книги из ГПНТБ / Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

x' = h(t,

X, у),

y' = f(t, X, у)-,

(1)

Li(x(a),

х(Ь),

у (а),

у(Ь))=0-,

L2{x{a),

х{Ь),

у{а),

у{Ь))= О,

x'=h(t, X,

у),

у' — f(t,

X, у );

( 1 . 1 )

L x{x{a), x(b),

у(а),

y{b)) =0;

( 1.2 )

L2(x(a), x(b), y{a), y(b))= 0,

где

h, fŒ.Car(lXR2)',

L\, L2^.C(Ri ),

усиливающие,

в частности,

результаты

работ

Н.

И.

Васильева [2],

Н. И. Васильева и А. Я. Лепина

[1]. Краевая

задача

(1.1)

— (1.2)

рассматривалась в

работе

В. В.

Гудкова,

В. Д. Пономарева [1]. Методы

доказательства

теорем

шения краевой задачи

(1.1) — (1.2): девять в

терминах

функций а, ß, Я, ц, V,

w и девять в терминах

функций

функций а, ß,

Я,

(X, ф,

ф, аналогичную

теореме

3.2

главы I.

на

схеме

доказательства

теорем

1.1

Остановимся

x(a)-x(b)=Ai*(x(a),

x(b),

у (а),

у {b));

У (а) - у(Ь) = А2*(х{а),

х(Ь),

у (а),

у{Ь)),

задачу (1.3) — (1.4)

таким образом, чтобы

для любого

их решения (х(t),

y(t))

на интервале / существовала

в теореме 1.1 априорная оценка

a ( t ) ^ x ( t ) ^ ß ( t ) ,

v(t, t) ^ y { t ) ' ^ w { t , t),

(1.5)

а в теореме 1.2 —

a ( t ) s r x ( t ) ^ p ( t ) , ф(t,

x(t) ) s ^ y ( t ) ^ ( t ,

x(t)).

(1.6)

ходя

к пределу, получаем

решение (x(t),

y(t)) краевой

задачи

(1.3) —(1.4),

удовлетворяющее

оценке

(1.5)

в теореме

1.1

и оценке

(1.6)

в теореме

1.2, чем

в силу

обрезки функций Я, F, Лі*, Л2* и будет доказано суще­

ствование решения краевой задачи (1.1) —(1.2).

В дальнейшем понадобятся следующие две леммы,

доказательства

которых,

аналогичные

доказательству

соответствующих лемм из первой главы, опущены. .

Лемма

1.1.

Пусть

и,

zeAC(|7i,

t2]),

t\< t2,

/геС аг([Я

^г]Х^), h(t, х)

удовлетворяет обобщенному

локальному условию Липшица по х и, кроме того,

1)

и' (t) <h(t, u(l) )

pyt<=[tu t2]\

2)

z'{l)r>h{t,z(i))

p y t e

[/i, /2] ; .

3) u(t0) ^ z { t 0)

i0Œ[tu t2].

Тогда

u(t)<z(t)

y t ^ ( t 0,

t2}. Если вместо условия 3

выполняется условие

4)

u(t0) ^ z ( t 0)

to ^ [ tu t2],

то. и (/) >z(l)

yl<^[tu tQ).

Лемма 1.2. Пусть

F<=Car (I X R2),

а, ß,

К,

(XœAC(/),

gŒ.L(I)

такие, что

1) а (t) < ß (t)

v ^ / ;

2)

\ F ( t , x , y ) \ ^ g ( t )

V (l,

X, y ) d I X R 2-

Тогда

существуют

функции

Fnd C a r(IX R 2)

и

G„E

œ L(I),

такие, что для любого не{1,

2, ...}

3)

\Fn(t, X, у) I s^g(t)

V (t, X, IJ) œ I X R2;

4)

lim Fn{t, X, y)=F(t,

X, y)

y (t, x, y) d I x R 2\

n->oо

5)

Fn(t,a ( l),l(t))= F (t,a ( l),X ( i))

/>Ѵ*е=/,

Rn(t, ß(0, M*))=F(t,

ß(0, n (0 )

P V t ^ R

6)

IFn (t, 0

—Fn(t, 0 (/),y 2) H

^ G n ( t ) \ y i - y 2\

y(t,

tju y2)€E/X/?2.

уѲ«={а,. ß}.

Введем обозначения.

tu

t2,

t3,

ti'l-уі. Определим

Пусть

даны

функции

множества ги г2а І Х І

следующим образом:

ri = {{h,

t) :t0(=I,

tŒ[tu (t0),

^2(^0)]};

f2={(to,

t):t0d l ,

f e [ l 3(/o),

^4(^0)]}-

Используя функции ѵ.Гі-^R, w:r2-+R, ci,

ß, Я,

y .I^ R ,

определим отображения m, M:I-+R,

H0: I x R 2^ R

и мно­

жества A (t)d R ,

T d R 4 следующим

образом:

m (t)= min{

inf

v(t,

s),

X(t), p(0};

se [6((). U(t) 1

M (/)=m ax{

sup

w(t,

s),

k{t),

ц(0};

*еІіз(0, U(t)]

H0(t, x, y) =h(t, x, ô(m(t), y, Af(f))) +

+y~à(m (t),

y, M(i));

A(t) = {x:a(t)s^xs£ß(t)};

T={(z 1, z2, z3, z4) :a(a).^Z isSß(a),

a (6 )<

s^z2s^ß(b),

m(a) ^ z 3s^M(a), m ß K z ^ M ß ) } .

Для краткости будем писать L{(x, у) вместо Lj(x(a),

x(b),

у (а), у(Ь)),

где і<={1, 2}.

1)

На. РД, р е А С (/),

н U, h, h,

Н v . r ^ R ,

^ w - . r ^ R ;

2)

a ( 0 ^ ß ( 0

V *e/;

3)

a'(t)=h(t,

a(t),X(t))

pytezl,

p/ ( t ) = h ( t , ß ( t ) , li(t))

pVtŒl;

5) ММ=МоДММ> M M < M M

y t 0EEl,

MM Д Д ^ М М , M M < M M

V

7)

m,

M ^ L ( I ) ,

—oo<inf m{t), sup M(t) < + oo;

ie i

<ei

8)

если

H[M U]czl,

H*, y<=AC([M M ) такие,

что

x'(t) =H0(t, x(t),y(t)),

y'{t) = f(t, x(t),

y(t))

pyte=[t5,

M,

x(t)<=A(t)

yt<=[t5,

W\

и

Н^ое/

такое,

что

либо

[h,

М 'М М М ,

M

«

y{U)=v(U,

U),

либо

[U,

t6\c~[to,

M M ]

«

y(t6)= v (t0,

t6),

то

y (t)^ v(t0, t)

y t(=[t5,

h]

или

з ^ е /

такое,

что либо

[^5,

76] с= [^3 (М),

А]

и

y{h)=w(to,

М>

либо

[4,

^]с;[<о,

М М ]

и

9)

y{h)=w {t0,

U),

то

y(t)s^w(t0, t)

y i ^ [ t 5,

M l

для

любых t0^ I

и

XŒAC([ti{i0) ,

М М ]),

таких,

что

x(t)ŒA(t)

для

любого

*œ [MM,

М М ]

^2(^о)

/

h (s, x(s),

v(t0, s))ûfss£cc(MM) - ß ( M M ) ,

г,(іо)

для любых t0Œl и JCœAC([MM, ММ]), таких,

что x(t)ŒA(t)

для любого t<=[l3(t0),

ММ]

t*(tо)

/

h (s, x(s),

w(t0, s))dsSsß(MM) - а ( М М ) ;

MU)

Li*(zu z2, zs, z4) =

= L,(ô(a(a),

z h ß(a)), ô(a(b), z2, ß(ô)),

z3, z4) -

-£Ті2(г іі- 0(а(а),

z u ß(a) ) ) + oi2(z2~ ô (a (b),

z2, ß(b)))\

Ai {z\, z2, z3, z4) =

- L i *( z u z2, ô(m(a), z3, M(a)), b (ni {fi), z4, M(b)));

Ai*(zb z2, z3, z4) = G12A I (ZU Z2, Z3, z4) + z i - z 2-,

L2*(Z U Z2, Z3, z4) =

= L2(ô(a(a),

z u ß(a)), ô(a(b), z2, ß(b)),

z3, z4);

+ 021 (z3- à( m( a) ,

z3, M ( a ) ) ) -

- o 2I(Zi-ô(m(b),

zh M(b)))\

Ai*(zj,

z2, z3, z4) = O2XA2(Z U Z2, Z3, z4)

- z 3 + z4.

Отсюда

видно,

что

Л іеМ ( —1, 1,

1, 1), Л2е

œ M( 1, 1,

1,

—1),

A2(zi,

Z2, Z3,

z4) строго

монотонна по

13 и существует gi<=R, такое, что

sup|Af*(zi, z2, z3) z4) |< g i

у іе { 1 ,

2}.

Я*

Если задача

x' = H(t, X, у), y' = F{t,

X, у)-,

х ( а ) - х ( Ь ) = А 1*(х, у ) , у ( а ) - у ( Ь ) ^ А 2*(х,

у) 1 '

имеет решение (x(t ), y(t)), для которого верно

(1.7), то

(x(t),y(t)) будет решением краевой задачи

(1.1) — (1.2).

Это следует из определения функций H, F, АД

Л /.

+ Fmn(t, ßm(0> 1*(0)

Pyt^I, V « e { l , 2 ,

...}.

Докажем теперь оценку

ССтп(0

(0 * s

=^:ßm(0 VtŒl,

у п е {1, 2, . . ( 1

. 1 2 )

У m n (t) —Xm n (t) + Fm n ( t )

%mn (0> Ут n ( 0 )

=

“ %mn (t) + F mn(t, am{t),

Ут п (t) )

+

+ Fm n (t , Ctm(0> Ут п (t)) pyi^[a,ti].

~M*. a (0 ,

W , <z(0, M 0 ) -

à(m(t), ymn{t), M(t))) - y mn(t) +

+ ô(m(t),

ymn(t), M(t) ) > 0 pYt<=[a, 0].

1 )

Ош {Ь)^>Xтп (Ь)Л(Ь) ^\Утп (Ь);

2)

ат (&)>л:тп (Ь), К(Ь)>Утп (*);

3)

am(Ô) ^

%тп(Ь)Л(Ь) Утп (Ь);

4)

ат{Ь)

(b), X{b)>yтп (b).

У тп (t)<am(t) + Fтп (t, dm(0 »Утп (t))

p y t Œ[ t u b];

y ( t ) > a m{t) + Fmn{t, am(t), K(t))

p y t ^ [ t u b]

> 02іА2(а (а), а(6), À(a),

X { b ) ) ^ О,

что противоречиво.

Пусть аm ( b ) ^ x mn(b). Если %(Ь)

Утп (b), то