книги из ГПНТБ / Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]

z = Zj(x,

у)

(/ = 1,

2, ...).

(1)

Считая, что ось OZ направлена вглубь среды, пронумеруем по­

верхности Rj в порядке

возрастания глубины

Zj(x,

y ) ^ z J+1(x, у).

(2)

Случай равенства

соответствует

явлению

выклинивания

слоев.

у)

(/ = 0, 1, 2

...) суть однозначные и

Функции z = Zj(x,

пространения

упругих

волн

Ѵі = Ѵи {х, у,

г),

(і= 1,2)

(3)

если

zH1(x,

у)

(х, у).

Скорость VI

на поверхностях R / терпит разрыв первого ро­

да, а в каждом

слое непрерывно-дифференцируема

по всем

своим

аргументам.

Известны обобщенные годографы [4], представляющие со­

бой функции скалярного поля времен на поверхности R0:

r i = x u ( x , y , z )

( i = l , 2 )

(4)

2 = Z0 (x,

у)

(/ = 4, 2 . . .),

где Т/

— однозначные

и непрерывно-дифференцируемые по

х и у функции,

индексом / отмечен годограф, соответствующий

поверхности Rj , а индексом і — тип волны.

Задача состоит в определении границ раздела

2 = Zj (X, у)

( / = 1 , 2 . . . )

по известным

годографам

(4)

и законам изменения скорости

в слоях.

можно отыскать z = z \

( х ,

у )

и продолжить решение задачи,

предполагая (при отыскании границы

R2) по аналогии,

что

скорость в слое /= 2 задана

в полупространстве,

ограничен­

ном

поверхностью Ry.

у = (Ѵц (Яд, г/gz)

для 20 < г < zx

(6)

1

[ Ѵ і 2 (X,

У,

Z)

Z{ <

z < со

§

2.

Метод решения

Рассмотрим

метод поиска

одной границы z = z x (х, у) в

простейшем случае, когда функция V задана во всем полупро­

странстве и определяется

формулой

(5).

z)находится

Функция скалярного

поля времен t = t (х, у,

из

уравнения

Гамильтона-Якоби

( g r a d 2О=

при

начальных

данных

у, Z)

т =

t(Xg,

( Г )

у).

Уравнение (7)

2 =

Z0(x,

для системы

есть уравнение

характеристик

Уравнений движения в форме Ламе. Бихарактеристики

этой

решение системы

интегральных уравнений

[5]:

* = *° + \p V 4 t,

Р = Р ° - №

dt,

х

X

*

У = У° +

jqV*dt, q = q ° - j % .

dt,

(8)

X

х ^

z = z0° + J rV2dt,

r = r° — J

dt

■t

, 1

г

( 9)

A2= z ,2 + zy2+ 1,

б2 = г /

+

--Х2 + (zxxy — z yxx)г,

Zo°= 2o(*°, У°).

Частные производные

тл=

ту= — ,

dz

_ dz

d.*’

dy

взяты в точке { х°,

у0}

и скорость

Ѵ— Ѵ (х°, у°, 2°0).

угла

Знак радикала в

(9)

определяется знаком косинуса

дела слоев совпадает с направлением внутренней

нормали,

проекция которой на ось OZ в силу однозначности

функций

z = zj

(х, у), будет_всегда положительной.

Вектор скорости V волны, распространяющейся от поверх­

ности,

и нормаль п будут лежать по одну сторону

от плоско­

щей.

_ _

Отраженной волне, когда

V и п расположены по разным

Л

величины, пропорциональные направляющим

косинусам

сейсмического луча:

_л

рѴ = cos(iV),

л

qV = cos(jV),

(11)

_Л_

rV = cos (kV).

сформулировать так: необходимо найти

точку полупростран­

ства с координатами XYZ, удовлетворяющими уравнениям:

X = X] = х2

Y = У\= У*

(12)

Z = Z \ = 22,

при условии t\=t2.

Подставляя в (12)

выражения для х и х2, у и у2, tu t2 и допол­

няя их уравнениями для р\, q\, Гі, Р2

Ць г2 из (8),

получаем си­

стему

X =

Хі° + (‘ pi Vi2dt = х2° +

j

p2V24 t

-о

Y = У\° + [ qxVx2dt = y2° +

j'

q2V24t,

Z = Zqi° +

j ryV{2dt —Zq2° + J ^2^22dt,

(.13)

Pi = Pi° - J‘ ~

dt

x. * i

ций параметров х°2, у °2 при заданном z = z 0 (х,

у) и данных

Коши типа (9) для р°ь q°u г°і и р°2, q°2, z°2.

пересечения

Таким образом, нужно найти такую точку

в начальных условиях (9) будет выбираться,

исходя из того,

что обе волны,

продольная и поперечная,

распространяются

к поверхности

R0.

Получение численного решения системы (13) в общем слу­

чае представляет существенные трудности

технического ха­

рактера. Необходимо при заданных начальных

условиях для

женным выше методом найдена первая неизвестная

граница

R h разделяющая слои /=И и / = 2. іВ этом случае на

дневной

поверхности Rü имеется годограф, полученный от очередной

неизвестной границы:

т = t(x, у, г),

( 14)

Z = z0(x, у),

существования и единственности

решения

задачи Коши для

системы обыкновенных дифференциальных

уравнений, ввиду

разрывности функции V [6].

границе R і

отчетливо видна

Разрывность параметров на

в окрестности границы по равенству

для слоя / = 1

р2 + q2 + г2 = Т7;

---- для слоя j

= 2,

метода.

(8) существует и единственно в области

Решение системы

2 0 ^ 2 ^ 2 !

(15)

где Ѵ=Ѵ\ (х, у, z) непрерывно-дифференцируема.

опираясь на

Продолжить решение через границу г х можно,

непрерывность луча,

являющуюся следствием непрерывности

поля времен.

Точку пересечения луча области (15) с поверх­

ностью 2= 2]

(х, у) необходимо взять за начальную точку лу­

ча в области

со, пересчитав параметры рь q\, г\ на ве­

личину их скачка.

параметры луча

Координаты точки пересечения X, У, Z,

р1, qu г\ и время t—t (X, У, Z)

определяются при решении си­

стемы уравнений, в которую входит система

(8) и уравнение

2 = 2 і (х , у)

поверхности Ri.

t

Z =

J pj Vx4t,

Y = y° +

t

I q M d t ,

T

t

(16)

Z = Z\ (XY) = 20° + f r 1K12^ )

водные т^*

и ту* в окрестности точки {X

У. Z)

в слоях у = 1 и

у—2 имеют

вид:

= » ' + г ‘ £

- *

+ г > £д

•

<1 7 >

*

.

дгл

.

dz*

у

ду

ду

Остается

подставить найденные

из системы (16) pi, qь гі в

формулы

(17) и определенные

таким

образом хх* и ту *

ис­

пользовать в формулах типа

(9)

для вычисления начальных

значений параметров р2,

Цг, г2

в слое /'=2. После этого реше­

ние системы (8)

можно продолжить в области Z i< z< co

при

Ѵ=Ѵ2 (х, у, z).

Граница,

Таким образом, задача свелась к предыдущей.

соответствующая

годографу т*,

будет

определяться

методом,

разобранным в

§

2.

Рассмотрим общую схему решения задачи поиска несколь­

ких неизвестных границ. Пусть на R0 имеются

пары

годогра­

фов, например, падающей и отраженной

или обменной попе­

речной и проходящей продольной

волн,

соответствующие не­

скольким

неизвестным

границам:

ті =ті /ix,

у,

z),

z = z 0(x,

у);

r2=x2/(x, у, z),

z = z 0(x,

у)

(/ = /,

2, 3)

и поля скоростей

Ѵі = V,j (х, у, z)

Ѵ2 = V2j (х, г/, z)

ДЛЯ 2;-_1<2< со,

(/=1.

2. 3).

Требуется

отыскать

неизвестные

границы

z — Zj

(х, у)

(/=1.2.3), разделяющие среду на слои.

Предлагаемый для решения задачи лучевой метод преду­

сматривает последовательное

определение

границ Rj

в по-

ряке увеличения

номера

у.

Первая граница

(/=1)

определяется

из решения системы

(13) при заданных

на

R0 годографах

z),

z = zQ(x,

у)

ТГІ = Тп(х, у,

г)

и

т2 = Т2ц(х, у,

и полю скоростей

z),

Ѵі = Ѵп {х, у,

2° ^ г< со

Вторая

Ѵ2= Ѵ21(х, у,

z),

на Ко

граница ,(/ = 2) определяется по заданным

годографам

t l2(x, у,

z)

и

т2 = т22(х, у, г),

z = г0(х, у)

Ti =

и полю скоростей

и Ѵ2=Ѵ21

(х, у, z) \ для 2і< г< со

для г0< 2< 2і Ѵі = Ѵи (X, У, z)

Ѵі = Ѵі2 (Х, У, Z) И Ѵ2—Ѵ22 (х, У, z).

Поиску границы z=z2

(х, у)

предшествует пересчет годо­

графов х\ и т2 на границу z = z l

(х,

у)

по

формулам

(16) и

пересчет параметров по формулам

(17)

и (9). После

пересче­

та получаем на R\

Ti = Ті2*(х, у,

z)

и

т2 =

т22*(х, у,

Z),

z = Zi(x,

у)

Ѵ\ = Ѵі2(х, у,

г)

и

Ѵ2 = Ѵ 22(х, у,

г), z ^ z < c o

и, решая систему (13), получаем границу z=z2 (х, у).

Определению третьей

границы Кз предшествует

двукрат­

т і = т і з **(x,y,z)

и х23**(х,

у, z),

z = z2(x,y),

Vi = Ѵі3(х, у, z)

и Ѵ2 = V23(x, у, z),

для 22^ 2 <оо

и неизвестная граница z = z 3 ,(х, у),

как и в предыдущих слу­

чаях, определяется путем

решения системы (13) при данных

Коши, вычисленных

по

формулам

типа

(9).

у = у0 + ^о:(х — х°)

О8)

г = ± 1 / 1 — V2(p02 + q02Y

(19)

d z

z

dz

г

Р° = *х — г°гх ,

q° = Ty - r % ,

'(20)

,

_

ТА + ТУ*Ѵ

КД*— К“52

щ

/

Л

'““““ ——— —

■■

.

где

да .

уД2

Д2 = Zjca +

+

1,

б2 =

т / + ту2 +

(zxt у -

zyix)2.

х і

Рі° V d z _______

Kl — V2 (Pi0J + <?Д)

Уі

.

qy° V d z

I (l = 1. 2)

(21)

_

yn (pj* + qMf

1

для определения xh у i ,

х2,

у2, t\, t2, х°\, у°и z при заданных

*°2, У°2 И 2°0= Zo (х°,

У0).

Zj+ ух, У)

X = *°-

і

р° Уdz

(22)

zj&.yо)

/1 - ѴЦр Ы +qOZ)

z; + i(X, У)

Y = у 0

I

q° Vdz

Ѵ \ - Ѵ Ц р Р + <П

z f

zj + l (X, У)

т* = X j ( x ° , у0) —

dz

j

Z/Л У0)

VV 1— Ѵ2(р™+ q°2)