книги из ГПНТБ / Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений

приближений [55], суть которого в данном случае за­ ключается в следующем. Сначала с помощью моделиро­ вания при заданных граничных условиях определяется исходное распределение потенциала, например решает­ ся уравнение Лапласа; затем в этом поле рассчитыва­ ются траектории и вычисляется пространственный заряд, который моделируется на сетке сопротивлений то­ ками, вводимыми в узловые точки сетки. Эти токи «воз­ мущают» исходное распределение, что адекватно вли­ янию пространственного заряда в исследуемой элект­ роннооптической системе. Полученное распределение потенциала может рассматриваться как исходное для уточнения конфигурации электронного потока и плотно­ сти заряда в следующем приближении и т. д. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока результаты п и л+1-го приближений не сов­ падут с точностью до наперед заданной величины. При этом результат в силу единственности решения задачи о потенциале совпадает в пределах заданной погрешно­ сти с самосогласованным полем. В качестве критерия сходимости процесса последовательных приближений можно принять равенство в пределах заданной точно­ сти в п и /I—|—1 -м приближениях, например, потенциалов в узловых точках сетки, снимаемой с катода плотности тока или совпадение траекторий заряженных частиц. Строго говоря, каждый из этих критериев имеет одина­ ковую силу и предпочтение тому или иному из них да­ ется, в зависимости от того, какой из параметров важ­ но получить с максимально возможной точностью. Отсюда видно, что моделирование поля с учетом влия­ ния пространственного заряда является довольно трудо­ емкой задачей в связи с необходимостью использова­ ния метода последовательных приближений, предпо­ лагающего многократное повторение этапов расчета траекторий, вычисления и моделирования пространствен­ ного заряда и определения потенциала.

Результаты вычисления траекторий в каждом при­ ближении позволяют определить область существова­ ния пространственного заряда и выполнить в этой обла­

(1.6), вообще говоря, может быть решено численно ме­ тодом конечных разностей, но поскольку на данном

80

этапе расчета мы располагаем достаточно полным се­ мейством траекторий, целесообразно удовлетворить условию непрерывности другим способом, используя трубки тока. Построение трубок тока есть условное раз­ биение потока заряженных частиц на отдельные эле­ менты, несущие некоторые малые доли тока. В двумер­ ном плоском поле трубка тока ограничена двумя цилин­ дрическими поверхностями, дающими в сечении z = const траектории с начальными координатами А'0,ь г/о,! и х0<2, 1/о,2- В осесимметричных системах трубки тока

представляют собой тела вращения, которые в сечении плоскостью 0 = const дают линии, являющиеся траекто­ риями заряженных частиц на этой плоскости. С торцов трубка тока ограничена поверхностями входа в рассмат­ риваемый объем и выхода из него. Так как в двумерных плоских и осесимметричных системах в силу плоскопа­ раллельной и осевой симметрии все процессы можно изучать на плоскости х, у или г, z при фиксированных произвольных z0 или 0о, то трубка тока в этих случаях ограничена двумя соседними траекториями и контуром рассматриваемой области. Подразумевается, что труб­ ка тока заключает в себе множество других траекто­ рий, не выходящих за ее пределы. Из способа построе­ ния трубки тока следует, что в любом ее сечении вели­ чина электронного тока остается постоянной. Если известны величина тока в трубке и распределение по­ тенциала вдоль нее, то тем или иным способом можно найти распределение зарядов.

Рассмотрим метод трубок тока в приложении к вы­ числению пространственного заряда в электрсинооптических системах с плоскопараллельной или осевой сим­ метрией.

Разобьем электронный поток на поверхности входа в рассматриваемое пространство на «узкие» трубки то­ ка. Под «узкой» будем понимать такую трубку тока, по­ перечное сечение которой значительно меньше шага раз­ ностной сетки Д/г<С/г (рис. 3.1). Сосредоточим в началь­ ный момент времени в центре этой трубки весь заряд, пересекающий участок Д/г за единицу времени. Этот заряд может рассматриваться как «большая частица» [45, 47], уравнение движения которой совпадает с урав­ нением движения элементарной частицы, а трубка тока ввиду малости участков Д/г— как траектория этой «боль­

шой частицы». Если ток AU в трубке известен, то заряд на отрезке трубки тока длиной di в элементарном квад­ рате разностной сетки в окрестности узловой точки (Хк, ут) будет равен

hqi = M iti,

Рис. 3.1. Представление потока заряженных частиц сис­ темой «узких» трубок тока

тарной ячейке разностной сетки, равен сумме зарядов, внесенных всеми трубками тока, проходящими через данную ячейку,

вычислено и время движения частицы в элементарной ячейке разностной сетки. Таким образом, зная величину тока в трубке, легко вычислить величину заряда в каж­ дом элементарном объеме в окрестности данной узло­ вой точки в процессе расчета электронных траекторий,

82

а также рассчитать токи, моделирующие пространствен­ ный заряд в узловых точках сетки сопротивлении:

N

2 Д'А

Метод узких трубок тока прост и удобен, однако практически применим лишь при использовании боль­

ших ЭЦВМ, так как для вычисления заряда в ячейке разностной сетки с приемлемой точностью он предпола­ гает расчет большого числа траекторий.

Метод, не требующий расчета очень большого коли­ чества траекторий, основан на использовании так назы­ ваемых «широких» трубок тока. В отличие от «узкой» назовем «широкой» такую трубку тока, сечение которой соизмеримо с шагом сетки (рис. 3.2). Понятие «широ­ кой» трубки должно быть ограничено наряду с посто­ янством электронного тока также и требованием одно­ родной плотности тока в любом сечении трубки. Естест­ венно, что практически это требование может быть выдержано Лишь с той или иной степенью приближения. Вообще говоря, допустимая неоднородность плотности тока в сечениях трубок и предопределяет количество трубок тока, на которые разбивается поток заряженных

различно. Поскольку величина тока остается неизмен­

ты произвольного сечения трубки тока. Допуская воз­

ГО,it0,i

it (Г> Z) = /О,£

ri[i(r> z)

Если в произвольном сечении трубки известна скорость частицы, то, используя (1.8), можно определить плот­ ность заряда

где v — скорость частиц в данной точке.

Полученные выражения определяют дифференци­ альную плотность заряда. В пределах погрешности ко­ нечно-разностного метода допустимо предположение о том, что определенная таким образом плотность прост­ ранственного заряда есть средняя величина для элемен­ тарного объема, связанного с рассматриваемой узловой

84

точкой. Тогда величина заряда в этом объеме для плоской и осесимметричной квадратных сеток соответ­ ственно на единицу длины по г и на единицу угла в на­ правлении 0 определяется следующим образом:

Если происходит наложение трубок тока, то общий заряд в элементарном объеме равен сумме зарядов, вно­ симых каждой трубкой тока,

При моделировании полей электровакуумных прибо­ ров с учетом влияния пространственного заряда встре­ чаются два типа задач: с известной и неизвестной плот­ ностью тока на поверхности входа в исследуемое прост­ ранство или на катоде. Задачи первого типа чаще всего встречаются в тех случаях, когда отдельно рас­ сматривается область, в которую электронный поток входит уже предварительно сформированным, причем параметры потока (распределение плотности тока по поверхности входа, скорость частиц и т. д.) известны из решения задачи для области формирования. Так как область существования заряда, а также плотность его в исследуемом пространстве неизвестны, то моделиро­ вание выполняется методом последовательных прибли­ жений. При решении таких задач, как показал опыт, процесс последовательных приближений к искомому потенциалу сходится чаще всего с одной стороны, т. е. значение потенциала в узлах после каждого приближе­ ния, например, уменьшается, стремясь к искомому, но не переходит за его значение. Хотя с ростом количества приближений интервал изменения потенциала между двумя соседними приближениями уменьшается, но про­ цесс приближений сходится медленно.

В задачах второго типа предполагается наличие ис­ точников электронов с заданными условиями эмиссии. Как известно, для термоэмиттеров, работающих в ре­

85

жиме ограничения катодного тока пространственным зарядом, в случае пренебрежения начальными скоро­ стями это условие означает равенство нулю электри­ ческого поля иа катоде; токоотбор с катода при этом подчиняется закону «степени трех вторых». В резуль­ тате решения такой задачи одновременно с определе­ нием поля и траекторий должен быть также определен и ток эмиссии. Этот ток может быть вычислен по фор­ муле для диода (1.12), где в качестве анода с потенциа­ лом на можег быть выбрана ближайшая к катоду эквнпотенциаль, образующая вместе с катодом некоторый фиктивный диод. Так как потенциал выбранной эквипотенциали вначале неизвестен, то ток эмиссии тоже мо­ жет быть найден лишь в процессе последовательных приближений. Практически установлено, что более быстрая сходимость получается в том случае, если для каждого приближения величина тока с катода опреде­ ляется по потенциалу предыдущего приближения. При решении задач второго типа, как правило, наблюдается сходимость процесса последовательных приближений с двух сторон, т. е. искомый потенциал находится в «вил­ ке» между значениями потенциала двух соседних при­ ближений. Количество неизбежных при моделировании пространственного заряда последовательных приближе­ ний, необходимое для достижения сходимости, опреде­ ляется условиями конкретной задачи, требуемой точно­ стью результата и т. д. Уменьшить число приближений и снизить таким образом трудоемкость расчета элек­ троннооптических систем с пространственным зарядом можно с помощью различных искусственных приемов

испособов.

§2. МЕТОД СОПРОТИВЛЕНИЙ СТОКОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА НА СЕТКЕ

ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Остановимся более подробно на задачах второго ти­ па. Такие задачи типичны для электронных пушек, электронных ламп и т. д., когда рассматриваются обла­ сти формирования потока. Предположим, что началь­ ные скорости электронов на катоде равны нулю. Вооб­ ще говоря, это предположение имеет приближенный смысл. Однако в ряде практических случаев оно допу­

86

стимо и целесообразно для снижения трудоемкости мо­ делирования пространственного заряда. В частности, такая идеализация не вносит ощутимых ошибок при расчетах условий токопрохождеиия в электронных при­ борах с высокими напряжениями, когда начальные ско­ рости электронов малы по сравнению с приобретенны­ ми в ускоряющем поле уже на относительно малом рас­ стоянии от катода. Как упоминалось выше, при этих условиях величина тока с катода определяется по выра­ жению (1.12). Следует заметить, что плотность тока с

(широкой или узкой), причем соответствующие фиктив­ ные диоды, с помощью которых аппроксимируется прп-

где правая часть уравнения есть величина тока, выте­ кающего из узловой точки сетки сопротивлений,

торых специализированных сеточных моделях для решения задач электроники [80] задание токов (3.3), мо-

87

делирующих правую часть уравнения Пуассона, осуще­ ствляется от высоковольтных (по сравнению с приме­ няемыми для задания граничных условии) источников через высокоомные сопротивления R* (рис. 3.3). В та­ ком случае ток //,, т практически не зависит от измене­ ния потенциала в узлах сетки. Задание токов, модели­ рующих пространственный заряд, можно осуществить двояким путем: или применением большого числа ис­

: р

Рис. 3.3. Сетка сопротивлении с источником для задания тока в узловую точку

точников с регулируемыми напряжениями при постоян­ ных сопротивлениях R* или же источник может быть общим для всех узлов, но сопротивления R* должны регулироваться. Соответствующее значение потенциала источника при R* = const или величина R* при исполь­ зовании одного источника с потенциалом ми определя­ ется из равенства

(3.4)

88

Использование любого из указанных способов задания токов хотя и приводит в конечном итоге к искомому распределению потенциала, однако связано с необходи­ мостью выполнения большого числа последовательных приближений. Существенное ускорение сходимости по­ следовательных приближений для рассматриваемых здесь задач обеспечивает метод сопротивлений стоков. [2, 24, 78, 97], суть которого состоит в следующем. При нулевых начальных скоростях электронов пространст­ венный заряд не может существовать в областях с по­ тенциалом ниже, чем потенциал катода. В связи с этим в качестве источника для задания тока в узлы могут быть использованы потенциалы узловых точек сетки сопротивлений. Задача, таким образом, заключается в. выборе таких величин сопротивлений, которые при дан­ ном потенциале обеспечивали бы вытекание (сток) рас­

<7к,т

В частности, при расчете заряда в элементарных объ­ емах плоской сетки с квадратной ячейкой на основепостроеиия широких трубок тока с учетом (3.1) и (3.2) сопротивления стоков для узловых точек рассчитывают­

Моделирование пространственного заряда с по­ мощью сопротивлений стоков иллюстрирует схема на. рис. 3.4. Применение этого метода существенно упро­ щает модель, состоящую в данном случае только из пас­ сивных элементов (исключая источники для заданияграничных условий). Составные элементы модели ме­ нее всего подвержены влиянию изменений в окружаю­ щей среде, что повышает надежность и стабильность ееработы.

В упомянутом выше методе задания токов с по­ мощью дополнительных высоковольтных источников вы­

89)