книги из ГПНТБ / Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
..pdfДоказательство. Пусть решение |
(хь |
хто) |
системы |
||
(2.1) |
удовлетворяет |
неравенствам |
для любых |
і<={1, ... |
|
..., |
m} и / е { 0......... |
&і}Цх^Нс^М . |
Тогда |
из |
условий |
1 и 3 следует
К (Пі)( 0 Ы Ы * , ^і(<)........
< Ф і ( Ш І " 1_1,ІІс, . . . . ІІх^-'Міс)
Ѵ»е{1, ..., m}, P V ^ / ,
a из неравенства (2.6) —
llx/”<_2)|lc ^ a (l|x (”i_1)|lc, M, t i i - k i - \ , t i i - k i - 2, b - a ) V ie { l, ..., m}.
Таким образом, все условия леммы 2 выполнены, следо
вательно, справедлива оценка шах ||xj"i-I) Hc<W. ■
І
Проверка условия 2 теоремы 1 представляет наиболь шую трудность при применении этой теоремы. Рассмот рим, как это условие может быть преобразовано для слу чая, когда
фг (t, |
Р; |
Nm) . |
..., Nm) = gip(/)фгр (Nî, ..., |
||
|
p=1 |
|
Теорема |
2.2. Пусть М е(0, оо), ki<={0, |
..., цг —2}, |
р,-е{1, 2, . ..} и функции gip<=L([)tyip : [0, oo)m->[0, оо),
где |
і=1, ..., пг, р = 1, ..., р,, удовлетворяют условиям |
||
1) |
функция фг{N\, ..., |
Nm) для любого Î œ {1, |
..., m) |
|
не убывает по Nj для любого / е { 1, ..., m}; |
|
|
2) |
найдется Nœ (0, оо), такое, что для любых |
(Nі, ... |
|
|
..., Afm)e [0 , oo)m |
из m a x N i ^ N следует, |
что су |
|
ществует /е{1, ..., |
ni), для которого |
|
p,j=5Nj~la(Nj, M, Hj — kj—l, nj — kj — 2, b—а) sg
^0 ,5 (ô —a)
и
P i
S GjP(Nj)tyjp(Nu . . . , N m) ^ 0 , b N h
P * = l
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gjp {Nj) =sup / gjP{x)dx\ |
|
||
|
|
|
|
(ù |
|
|
3) для любых |
(x\, ..., x {*m~l) ) e ^ r'1+'"+”m из оценки |
|||||
I Xi{i) I |
..., |
справедливой для любых Î œ {1, |
m} |
|||
и / е |
{0, |
ki}, следует |
|
|
||
|
|
|
\Ы>.хі..... |
|
|
|
< |
ï |
|
г«(0>ЫК|”‘'"1..... |
|
|
|
|
P= 1 |
|
|
|
|
|
почти для всех t ^ I и любого Іе{1, .... m}. |
|
|||||
Тогда для любого решения (хі, |
xm) системы (2.1) |
|||||
из априорной оценки Нх^Ис^-М, справедливой для лю
бых г е (1, ..., nî) и / е {О, |
..., kt}, следует оценка |
|
11*{п‘_1)Нс<ЛГ |
yiŒ{\, |
m}. |
Доказательство. Справедливость условия 1 теоремы 1 очевидна. Остается проверить справедливость условия 2 теоремы 1. Для этого достаточно показать, что из усло вия 2 следует условие 2 теоремы 1.
Действительно, неравенство
|
sup |
Г і|зДт, N u ... , Nm)dxs^0,5Nj |
|||
|
|
|
І, |
|
|
следует из |
|
|
|
|
|
|
|
|
sup / 'фДтДь ..., |
Nm)dx = |
|
|
|
|
Oj h |
|
|
= |
Pi |
|
. |
|
Nm) = |
£ |
supJ gjp(x)dx-\pjp(Nu ..., |
||||
|
p=i |
|
а, ш |
|
|
= |
Pi |
GjP (A^j)ofjj-p (A/-,, ..., |
Nm) ^0 ,5 N }. Я |
||
I |
|||||
P =I |
|
|
|
|
|
Теорема |
2.3. |
Пусть М е(0, |
oo), |
0, ..., «і —2}, |
|
9 - 383
Р і ^ { 1, |
2, |
...}, у'ір, y"ipŒ(0, оо), ßipe [ 0 , оо), |
агр;іе [0 , схэ) |
и функции giPŒL(I)tyip : [0, oo)m-^[0, оо), |
|
где і, k =\ , ..., |
от, р —1, ..., pi, удовлетворяют условиям |
|
1) функция tyiP(Nu ... , Nm) для любых Îœ.{ I , . . . , m}, PiŒ{ 1 , 2, ...} и p e { 1 , pi} не убывает no Nj для любых jŒ {1, ..., от};
2) |
для |
любых |
t'<={l, |
от}, |
ре{1, |
... , |
pi) и |
||
|
N<=(О, оо) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup f g i p ( x ) d t = G i P ( N i ) ^ y ' i p N ' fl^ , |
|
||||||
|
|
öj ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi = 5 N r 1a(Mi, M, |
Пі — ki —l, Пі — ki —2, |
b —a); |
||||||
3) |
для любых іе{1, |
..., от}, ре{1, |
..., pi) и |
(Nu ..., |
|||||
|
. . . , N m)f=[0, |
°o)™ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
■4>ip(W1, •••. Nm)sZy"ip П |
max{l, N |
^ k}\ |
||||||
|
|
|
|
|
fe=l |
|
|
|
|
4) |
для любых (qu ..., qm) e |
{1, |
..., |
pi) X ... |
|
||||
|
... |
X{1, ..., |
Pm} |
система неравенств |
|
|
|||
m
Z «■iqikUk'S£{l + $iqi )Ui И Иі^О,
acte t = l, ..., от, имеет единственное решение, тож дественно равное нулю;
5) для любых |
(хі, |
..., x (™m~l) ) œ R ”і+-+п™ из оценки |
|
\хі^ \ < М , |
справедливой для любых Î œ {1, ..., от} |
||
и /^{0, |
..., |
ki}, |
следует |
|
I hit, |
х и ..., ^ п” _1)) | ^ |
|
p = |
i |
|
|
почти для всех tŒl и любого i-Œ{1, ..., от}.
Тогда существует УѴе(0, оо), такое, что для любого решения (хь ..., хт) системы (2.1) из априорной оценки
|
справедливой для любых іе { 1 ........ni} |
и / е { 0, |
ki), следует \\х(^ ~ 1)\\с<М |
Ѵ»е{1, ..., |
m}. |
Доказательство. Если мы покажем, что условие 2 тео ремы 2 выполняется, то доказываемая теорема будет следовать из теоремы 2.
Для справедливости условия 2 теоремы 2 достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
6) 3 W e (0, оо) |
у ( Ni , |
..., N m ) е |
[0, |
оо)™«з max jV;^ |
|
следует, |
что |
з /е { 1 , |
|
ш}, для |
І |
|
которого |
||||
p,j< 0 ,5 (b -a) |
и ѵре={1....,р-і} |
GjP{N |
ъ ... |
||
.... Wm)*S0,5pr Wi. |
|
|
|
|
|
Покажем, что из неравенства |
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
П шах{1, N ^ T h j ^ y . pM.l+^ip, |
|
||||
П=\ |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
УіР={2ріЧ'іРЧ"зр)-1, |
|
|
||
следует неравенство |
|
|
|
|
|
G j P { N , ) ^ P ( N u |
•••> WTO) ^0,5/т,- W j. |
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
G j p ( N j ) ^ j p ( N i , ..., N m) |
і р У ipNj ^lP X |
||||
X f l max{l, W“^ Ä} ^ y ,3-pY"jpYipW“ ßipNj+ß^ = 0,5/>г%. k=1
Таким образом, условие 6 будет выполняться, если выполняется условие
7) Е W e (0, оо) v (W b ..., Wm) е |
[0, оо)™ из шах W*^ |
^ W следует, что 3 /е{1 , |
І |
..., m}p,j^0,5(b —a) |
|
и Ѵ Ре{1, .... pj} |
|
m
P] max{l, W“-'pA} ^YjpWj+ jî’ .
k=l
Если мы покажем, что из отрицания условия 7 следует отрицание условия 4, то это завершит доказательство.
Пусть справедливо отрицание условия 7:
8) у М=(0, оо) |
з |
(іѴь |
Мт )е=[0, oo)m, max N ^ N |
и выполняется |
|
І |
|
по крайней мере одно из условий |
|||
V / œ {1, .... |
т } р ;>0,5(& -0) или З Р ^ { 1 ........ р}), |
||
ЧТО |
|
|
|
т |
|
|
|
П тах{1, N ^ irh}>YjpN '+^ р. |
|||
k=i |
|
|
1 |
Выбирая последовательность N1положительных чисел, стремящихся к оо при 1-+оо, на основании условия 8 найдем последовательность (ЛѴ, ..., Nml), для которой справедливо следующее неравенство:
maxNil^sNl Ѵ ^ { 1 » 2 , ...}
І
и выполняется по крайней мере одно из условий:
р/>0,5(6 —а) у /е={1, •••, гп}
или з ре{1, ..., |
pj), что |
m |
|
П max{l, ЛГ'*'»>*}>Ѵір^!<І+Р,р)- |
|
к= \ |
1 |
Многократно переходя к подпоследовательностям, можно добиться справедливости следующих утвержде ний. (В дальнейшем будем считать, что уже исходная последовательность обладает этими свойствами.)
Множество индексов {1, ..., ш} можно разбить на два подмножества / і и /г, таких, что,
7IU/2={1, m), ЛП/2 = 0 , /2^ 0 ;
|
|
supAV<oo |
у I'œ / J; |
|
\imNil=oo |
|
I |
|
|
ѵ і ^ ^ и М і г>1 |
у (і, 0 |
е / гХ{1, 2, ...}; |
||
/—> оо |
|
|
|
|
3 (<7ь |
. . . , |
. . . , |
р і } Х . . . |
Х { 1 ......... pm} |
|
|
га |
|
|
V (/, / ) е / 2х { 1,2, ...} П т а х { 1 ,М ^ ^ } > у й . M /I+ß 19il
Мз последнего неравенства следует
'П ^ Ѵ > у Л Л / ,1+ІЧ ) V (/ ,/)Œ/2X{1,2, kŒIг
где Y = const>0, конкретный вид которой нас не инте ресует.
Логарифмируя последнее неравенство и деля на
NJ = шах \nNJ, 12
получим |
V i ^ h , |
Ѵ ^ 0 > 2 , |
...} |
|
|
|||
|
|
S |
а jg |
-ту-y + |
( 1+ ßjg ) п/, |
(2.7) |
||
|
|
k<=h |
1 |
JV* |
|
|
J |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnNJ |
|
|
||
|
|
|
Ukl= |
N J |
■ |
|
|
|
Учитывая нормировку u j, |
можно считать, что |
|
||||||
|
|
|
lim uJ=Uk |
y |
k ^ I 2. |
|
|
|
|
|
|
t-* o o |
|
|
|
|
|
Для |
uh |
справедливы |
соотношения |
Y ^^72 и |
||||
Z |
uk2>0- Переходя к пределу в (2.7), получим, |
|
||||||
k ^ i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z etjq kU-h^Z (1 + ßjq.) Uj |
Y / е / 2. |
|
||||
|
|
кі=І2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
Полагая Uj= 0 |
v i ^ h , |
получим |
|
|
||||
|
m |
etjq, к U-hï 3 (1 "b ß jq, ) Uj |
|
|
|
|||
|
X |
Y / |
O >• ■■>^0 > |
|
||||
|
fc=l |
J |
|
3 |
|
|
|
|
причем «j^ïO, что противоречит условию 4, так как m
Z «ь2>0. ■
к—1
§ 3. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ ДАННЫХ ЗАДАЧИ
В этом параграфе для краевых задач |
|
||
x'=fo(t, |
х), |
ф0(х) =0; |
(3.1) |
x'=f (t, |
х), |
Ф (х) =0, |
(3.2) |
где /о, f e C a rn (/X-Rn); Фо, Ф : АСn (I)-+Rn, приводятся условия, обеспечивающие близость решения краевых задач (3.1) и (3.2). Этот результат можно интерпретиро вать как непрерывную зависимость решения краевой задачи (3.1) от правой части уравнения и граничного условия.
Аналогичные результаты для более частных случаев имеются в работах Н. И. Васильева [1], Р. Гейнса [1], Ю. А. Клокова [1].
Обозначим через S(f, Ф) множество решений краевой задачи (3.2).
Теорема 3.1. Пусть х0 — единственное решение крае вой задачи (3.1), Ф 0 непрерывно, М е(0, оо) и множе ство правых частей и граничных условий краевой задачи
(3.2), |
обозначим |
его |
через |
А, таково, |
что |
для |
любых |
|||||
(/, Ô ) œ A и x ^ S( f , |
Ф ) |
справедлива |
априорная |
оценка |
||||||||
||*о — Х І І с ^ М . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда для любого ее(0 , оо) |
найдется |
ô e(0 , оо), |
||||||||||
такое, |
что для |
любых (/, Ф) œ A и x ^ S( f , |
Ф) справед |
|||||||||
ливо |
неравенство |
Цдго—х |Іс< е, если |
выполняется |
усло |
||||||||
вие Hfo(Cz) —/(f,z)|li<ô, |
||Ф0(г) —Ф(г) |ін<0 для любого |
|||||||||||
z<=B(xa, М) ={x:xŒ.ACn (I), |
||х0—х||с=^Л1}. |
|
|
|
||||||||
Доказательство. |
Предполагая |
противное, |
найдем |
|||||||||
е<=(0, |
оо), |
fh^ C a v n ( l x R n), |
Фk:ACn (I)-+Rn |
xkΠ|
||||||||
eS(fh, Фк), |
k =\ , 2, ..., |
такие, |
что |
||x0- x fe||c=s£.M, |
||||||||
ИМ*. |
xh) - f k(t, |
xk)\\i< k -\ |
||Ф0(*й) ІІк<&-1, |
|
ІІ*о- |
|||||||
—*ьІІс^8, k = \ , |
2, ... |
Последовательность xh |
|
равно |
||||||||
мерно ограничена. Равностепенная непрерывность выте кает из следующей оценки, справедливой для любых £е{1, 2, ...}, tiŒl и t2e=[tI, b]:
|
|
|
|
|
І2 |
|
|
|
|
|
\xh{ti)- X k(t2)] «S / |
\x'h(t)\dt = |
|
||||
|
І2 |
|
|
il |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= f |
\h((, |
xk(t))-fo(t, |
xh( t) )+f0(t, xk( t ) ) \ d t ^ |
|
|||
|
и |
|
|
|
|
«2 |
|
|
|
|
|
|
..., |
|
|
||
|
|
|
^ ( k ~ \ |
&-*) + |
f |
g(t)dt, |
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
t\ |
|
|
где |
g ^ L n(I) |
— функция, ограничивающая функцию |
||||||
|f0| |
в |
силу |
условия |
Каратеодори |
на множестве |
I X |
||
X [ - М, |
М]п. |
|
|
|
|
|
|
|
Без ограничения общности будем считать, что после довательность хк сходится к у. Для у очевидны свой
ства Іко—г/ІІс^М, Wxo — yWc'Szs.
Покажем, что у — решение краевой задачи (3.1). Из оценки (3.3) имеем
tl
\у(іі)~У(І2)\^ f g(t)dt il
для любых iiŒ l и t2Œ:[ti, й]. Следовательно, yŒACn(I). Далее
ІІФо(«/)ІІя= Hm \\Ф0{у) |
-Фо(хь) +Фо(^й) Нн^ |
k-+CO |
|
< lim ||Фо(г/) —Фо(*л) Нл+ Hm ||Ф0(хь) 1IR= 0. |
|
ft-v o o |
k —►со |
Поэтому Фо{у) =0. Из |
|
lim Ufo(/, y ) - f k (t , Xk) lli^ |
Hm ||f0(C y)~fo(t, *h)lli + |
+ lim Ufo(t, xh) - f k( t , Xk) lli =0
xh(t) - x h(a) = j f k(s, xk(s))ds
a
t
y(t) —У {a) = f fois, y(s))ds.
a
Следовательно, y — решение краевой задачи (3.1)
и у ф х о, что противоречит единственности решения крае вой задачи (3.1). ■
Приведем достаточные условия, показывающие не прерывную зависимость решения от правых частей для краевых задач, изученных в главе III, причем рассмот рим лишь простейшую краевую задачу
x"=fo(t, |
X, х'); |
|
|
|
х(а) — с , х (b) = d, |
^ ' |
|||
где /о^С аг"( I X R2n), |
с, d<=Rn. |
|
|
|
Наряду с краевой задачей (3.4) рассмотрим |
краевую |
|||
задачу |
|
|
|
|
x"=f(t, |
X, х'); |
, |
(3.5) |
|
, |
' |
,,, |
||
х(а) =с, х(Ь) =а, |
ѵ |
|||
где /е С агп (/Х Я2п).
Обозначим через S(f) множество решений краевой за дачи (3.5).
Т е о р е м а 3 . 2 . Пусть х0 — единственное решение крае вой задачи (3.4), М е ( 0, оо) и множество правых частей
краевой задачи (3.5), |
обозначим его через А, такое, что |
|||
для любых /е Л |
и |
X œ S (f) |
справедлива априорная |
|
оценка \\х0—*||C=^M. |
|
найдется б е (0, оо), та |
||
Тогда для любого е е (0, оо) |
||||
кое, что для любых fŒÀ и XŒS(f) |
справедливо нера |
|||
венство ||*о—х||с<е, если выполняется условие |
||||
ИМ*, х>x ' ) - f ( t , X, *')ІІн<б |
V (t, X, * ') е |
|||
е{(^, X, x'):t(=I, |
||*о(^) —*||я^Л4, |
\\x'Q(t) |
||
Справедливость этой теоремы следует из теоремы 3.1.
А л е к с е е в В. М.
1. Теорема об интегральном неравенстве и некоторые ее прило жения. — Математический сборник 68 (НО), 1965, 2, 251—273.
А р х и п о в |
Б. |
М., |
Х о х р я к о в |
А. Я. |
|
|
1. О задаче Штурма-Лиувилля нелинейного дифференциального |
||||||
уравнения второго порядка. — Дифференциальные уравнения, |
||||||
3, |
1967, 9, |
1484— 1494. |
J. W.) |
|
||
Б е б е р н е с |
Дж. |
(В е b е г n е s |
|
|||
1. А subfunction |
approach to a boundary value problem for ordinary |
|||||
differential equations. — Pacif. J. Math., |
13, 1963, 4, 1053— 1066 |
|||||
Б е б е р н е с |
Дж., |
Г е й н с P. ( B e b e r n e s |
J. W., G a i n e s R. E.) |
|||
1.Dependence on boundary data and generalized boundary value problem. — J. Diff. Equations, 4, 1968, 3, 359—368.
2.A generalized two-point boundary value problem. — Proc. Amer. Math. Soc., 19, 1968, 749—754.
Б е р н ш т е й н C. |
H. ( B e r n s t e i n S. N.) |
ordinaires du second |
1. Sur certaines |
équations différentielles |
|
ordre. — Cornpt. rend. Acad. sei. Paris, |
138, 1904, 950—951. |
|
2.Sur les équations du calcul des variations. — Ann. Ëc. norm., 29, 1912, 431—485.
3. |
Собрание |
сочинений, т. |
3, М., Изд-во АН СССР, 1960. |
|
В а с е р м а н |
Л. |
М., Л е п и н |
А. Я. |
|
1. |
Обобщенные условия Бернштейна для нелинейных систем |
|||
|
обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифферен |
|||
|
циальные уравнения, 5, |
1969, 6, 1107— 1113. |
||
В а с и л ь е в |
Н. И. |
|
||
1.Некоторые краевые задачи для системы двух дифференциаль ных уравнений первого порядка, I. — В кн.: Латвийский
математический ежегодник, 5. Рига, «Зинатне», 1969, 11—24.
2.Необходимые и достаточные условия существования решения некоторых краевых задач для системы двух дифференциаль
ных уравнений первого порядка. — В кн.: Латвийский мате
матический |
ежегодник, |
8. Рига, «Зинатне», 1970, 11—23. |
В а с и л ь е в Н. |
И., Л е п и н |
А. Я. |
1.Необходимые и достаточные условия существования решения краевой задачи для системы двух дифференциальных уравне ний первого порядка. — В кн.: Латвийский математический ежегодник, 7. Рига, «Зинатне», 1970, 25—34.