книги из ГПНТБ / Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Далее,

найдутся

/2е (/ь /0] и /Зе (/ь 12], такие, что

и

f

G(t)dt< 1;

max(y(t) —x(l)) =y(t3) — x(ts) >0.

i,

[O, fd

^ J

{h(t, y (t)) ~h(t, x ( t ) ) ) d t ^

11

U

^

f G (t) ( y ( t ) - x ( t ) ) d l ^

tx

із

^ (y(t3) - x ( t a)) f

G(t)dt<y(t3) - x ( t 3),

и

что невозможно. ■

Лемма 2.2 (лемма аппроксимации).

Пусть

F ^ C a r ( I x R 2),

г, S œ CI (I), gŒL(I)

и, кроме того,

1) r(t) <s(t)

у t^î-,

Тогда

существуют функции FnŒCar(IXR2) и Gn<=

^ L ( I ) ,

такие, что для всех Hœ {1,2,...}

3)

\Fn (t, x, x ' ) \ ^ g ( î )

y (t, x,

x ' ) e s I x R 2;

4)

lim Fn (t, x, x')=F(t,

x, x')

Y

(t, x,

x ' ) ^ I X R 2‘,

n-> oo

5)

Fn (t, u(t), u'(t))=F(t,

u(t),

u'(i))

YtEBl,

Yu<={r, s};

6)

IFn (t, u(t), y i ) - F n (t,

u(t),

y2) \ ^ G n (t)\yl- y 2\

V (t, Ух, y 2) ^ I X R \

Y « e { r , s } .

Доказательство.

Для

фиксированного

п е { 1, 2, ...}

и для любого Ä e Z = { ...-2 ,

—1, 0, 1, 2,

...}

определим

функции yh\IXR-^R, полагая

X) = s ( t ) - r ( t )

r' (t )s(t ) -s' (t )r(t )

s ( t ) - r ( t )

У к { t , x ) - t j k - l ( t ,

\_

X )

n

Отсюда видно, что y h ^ C ( l X R )

для всех te Z .

Фиксируем точку

(t,

x,

x ' ) ^ l X R 2. Тогда

существует

f e Z , такое, что yh-\{t,

x) < x ' s ^ y h(t, x).

Положим

Fn (t, x,

x') =

- F ( t , x , x ' ) \ ,

(2.5)

что Fп<= Сar ( I X R2) ,

причем

для Fn выполняется усло­

вие 3. Из (2.5), определения

функций yh и непрерывно­

сти функции Fn (t, X ,

х ' ) по

х ' следует справедливость

l/o(t,

r(t))

=r'(t),

y0(t,

s(t))=s'(t) V Iœ F,

Fn (t,

X , y0(t,

x))=F(t, X , y0(t, x))

'

y ( t , x ) Πl x R ,

V n e { l,2,

Что касается функции Gn, то она

измерима и сумми­

руема, причем

последнее следует

из

соотношений

I

(/) I

max {sup n(\F(t,

r,

yh(t, r ) )| +

fc<=z

+ (*, r, Ук—1 (t,

r))

I),

рых k, l ^ Z ,

t(E=I, xŒ{r,

s}

xi'e=(yk-x(t,

x), yh(t,

x)],

x2'^(yi-i(t, x),

yi(t, x)].

Если k — l, то

IFn (t, x, x'i) —Fn (t,

x,

x's) i =

— n\F(i,

x,

yh- \ ) {ijh-x'x) +F(t,

x,

yh) (x'x- yk-i) -

- F ( t , x,

yh- \ ) (yk- x ' 2) —F(t, x, yk) (x'2- yk - i) I =

= n\F(t, x, yk) —F(i,

x, yи-1) I \ x ' i - x '2\«S

^ G n (t) \x'x~x'2\.

Если же к фі,

например k<l, то

IFn (t, x, x'x) —Fn (/,

x, x'2) I =

= | Fn (t,

x, x ' i ) - F n (t, x,

yh)+F„(t, x, yh) —. . . —

— Fm(t, x, yi-i) +Fn (t, x, yi-x) —Fn(t, x ,

x'2) I

I Fn (t, X ,

x'x) —Fn (t, x, yh) I + ...+ I Fn (t,

x, г/г—i) -

- F n (t,

X , х'г) I s^Gn (t) ( \ljk- x \ \ + . . .+

+

\х'2 ~Уі—1 I ) = Gn (t) \хГ2— х'\ I .

Следовательно, условие 6 выполняется. И

Теорема 2.1. Условия

1)

3 сс, fi£=AC\ (/), 3 h, h, h, h :/->-/,

3 w : r2-+R ;

2)

a ( /) ^ ß ( 0

V*e=/;

3)

a(t), a'(t))

p y Iœ I\

P(<), p'(0 )

PV*e=/;

4)

(ta)

^М М > C (M <M(M

V (oe/;

M M ^M o^M M » M M < M M

V

6)

sup 10 (f0, О I < 00, sup I w (t0, t) I < 00;

П

r2

M(M)

7)

/

o(/0, O ^ ^ M M M M ß C M M )

V t 0Œl\

i.«o)

U(U)

/

w(t0, t ) d t ^ ß ( t i ( t o ) ) - a (M M )

y t 0<=I;

Ï3«o)

8)

если

3^o^7,

3 [M

ï'ejcr/,

з*!= /1Сі(М ,

M )

такие,

что

x" (t) —f{t,

x(t),

x'(l))p

y ^œ [^5, M

и

a(t) ^

==cx(0 «Sß(0

y t ^ [ l 5, f6]>

то

из

[t5, М <=[М М ,

/0]

и

x'(t5)=v(t0,

/5)

либо

из

[h,

M с : [£0, M M ]

и

x'(te)=v(t0, t6)

следует

x'(t) ~Szv(t0,

t ) y t Œ

<=[t5,

M>

a

из

[ts,

/6] c ; [ / 3(fo),

M

и

* '( M =

= w(t0,

t5) либо

из

[/5,

M ^ Î M M M ]

u

- M M =

— w (to,

tб)

следует x'{t)s^w{t0, t)

y

/6];

9)

a(a) £ ^ Л ^ р (а),

a(b) ^ ß < ß (fe )

задачи

( 2. 1) —

эквивалентны

разрешимости

краевой

вание решения краевой задачи

(2.1) —(2.2). Положим

УѴ= 1 -fmax(max|n'(0

|, m ax|ß'(l) |,

I

I

Отсюда видно, что F ^ C a r ( l X R 2), 3 gŒL(I),

\F(t, x, х') I s^g(t)

y

(t, x,

X')<EEI X R 2.

Если краевая задача

x" = F(t, x, x'),

x(a)

=A,

x(b) = ß

(2.8)

Определим на множестве

I X R 2 функцию

Fпт(7,

X, X ) =

= Fn (t, ô(ara{t), х, ßm(7)),

x')

yn, ш ё {1, 2, ...}.

Тогда функция Fnm удовлетворяет условиям

\Fnm{t, X, x ' ) \ ^ g ( t )

y ( t ,

x, x ' ) Πl X R 2; (2.9)

lim Fnm(t, X, х') = F (t, X, x')

V {t, x, x')e=

П-*oo

(2.10)

œ {(*, X, x') :t<=I, am{t)^xs^$m{t), x'<=R).

Общеизвестно (см., например, теорему 1.1 главы

IV),

что краевая задача

x" = Fnn(i, x, x'), x (п) =А,

х(Ъ)=В

(2.11)

Ит (О

tlnm(0 «£ßm(0

V ^ / .

(2.12)

Из построений и условия 2 имеем

Fnm(t,

am(t),a'm(t))=Fn (t,

am(t), a'(t)) =

= F{t, am(t),

a'(t)) = f(t, a(t) ,

a'(t)) ^ a " m(t)

p ^ t ^ I .

Аналогично доказывается, что

ß " m ( 0

Fпт( t, ßm ( 0 ,

ß 'm (O )

PVtŒl.

Допустим теперь, что неравенство (2.12)

неверно.

Пусть, например, t 0Œ l такое, что

am(^o) — U n m ( t 0) = т а х (а т {1) - u

n m ( t ) ) > 0.

Тогда

I

tçjŒi^CL, Ь), O.'rn{to)

U nm(^o) = 0,

кроме того, существует t i Œ ( t 0,

b ) , такое, что

Hm(^l) ~Unm{tl), Om(0

llnm( 0 > °

V*e=[f0, *i).

Далее, в силу соотношений

(a'm(t))'

Fпт{t, Hm(^),

t t f f l ( l ) )

t€=[tо,

^1] ,

{ll'nm {t) ) ' — Fnm{t,

Un m ( t ) , « Ш (І)) =

= Anm

Ct?n (0 » Wum (0 )

Р Ѵ ^ [^ 0Д і];

Ct mißо) = Ц nm(to)

из леммы 2.1 следует

a'm{t)^u'nm(t)

Ѵ ^ [^ о Д і].

что противоречит

предположению.

Если же t6Œ.

e ( f 0, /2(A)] такое, что

u'(t6)=v(to,

t6), u'(t)<v(t0, t)

у/ен[^0, t6),

x" = f(t,

х, х') ;

(3.1 )

Lix = 0,

Ь2х = 0,

(3.2)

где f ^ C a v ( I x R 2);

U, L2œ C(/?4).

Краевая задача

(3.1) —(3.2)

исследовалась

в работах

В. В. Гудкова [1]

и В. В.

Гудкова и А.

Я- Лепина

Определение

3.1. Будем

говорить,

что

функция

Li(zu

z2,

z3,

z4),

te { l,

2},

имеет

тип

монотонности

(от,-!,

сгі2,

(Тіз,

он)

на

множестве

T a R 4,

где о,j e

—L

имеет

тип монотонности (hi,

Х2, Аз, А4) на множе­

стве

Т.

В

случае T = R 4 будем

писать просто L e

ееМ (Хі,

Х2,

A3, А4).

нию: если X — решение краевой

задачи, то

для

а =

— ß = x, v = w — x' выполняются все условия теоремы.

Введем

ряд

обозначений.

Для

х,

y .I-^R

запись

х ^ у эквивалентна

записи x ( t ) ^ y ( t )

для

всех

tŒ.1.

Множество

решений

л: уравнения

(3.1),

удовлетворяю­

щих на интервале / оценке

ak(t) ^ x ( t )

sZßk(t), v(t,

t ) s ^ x ' ( t ) ^ w ( t ,

t),

обозначим через S k(f), а оценке

t),

(3.3)

a ( t ) ^ x ( t ) ^ ß ( t ) , v(t,

t ) ^ x ' ( t ) ^ w ( t ,

— через S(f). Множество решений x краевой задачи

(3.1)

— (3.2), удовлетворяющих оценке (3.3) на интер­

вале

I, обозначим через S(f, L u L2).

Положим, далее,

m (/)=m in{a'(f). ß'(/), v(t,

t),

w(t,

t)}\

M{t)=ma'x{a'(t), ß'{t),

v(t,

t),

w(t,

t)};

T = { ( z u z2, z3, z4) :a(a) ^ z ,s c ß (a ),

a (6)sSz2s^

sSiß(ö), m(a) s^z3s^M(a),

m ( b ) ^ Z i ^ M ( b ) } ,

разрешимости краевой

задачи

x"=f(t, x,

х'), LiX — 0, х(Ь)=В,

(3.4)