книги из ГПНТБ / Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений

Дифференциальные уравнения движения электронов в электростатическом поле при скоростях, близких к ско­ рости света, учитывают изменение массы

Как показано в [10, 68], траектории релятивистских электронов с массой m = ain0 в поле потенциала ср совпа­ дают с траекториями иерелятивистских электронов с мас­ сой /«о в поле с эффективным потенциалом

Действительно, если в узловых точках создать распреде­ ление эффективного потенциала (2.25), то траектория релятивистского электрона может быть рассчитана так же, как и перелятпвистского. При этом следует иметь в виду, что эффективный потенциал ср* не является гармо­ нической функцией и, следовательно, невозможно полу­ чить его распределение внутри области, задавая его зна­ чение лишь па границе. Помимо задания потенциала и* на границе для получения с помощью сетки сопротивле­ ний распределения эффективного потенциала, необходи­ мо в каждую узловую точку задать дополнительные токи для получения равенства (2.25). Но эта операция доволь­ но трудоемкая и в ней пет необходимости при расчете траекторий релятивистских электронов. Достаточно на сетке сопротивлений получить распределение истинного потенциала ср и перевести его в эффективные значения по

(2.25) [70].

Введем понятие эффективной напряженности поля

Е* = — grad ср*,

60

компоненты которой по аналогии с (2.1) будут:

стского электрона преобразуются к виду

сРх а дф

dx*“ 2 дх

(2.27)

dhy а дф

dx*2 2 ду

Система уравнений (2.27) по своему виду аналогична (2.2). Решение ее в элементарном квадрате ABCD (см. рис. 2.1) при условии, что компоненты эффективной на­ пряженности в этом квадрате постоянны и определяются по (2.26), записывается в виде, аналогичном (2.3), (2.5) с заменой__истинного потенциала ф на эффективный ф*,

причем 'j/ф* соответствует начальной скорости в поле эф­ фективного потенциала и связан с ней соотношением

Траектория релятивистского электрона может быть вычислена также путем решения уравнения траектории в общем виде (2.13) с использованием распределения по­ тенциала (2.6) в прямоугольнике ABCD (см. рис. 2.2) при замене в (2.6) и (2.13) ф на ф* и выражения (2.14). Одна­ ко, чтобы снизить погрешность в определении эффектив­ ного потенциала внутри прямоугольника, возникающую из-за допущения о линейном изменении ф* на его сторо­ нах, целесообразно это допущение оставить для истинно­ го потенциала, а значение эффективного потенциала в прямоугольнике вычислять по (2.25), учитывая (2.6), т. е.

61

Ф* (*. У) = (X— хх) (у — y j К + (X — Xj) М + (у—ух) F +ср4+

-г - 6° . [(^ — JCi) (У — Уг) К -г (х — хг) М + {у—Уг) /Ч ср4]2.

2т0с2

На рис. 2.4 приведем пример численного расчета тра­ ектории релятивистского электрона (кривая 2) в уско­ ряющем однородном поле; точки на ней соответствуют значениям, полученным по теоретической формуле [68].

Рис. 2.4. Траектории электронов в однородном ускоряющем поле: 1 — нерелятнвнстского, 2 — релятивистского при потенциале в начальной точке 100 кВ, £ = 4 0 кВ/А, угол входа у=75°

Для сравнения показана траектория нерелятнвнстского электрона (кривая /).

Используя метод эффективного потенциала, можно рассчитать траектории релятивистских электронов в скрещенном электрическом и магнитном полях. Вводя

обозначение х'*~~^~^> приведем систему уравнений дви-

атп

жения (2.15) для случая релятивистских электронов к виду

Эта система аналогична (2.15), и решение ее записывает­ ся в виде, аналогичном (2.17) — (2.20).

62

Таким образом, процессы расчета траектории нереля­ тивистских и релятивистских электронов принципиально не отличаются, если известно распределение эффектив­ ного потенциала. Последний может быть рассчитан по значениям истинного потенциала, причем только в тех точках, которые необходимы для расчета траекторий.

§4. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ

БКОМБИНИРОВАННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЕ

СОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

Электроннооптнческие системы, в которых поля и потоки заряженных частиц симметричны относительно некоторой оси, получили наибольшее практическое при­ менение. С их помощью оказалось наиболее просто со­ здать электрические и магнитные линзы для фокусировки электронных пучков в электронных микроскопах, элек­ троннооптических преобразователях, электроннолуче­ вых трубках и т. д. Электромагнитные поля с осевой сим­ метрией широко применяются для формирования интен­ сивных высокоэиергетических электронных пучков в СВЧ-приборах, в электроннолучевых технологических установках для сварки, фрезерования, плавления и испа­ рения металлов и т. п. Для компенсации расталкивающих сил кулоновского взаимодействия между электронами потока с большой плотностью заряда часто применяется осесимметричное магнитное поле. Возникающее при этом азимутальное движение электронов, обусловленное как радиальной В г, так и осевой Bz компонентами магнитной индукции, при их определенном соотношении компенси­ рует расталкивающее действие пространственного заряда и центробежную силу.

Поведение электрона в комбинированном поле, сим­ метричном относительно оси г, описывается системой уравнений [21]

&_ At

( 2.28)

63

Трудность решения такой системы в элементарных функ­ циях очевидна. Обычно для этой цели используются мето­ ды экспериментального определения траекторий на элек­ тролитической ванне [9] или численные методы.

При дальнейшем рассмотрении этого вопроса будем исходить из того, что распределение потенциала электри­ ческого осесимметричного поля найдено с помощью осе­ симметричной сетки сопротивлений в дискретных точках на плоскости г, z, а созданное системой внешних источни­ ков магнитное поле по крайней мере в этих точках задано [29]. Рассмотрим общий релятивистский случай движения электрона в комбинированном поле. Вводя новую пере­ менную

и используя известные соотношения между компонентами вектора магнитной индукции и магнитным потоком ф [2 1 ]

Постоянная Сг для данной траектории определяется из на­

0* — приведенная угловая скорость электрона. Рассматривая

64

движение электрона в меридианной плоскости г, z, враща-

d9

ющеися относительно оси z с угловой скоростью ■— , и dx* ’

вводя эффективный потенциал (2.25), представим уравнения движения электрона в виде

Данная система уравнений аналогична системе (2.2). Следовательно, она описывает движение электрона в не­ котором потенциальном поле, характеризуемом эквива­ лентным потенциалом

Если распределение потенциала ф в дискретных точ­ ках области известно, то по (2.30) может быть вычислено распределение эквивалентного потенциала Ф* для каж­ дой траектории. В отличие от рассмотренных ранее слу­ чаев градиент эквивалентного потенциала в элементарной ячейке ABCD (рис. 2.5) может оказаться слишком боль­ шим, так как он растет с увеличением магнитного поля. Поэтому предположение о постоянстве компонент напря­ женности поля эквивалентного потенциала в квадрате ABCD может привести к грубым ошибкам. Чтобы избе­ жать их, поступим следующим образом. Разложим коор­ динату г траектории в ряд по степеням Дz, ограничиваясь членами второго порядка,

тенциал в узловых точках сетки предполагаются известны­ ми. Если А2 и соответствующее приращение координаты г малы, то можно считать, что на интервале Да величины

a ~

Рис. 2.5. К выводу формул расчета траектории

'зом можно определить величину эквивалентного потен­ циала Ф* в произвольной точке элементарного квадрата ABCD. Предположим, что компоненты градиента потен-

G6

циала ср в данном квадрате постоянны и определяются по (2.1). Тогда для потенциала в произвольной точке квад­ рата можно записать

С учетом (2.25), (2.30) и (2.36) запишем выражение для эквивалентного потенциала в произвольной точке квадрата

67

Из этого выражения определяются компоненты градиента

образом. Для расчета траектории в следующей ячейке

68.

необходимые для расчета траектории.

Подчеркнем еще раз, что при расчете траекторий изло­ женным способом интервал Az необходимо выбирать ма­ лым. Если в процессе расчета окажется, что при некото­ ром отклонении электрона в радиальном направлении эквивалентный потенциал получается отрицательным, то это свидетельствует о большой величине интервала Az.

§5. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ

ВНЕСТАЦИОНАРНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Задача расчета траекторий электронов в переменных во времени полях связана с рядом затруднений. Извест­ ные способы ее решения основаны на использовании ме­ тода электролитической ванны с автоматическим траектографом, представляющим собой динамическую модель

(59