с

по­

мощью которого решается классическая задача теории графов -

поиск выхода из лабиринта. В применении к сетевому

планиро­

ванию алгоритм был рассмотрен Г.М. Адельсоном-Вельским

и

Ф.М. Филлер [У.5] . Принципиальная схема работы

алгоритма

Адельсона-Вельского описьюается следующим образом.

1 . Осуществлением из конечного события шаг влево, записы­

вая работу, по которой сделан шаг влево, в массив "пути".

Ана­

лизируем событие, которое является началом этой работы.

Если

оно не является началом сети, повторяем шаг влево и т.д.,

пока

не дойдем до начала сети.

2 . Извлекаем из массива пути последнюю занесенную

туда

работу. Ее записываем в список упорядоченных работ,

а в

ис­

ходном списке помечаем как исключенную. Эта процедура

назы­

вается шаг вправо. Анализируем конечное событие этой

работы

на возможность сделать

из него шаг влево (проверяем,

есть

ли в числе работ, входящих в это событие, еще не

исключенные

из исходного списка). Если это возможно, то осуществляем

но­

вый шаг влево, если же нет, то помечаем событие как

началь­

ное и осуществляем по работам массива пути шаг вправо.

3 .

Процедура заканчивается, когда ни из одного конечного со­

бытия нельзя сделать

шаг влево.

На самом деле шаг влево сопровождается временной пометкой

вершин работ, записанных в массив пути, а шаг вправо -

исклю­

чением этих пометок. Это позволяет совместить упорядочение

с

выявлением контуров, которые возникают вследствие ошибок

в

заполнении исходных данных. Работа алгоритма

поясняется

рис. 7 .

Алгоритм Адельсона-Вельского требует также

определенной

предварительной подготовки.

1 . Списки

i , j ,

ttj

синхронно упорядочиваются таким

обра­

зом,

чтобы в списке

yTsJ номер конечного события J

рос

с ростом индекса в .

ТГС [1 : N ]

V

2 . Создается булевский массив

,

такой, что

Г/ ]

= true

при Г

£е

0 (признак начального события).

3 .

Создается массив

А [ j ] , такой, что

1 » J f-sj

А Ш -

О, Л $1 ~ J [ S - 1 ]

, n

s , S [ s ] ? S [ s - 1 ]

s = 2 ,

> n

Гfalse

, У [ s ]

= j [ s + 1 ] r

s=1, ... f п -1

7rP[t] = < t r u e

,

У [ s]

* у [ s + i ] ,

s = i , . . . , n - i

I t r u e

,

j i n ]

Алгоритм Адельсона-Вельского требует несколько

меньшей

информации, чем алгоритм Кана,

поскольку массив пути и упо­

рядоченный массив работ могут быть выполнены в виде

двух

стеков, направленных навстречу друг другу, что

автома­

тически гарантирует от переполнения и даже сокращает

число

та должна быть при включении в упорядоченный список

занесена

на то же место, т.е. когда два стека целиком заполняют

массив

длины П , где

П - число работ.

Работа алгоритма Адельсона-Вельского несколько

медленнее

работы алгоритма Кана, однако он обладает следующими

досто­

инствами:

обеспечивает выявление контуров в явном виде;

обеспечивает просмотр всех путей за один проход

массива

работ;

позволяет выделять пути (или при модификации цепи),

удов­

летворяющие заданным требованиям.

Это делает целесообразным его применение при решении

за­

дач типа поиска максимального потока,

4 . Т рудности, связанны е с ростом объема

задачи

Требования практики нередко приводит к необходимости

рас­

чета сетей весьма больших объемов.

При экономном использовании памяти ( упаковка

нескольких

чисел в одну ячейку, программирование алгоритмов на

языках

типа ассемблера)

современные ЭВМ позволяют рассчитывать без

ня под все переменные, описанные в алгоритмах разд. 1 - 3

дан­

ной главы, будет зарезервировано отдельное место, т.е.

только

массив событий, служащий для записи ранних (поздних)

сроков,

не пострадает. В этом случае актуальным становится вопрос

об

Под прямым расчетом имеется в виду расчет сетей без

раз­

бивки на фрагменты и без каких-либо предположений об

упоря­

дочении массива работ. Для расчета сети могут быть

исполь­

Перебор массива работ требует

У

+ 1

обра­

М - S

щений к внешней памяти, где под [х]

понимается целая

часть

числа х.

/77 =

1

{ПАХ

1 ( f ) -

2

/*

Следовательно,

математическое ожидание числа обращений

к внешней памяти

1_

У

’f

u n .

/77 =

+ 1

2

М - 5

4 .3 . Алгоритм Кана и Адельсона-Вельского

Пусть в памяти лежит некоторая часть массива работ

длины

М - 5

и нам необходимо найти работы,

исходящие из некоторого

события

/ . Поскольку группы работ,

исходящие из

различ­

ных событий, расположены случайным образом,

вероятность по­

М - б

Рсч

_