книги из ГПНТБ / Применение ЦВМ и средств вычислительной техники в геологии и геофизике [сборник]

где

■р^-ІѴ 1 - (ßv2+ b . f P * - V \ - (avzv+ 6v)2P 2), a ^ O

S ,=

Р £ ѵ( г ѵ— 2) , a* = 0

,

V 1 -

ö,2P 2

- p i — ( К 1 - ( a ft+1z* + 6*+,)2P 2 -

— K l — (ßft+iZft+i - f

Öä+i )2P 2), a Ä=£0

Ph+i(«,+.-*,)

K i - W P 2

- ^ ( 1 / 1 - ( а , г * + ^ ) 2р 2 - l / l - ^ + è ^ p 2 ),

52 =

ф О

Pb^Zp—z*)-, а,, =

О

1/1 - Ѵ ^ 2

В узлах х0], x lh

x n]j границы R;- z = Zj{x) заданы

значения годографа х{х)

и соответствующие им значения лу­

чевого параметра Р(х).

вала пополам.

значение

z0* аппликаты

z искомой

Задаем

приближенное

точки пересечения.

Все последующие приближения z K* (к—1,

2, ....)

аппликаты z

получаем, выполняя следующие действия:

1)

по

известным г0*,

P j ( x u )

и скорости

Vj+i (г) в

z = z1*= г0* +

hzsgnä0

(26)

(Л2> 0 — некоторый шаг по оси OZ),

действия

С

приближенным

значением

Zi*— выполняем

п. 1—3 и получаем &i = zJ+i (хі*) — Zi*. Если sgnAi =

sgnA2,

вычисляем

согласно

п. 1—4

последовательность

z*, Д(

(і=2, 3, ...), до тех пор пока А,

не сменит знак

на противо­

положный. Пусть это произошло на к-ом

шаге.

Тогда

[z*K-i,

zK*\ Формулу (26)

в п. 4 заменяем следующей

z =

z*k+i = z *

+

^ s g n ^ .

(26')

По этой же формуле

вычисляется z2*, если sgnAi =* sgnAo.

Вычисление приближений к z ведется до тех пор, пока на

некотором шаге I не выполнится условие /д г/< е,

z — z t * дает

с нужной точностью аппликату точки пересечения.

По найденному z вычисляются время ту+і

и производная

t'j+i

по формулам:

Tj + i = XJX U ±

j

dz

(27)

К ж й К і - P / V ’J z )

dy+i

=

— Pj(Xij ) ±

dx

±

VHI |4+ .(41 V 1 -

P 4 * u ) v U te+' 0)1

<28)

По производной t'y+i и скорости Vj+zlZj+^x)]

вычисляется

параметр Pj+ 1 (x) для слоя / + 1

т'я-і

±

Pj+l(X) = 1 , _/2

1~*~Z J+1

+ _________ z TU

л [

1 т і+іѴ}+2Ігі+'(х )]

(29)

Vj+2 [z]+,{x)]}fi+ z ’2j+i

V

1+ z,2j+1

относительно неизвестных x, z,

t\,

t2, g в функции параметра

т), принимающего значения х j

(/

= <7, <7+ 1, .................., т).

-г = zmax = const» ze(x),

(33)

По первым

равенствам (30), (31) и заданному

z = 2 * > z l- l (x)

вычисляются абсциссы Х\* и Х*2 концов Bi,

8 = /х2 — x j — j x * — X-*!

можно

ориентировочно

судить, сходятся

или расходятся

с ростом глубины лучи L\ и Ь2.

точку А х пере­

Если

б < 0, то лучи

расходятся, и нужно

гается б>0 или совмещение

точек А\

и А2.

В последнем

случае

точка

А\ помещается

с другой

стороны

точки А 2

достаточно

близко от

нее.

Благодаря

непрерывности

лучевого

параметра Р(х)

лучи Ьх и Ь2 пересекутся,

так как

А\.

параллельно,

и в этом случае

Если 6> 0, то лучи идут

нужно точку А\ совместить

с точкой А 2 и

снова проверить

и находить 2 из уравнения ,(32), а х по

2

из

(30)

или

(31).

Эта процедура имеет следующий вид.

Задается

2і > 2г_і (|),

z x берется в качестве первого при­

ближения

к

аппликате z

искомой

точки

границы.

z x

под­

ставляется в левую часть временного уравнения

(32)

(обозна­

чим ее А)

и

вычисляется Д(Мі) =

Aj. Затем

выполняются

следующие действия.

z t

(і — 2,

3, . . . .

)

1. Вычисляется последовательность

по формулам:

г,- =

zi- 1+ hg, Aj <

0

(34)

2,

= ^ . ! - ^ ,

At> 0

(35)

2. Вычисляются А ;= Д (л :(-, z t)

до

тех пор,

пока А,-

не

сменит знак

на противоположный.

Пусть

это

происходит

на

/г-м шаге.

3. Проверяется неравенство

j z k — Z k - \ l < е

Если оно выполняется,

аппликата zK- \ —искомая.

Если

не­

равенство не выполняется, то формулы

(34), (35)

заменяются

соответственно формулами:

-у

_

h-Z

(3 4 '>

z

— Zi-1

2

z =

z ,_ i-b ^ ,

(35')

после чего продолжаются вычисления по п. 1—3.

точки

границы

4.

Ненайденному г,

аппликате

искомой

и первому уравнению (30)

вычисляется

х

— абсцисса

точки

границы.

б > 0, то лучи сходятся

и

можно

попытаться

найти

Если

их точку пересечения при условии,

что z < z max. Точка

пере­

сечения лучей М i(xi, Zi)

ищется

методом деления интервала

пополам следующим образом.

и по первым

равенствам

1. Задается z = zn > z /_1 (|)

z = Zu = Z u - 1 + hsgti Д sgn Д,

(36)

(h> 0 — шаг по оси ОХ), хХі (g),

ХиЫ, Аі ^

ііСп)—*«(£).

(* = 2,3, .

. . )

До тех пор, пока разность Аг сменит знак на

противополож­

ный. Пусть это произойдет для z =

z K. Следовательно, иско­

мое значение z t £ [ziie-i , Z\K).

3. Берется hx =h /2,

формула (36) меняется на следующую

z = zu = Z u - 1 + h xsgn bksgn Д

i = k +

1, . . .

j Z i N — Z \ N - l / < £

Если же

выполнение этого неравенства не

достигнуто,

а ^ > z max, то нужно сблизить точки Л1, Л2.

Точка M i

(хи Zi) рассматривается как первое

приближе­

ние к искомой точке границы М (х,

z), координаты которой

Должны удовлетворять временному

уравнению (32).

Е, =

5і-і - liSgn Д,

(37)

если

і = 2 ,3 ,. . . ?! = 5

Ах > 0, то

— ^sgnAi,

(38)

где /і> 0 — шаг по оси ох.

По

{^}

вычисляется соответствую­

щая

последовательность

М,

(xh

z t) и последовательность

Дг=Д(МД до тех пор, пока Аѵ не сменит знак

на противопо­

ложный. Пусть это произошло на к-м шаге.

3)

проверяется неравенство

jzk — Zk-\ j < е

(39)

лы (37), (38) заменены

формулами

Ei =

Ei-i - Jsg -п Aft

(37')

Ei =

Ei_x-^sg/iAft

(38')

xt(x*) = 0

z(x*) = z *

X * , z * — координаты пункта

взрыва.

z = с — const > г*,

расположенную между границей

Ro

z = z0(x) х£

[а, Ь]

и

искомой границей Ri

2 = zi (X) х£

[а, Ь],

то

есть

z0(x) <c<Zi(x).

Ri,

Граница R должна быть расположена как можно ближе к

так как наибольшая кривизна годографа растет с прибли­

Вырожденный годограф %\{х) падающей

волны пересчи­

тывается на границу R следующим образом.

Для нахождения точек пересечения (хп, с)

лучей L„c гра­

ницей R нужно вычислить х п по формулам:

X п

Г _Р}пУ_\^г_

(40)

р / Т = л Ж 2

Г

P \nV idz _

(41)

I r

1-Pm'V? = n h x-

2*

По теореме о среднем значении существует

[г*,с]такое, что

V I -Л « гѴС-„)

(42)

z*

7. Заказ 1928

9 7

Так как

неизвестно, то в качестве Vj(S„) берем среднюю

скорость Уіср , вычисляемую по формуле.

Vj ср

М г* + Z{

(2/-2*)

І- 1

1+z* (2*— 2ft_i) +

Vyi гу-і + c

V

(c -

'У-iJ

+ k —i ~r1ѵ Ц -

(43)

Vi

задана следующим

образом:

Vi (г)=Ѵк1(г)=акіг + bkl

z t [zk-\,

z k],

Ä =

1, 2, . . .

z*£[z/-i,

z t],

c £ [zj-1, z;]

Используя

(41)— (43),

получаем формулу для

Р,„:

P . ^

s i n a

r c

t g ^

(44)

Определенные Р1п подставляем в формулы (40)

и находим

значения х „. Значения Ті в точках

вычисляем по формуле

,(*„) =

f -------

/ V W

) '

(45)

Замечание. Индекс п у х п принимает

значения п = 0, ±1,

+ 2,

+ N . N таково, что выполняются оба неравенства

Vu =

Vu(z);

Ѵг, =

Ѵ ф

(46

(j =

l,

2,

...,

п),

известные

границыИ,- (j =0,1,

к)

Z = Z j

(x),

X £ [a,

b ]

годографы отраженных (поперечных)

волн

(/' =

k + 1, .

. . , ti)

i 2J = r2J(x )

годограф

продольной

волны

)

t i

=

Ti ( x )

или годограф падающей волны в точке

X * , 2 *

Х\ = 0.

Требуется

вычислить

координаты

точек границ Ry

(j = K + 1, ....,

n).

Порядок вычислений представляет­

ся в виде блок-схемы

(рис.

2).

графов

% 2

(j = k + I,

...

п)

и

вы­

числение лучевых параметров

(§

3,

4).

2.

Анализ метода: в случае

отра­

женных волн переход к блоку 3, в слу­

чае

проходящих обменных

волн —

к блоку 4.

скоростей

Vi}(z)

на

3.

Смена знака

противоположный,

получение

зна­

чений Т і ( х )

и Р\ (х)

в узлах фиктивной

границы

согласно

§

8

и

переход

■э к блоку 7.

наблюденного

годо­

4.

Обработка

графа Т і ( х )

продольной волны и

вы­

числение лучевого параметра

(см.

§ 3,

7*

99