книги из ГПНТБ / Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]

В. М. ГУРЬЯНОВ, Е. А. ЗАХАРОВА, Б. В. КОРОБОВ, А. С. САНИНСКИЙ

ОПЫТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЛУЧЕВОГО МЕТОДА ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ГОДОГРАФОВ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН

При интерпретации сейсморазведочных материалов все более широкое применение 'находят электронные вычисли­ тельные машины. К сожалению, эффективность их примене­ ния при обработке полевых материалов низка, что объясняет­ ся отсутствием первичного полевого материала, записанного в цифровой форме, и алгоритмов получения годографов по сейсмограммам.

Наиболее удобными для машинной обработки оказались кинематические методы сейсмики. Здесь достигнут опреде­ ленный прогресс как при решении прямых, так н обратных задач. Методы решения динамических задач развиты слабо. Решаются простейшие, главным образом, одномерные за­ дачи.

Несмотря на то, что использование ЭВМ для построения сейсмических границ по годографам сейсмических волн прин­ ципиально позволяет реализовать метод полей времен в лу­ чевом варианте со всей строгостью, пока все еще в большин­ стве случаев на машину перекладываются ручные упрощен­ ные способы с неизбежным арсеналом всевозможных по­ правок.

§ 1. Постановка задачи и описание метода решения

Пусть имеется плоская изотропная слоистая среда с за­ данными полями скоростей распространения сейсмических

Как обычно, отнесем эту среду к декартовой системе коорди­

в которых Zj ( х ) — однозначные непрерывно-дифференцируе­ мые функции, упорядоченные следующим образом:

гДл:)<г;+і(л;) х^[ а, Ь] .

Знак равенства достигается на части границ при выклини­ вании пластов.

Дневную поверхность (линию наблюдения)

и проходящей продольной волны в методе отраженных (об­ менных) волн, т2і (х) и V2J (г) — годограф и скорость отра­ женной (обменной поперечной) волны.

Задание годографа %\(х) (4) на границе R0 обусловлено тем, что в такой форме получается годограф в процессе после­ довательного получения границ Rt (і= 1, 2, ...) по годографам т2і (і=1,2,...).

Для приведения задачи к виду, рассмотренному в [1], необ­ ходимо пересчитать годографы Ті (х) и т2/ (х) соответственно с границы Ro на границу R t~\ . Эта операция осуществляется последовательно с одной границы на другую. Пересчет годо­ графа Xj-i(x) с границы R j - 1 на границу Доделается в такой последовательности:

82

а) определяется точка пересечения луча, выходящего из точки {£, Zj- 1(і) }границы Р у_ 1с границей Rj, т. е. находится решение системы уравнений

Z — Zj (х )

относительно г и г и функции параметра £. Лучевой параметр Ргопределяется формулой

Формулы (9) и (10) отражают собой непрерывность скаляр­ ного поля времен t(x, z) рассматриваемой задачи.

Пересчитав изложенным способом годографы хі(х), хи (х )

относительно неизвестных x, z, t\, t2, | в функции параметра т). Уравнения (11) соответствуют лучу падающей (продоль­ ной) волны, а уравнения (12) соответствуют лучу отраженной (поперечной) волны в методе отраженных (проходящих обмен­ ных) волн. Соотношение (13) — обычное равенство времен на

границе отражения (обмена).

Анализируя формулы (6) — (11) замечаем, что если выпи­ сать их с нижним знаком (там, где стоит двойной знак «+ » или «—»), определяющим падающую волну, и формально при­ своить скорости этой волны знак «—», то эти формулы совпа­ дут с формулами, выписанными с верхним знаком. Таким образом, можно использовать формулы (6) — (11) только с верхним знаком «+ » или «—» и для случая отраженной (об­ менной) и для случая падающей волны, беря для последней отрицательную скорость распространения. Это обстоятельство позволяет делать единый алгоритм интерпретации проходя­ щих обменных и отраженных волн. Рассмотрим далее отдель­ ные части алгоритма, по которым составлены стандартные программы.

84

§ 2. Аппроксимация годографов и границ

Годографы тI (х) и границы z} (х ) заданы на дискретном множестве равностоящих одно от другого значений х к (к— 1, 2, ...) аргумента, называемых узлами. Производные т/ (х) и zj (х) в узлах вычисляются по формуле численного диффе­ ренцирования

ются по формуле линейной интерполяции. Это обеспечивает достаточно плавное изменение и годографа, и лучевых пара­ метров.

Вследствие того, что и годографы и границы подвергаются предварительному сглаживанию [2], погрешность формулы

(14)может-быть достаточно малой.

§3. Обработка наблюденных годографов

Вработе [2] показана необходимость сглаживания наблю­ денных годографов. При сглаживании используются выравни­ вающие свойства уравнения теплопроводности

Наблюденный годограф т(х) представляется в виде суммы двух составляющих

где Тр (х) — гладкая функция, учитывающая поведение годо­ графа т(х) в целом (региональная составляющая), тл (х) — колеблющаяся функция, содержащая ошибки (локальная со­ ставляющая).

В качестве тр (х) берется характерная для годографа глад­ кая функция. В нашем случае обменных или отраженных волн региональной составляющей является гипербола

Как частный случай здесь возможна прямая.

Входящие в формулу (17) числовые параметры а, ß, у по­ лучаются методом наименьших квадратов из условия наилуч­

85

шей аппроксимации наблюденного годографа т(х), то есть из условия,что

принимает наименьшее значение. Для этого необходимо вы­ полнение равенств

d /_ d / _ d f _ п da~dß~d-f~ и-

Это нелинейная система алгебраических уравнений. Чтобы по­ лучить линейную систему, а, ß, у определяются из условия наилучшей аппроксимации функции т2(х) функцией тр2(х).

Полином ах2 + $х + у можно записать в виде линейной ком­ бинации ортогональных полиномов Чебышева [3]

у(х) = ах2 + ßx + у = С0ф0(х) + С1ф1(х) +

П

[срд^)у]=

fe = 0

П

= 2 (<р<(л:*))2-

к=0

а, ß, у определяются из (18), где правая часть подсчитывается по формулам (19).

86

Локальная составляющая годографа т л (х) подвергается сглаживанию.

Уравнению (15) соответствует уравнение в конечных раз­

0 < а < - і

На рисунке 1 кривая 1\ получена из I путем сглаживаний с параметром а=>J 2, а /2— с параметром а = 1/4. Видно, что кривая 1%более гладкая, чем I и It, я лучше характеризует пер­

87

воначальную кривую I. Поэтому на практике область измененения параметра а сужается:

О < а < І-.

Сглаженный годограф имеет вид:

По этой формуле представляются годографы ті(л:) и тц{х). Процедуру сглаживания можно повторить т раз. Число т определяется двумя способами: если известны ошибки наблю­ дений, то сглаживание производится до тех пор, пока абсолют­ ная величина разности х*{х) — х(х) не будет близка к вели­ чине ошибки наблюдений, если же ошибки наблюдений не да­ ны, то сглаживание производится до тех пор, пока граница отражения (обмена), построенная по сглаженному годографу, примет устойчивую форму. Дело в том, что, если сглаживание годографов не производить, то границы, построенные по ним, часто получаются в виде колеблющихся кривых. В процессе сглаживания случайные колебания пропадают и остаются лишь устойчивые формы.

§4. Вычисление значений лучевого параметра в узлах

Вузлах х 0, х и ... Хп„ границы R0 вычисляются значения лу­

^o(X-l) —^о(-^о)>^о(-^Ло+1) = ^'о('^Яо)'

88

Значения x / ( x j ) вычисляются по следующей формуле

Если нарушается условие существования решения [1], то

есть I Рг|> тах* у (У а — скорость Ѵг в первом слое), то произ­

водится дополнительное сглаживание локальной составляю­ щей х іл (х).

§5. Вычисление проекции луча

ивремени прохождения фронта волны вдоль луча

Задачей этого блока является вычисление f(z, 2*) — проек­ ции на ось ОХ луча, исходящего из точки с аппликатой 2 и при­ ходящего в точку с аппликатой 2*, и ф(г, 2*) — времени про­ хождения фронта волны вдоль этого луча по формулам

щей и обменной) волны.

Скорость V (г) аппроксимируется кусочно-линейной функ­

получим следующие формулы для вычисления проекции луча на ось ОХ и времени прохождения фронта волны вдоль луча:

k= V

89-