книги из ГПНТБ / Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений

Как следует из уравнения Пуассона (1.5), при моде­ лировании электроннооптических систем произвольно могут быть заданы лишь три коэффициента подобия: два электрических и одни линейный. Покажем на некоторых примерах, что если в качестве произвольных выбрать коэффициенты подобия Л'ф, Кв и Kl, т о все получаемые на

модели величины, характеризующие параметры электрониооптическоп системы, определяются дачными тремя коэффициентами.

Аналогично (1.52) — (1.55) введем зависимые коэф­ фициенты подобия.

1.Коэффициент подобия электронного тока

2.Коэффициент подобия плотности пространственног

заряда

д- _ Рм

3. Коэффициент подобия плотности электронного тока

ir _ 1м К] i ■

4. Коэффициент подобия электрических емкостей

Кс = — •

с с

5. Коэффициент подобия поверхностной плотности за ряда

стицы

VM

V

40

Покажем, что через основные коэффициенты могут быть выражены все зависимые. Величина тока с катода в слу­ чае ограничения пространственным зарядом определяется по известному закону «степени трех вторых». Находя по этому закону токи в реальной системе и по результатам моделирования, а также используя (1.52), получим

т/3/2

к , = -^ 7 F = K f .

Аналогичным образом для коэффициентов подобия плот­ ности электронного тока и плотности пространственного заряда соответственно имеем:

К,?

К„

Кв '

Для остальных зависимых коэффициентов получим ана­ логичным образом

Kv = Kl'2, К, = - % . ка= K,fKL, Кс = Kl •

Аф

Если на заряженную частицу кроме электрического действует и магнитное поле, то при формулировке задачи для модели необходимо учесть, что форма траектории не изменится при изменении напряженности электрического

и магнитного полей соответственно в й и fa раз; форма траектории не изменится также при увеличении в b раз напряженности электрического поля и геометрических размеров системы при неизменной магнитной индукции В [65]. Учитывая это, получим, что для сохранения подо­

бия траекторий должно выполняться условие К(р/В 2K l =

= const.

Таким образом, в качестве независимых коэффициен­ тов подобия могут быть выбраны только три, а осталь­ ные являются зависимыми и однозначно определяются данными тремя. Заметим, что в качестве независимых мо­

41

гут быть выбраны другие коэффициенты, однако наибо­ лее просто задача для модели формулируется, когда не­ зависимыми выбраны коэффициенты Д'Ф, Кв и Кь-

§ 5. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НА СЕТКЕ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

При решении задач теории поля на модели из сетки омических сопротивлений возникают как принципиаль­ ная, так и приборная погрешности. Принципиальная по­ грешность включает в себя все факторы, связанные с дискретизацией исследуемой области:

а) отбрасывание производных высшего порядка при конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения поля;

б) замена непрерывной среды совокупностью элемен­ тарных объемов, в каждом из которых искомые величи­ ны тем или иным способом усредняются;

точках может быть получена методами интерполяции; г) возможность задания граничных условий только в точках пересечения границы с линиями разностной сетки. Вклад первого фактора во избежание громоздких вы­ ражений покажем на примере плоской квадратной сетки (рис. 1.10). Если учесть остаточные члены A2;t при под­ становке вторых производных в форме (1.17) в уравнение потенциала (1.5) для однородной среды, то получаем ко­

нечно-разностное выражение

представляет собой погрешность аппроксимации уравне­ ния (1.5) системой конечно-разностных уравнений.

42

Очевидным следствием из (1.57) является то, что для снижения погрешности аппроксимации необходимо при­ менять густые сетки, т. е. уменьшать шаг /г. Наиболее су­ щественный вклад в погрешность вносит член с четверты­ ми производными

которые выражаются через конечные разности, взятые непосредственно на той же разностной сетке:

д4ср 1

[Фй+2,тп + Фй-2,т — 4 (фЛ+1,т + ф й_1)т) + 64фЛ)Г

дх^ h‘l

Погрешность

можно рассматривать как «добавку» к правой части урав­

fk.i.

Рнс. 1.10. К аппроксимации производных четвертого по­ рядка

щей на сетке сопротивлений погрешности аппроксима­ ции. Однако установить ее непосредственную связью по­ грешностью окончательного результата довольно затруд­ нительно. Такая оценка возможна лишь для случаев, ког­ да известно аналитическое выражение потенциала, т. е.

43

полученное методом сеток решение можно непосредст­ венно сравнить с точным решением. Для оценки точности решения в общем случае применим метод Рунге [63], основанный па сравнении распределений потенциала щ,(х, у) н ф2/,(х, у), полученных соответственно при шаге сетки /г и 2/г. Если точное решение ср(х, у) представим как

Ф (•». У) = Ф/, (*. У) Н А (*> У)>

где ДЛ(л', у) —погрешность решения при шаге h, то

При всей простоте математической формулировки при­ ближенная оценка результата по (1.59) па практике до­ вольно трудоемка, так как требуется решать задачу дважды — с шагами h и 2Л. К тому же полученная таким образом оценка погрешности характеризует только кон­ кретную задачу; для другой задачи вся процедура долж­ на быть выполнена заново. Следует также заметить, что применить метод Рунге к сетке сопротивлений можно лишь при очень низкой приборной погрешности,

Как показано выше, универсальным путем снижения принципиальной погрешности является уменьшение шага разностной сетки. Ясно, что осуществление этого принци­ па независимо от того, решается ли задача численно или строится соответствующая сетка сопротивлений, ограни­ чено соображениями как экономичности, так и объема вычислений. К тому же уменьшение шага не всегда имеет смысл. Например, в случае, когда распределение потенци­ ала с хорошим приближением может быть представлено в виде полинома третьей степени от х и у, аппроксимация не будет зависеть от размера шага. Более целесообразно использовать «густую» сетку только для тех участков исследуемой области, где ожидаются высокие гра­ диенты, или же там, где желательно получить значения потенциала в более близко расположенных точках и с бо­ лее высокой точностью. Применительно к сетке сопротив­ лений этот метод получил название «электрической лупы» [14, 48, 59]. Пример такой «лупы» и один из способов ее «врезания» в плоскую квадратную сетку показан на рис. 1.11. Сетка «лупы» набрана из тех же номиналов со­ противлений, что и основная,т. е. «удельное сопротивле-

44

пне» сетки постоянно. Удобство применения «электриче­ ской лупы» состоит в том, что она может быть изготовле­ на отдельно п «врезана» в любое место основной сетки.

Несколько слов об усреднении диэлектрической про­ ницаемости при дискретизации неоднородной среды. В выражения (1.21) — (1-26) входят значения как е, так и ее производных по каждому из направлений х, у, z. Здесь также применимы конечно-разностные выражения производных от е, но, как уже отмечалось, в практических конструкциях электроннооптических систем речь может идти лишь о границе раздела между двумя однородными

4 5

средами с различными е, что на сетке сопротивлений лег­ ко реализуется (см. формулы (1.37), (1.38)). Поэтому по­ грешность, связанная с изменением е в пределах соседних элементарных объемов, по сути дела сводится к погреш­ ности задания границы раздела.

Суммарная приборная погрешность сетки сопротивле­ ний обусловлена в основном следующими факторами: отклонением величин сопротивлений сетки от расчетных (номинальных) значений и возможным уходом номиналов в связи с изменением условий окружающей среды и выде­ лением в них мощности при протекании токов; утечками по изоляционным материалам; неточным измерением по­ лученного на сетке сопротивлений распределения потен­ циала, а также неточным заданием питающих сетку на­ пряжений и токов и возможной нестабильностью источ­ ников питания.

Что касается погрешностей из-за нестабильности со­ противлений сетки, а также утечек, то вполне доступными техническими средствами они могут быть сведены к пре­ небрежимо малым значениям. Погрешность измерения не требует особого рассмотрения, гак как определяется классом измерительных приборов, хотя следует учиты­ вать такие моменты, как выбор метода измерений и вход­ ное сопротивление прибора.

рактер и описывается вероятностными величинами — ма­ тематическим ожиданием и рассеянием ошибки. Для одномерной и плоской квадратной сеток сопротивлений подробный анализ этой погрешности выполнен в работах [12, 13], основанных на теории точности электрических цепей. Практически важные выводы этого анализа за­ ключаются в том, что рассеяние ошибки уменьшается с

увеличением числа сопротивлений N как \ЦЫ, а для оценки собственной точности плоской сетки в качестве критерия предлагается применять максимальное значе­ ние относительной предельной ошибки

где (ДУ)тах — максимальная разность между потенциалами соседних узлов; Ут8х и Ут1п — соответственно максималь­

46

Г л а в а il

РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ПО ДИСКРЕТНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПОТЕНЦИАЛА

§1. РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

ВЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Определение траектории заряженных частиц является завершающим этапом расчета электрониооптмческих си­ стем без пространственного заряда. Если же рассматри­

плотности заряда и тока в области потока. Так как реше­ ние этой системы в данном случае осуществляется мето­ дом последовательных приближений, то траектории необ­ ходимо рассчитывать в каждом из приближений. В связи с этим выбор метода расчета траекторий, обеспечивающе­ го удовлетворительную точность результата при неболь­ ших затратах времени, имеет существенное значение.

Как отмечалось в предыдущей главе, при моделиро­ вании на сетке сопротивлений распределение потенциала получается в дискретном виде, а исследуемая область представляется совокупностью элементарных объемов (ячеек). Рассматриваемые ниже методы расчета траекто­ рий электронов, разработанные применительно к малым ЭЦВМ (типа «Промипь» и «Напри»), основаны на про­ слеживании переходов траектории от ячейки к ячейке, в каждой из которых решается уравнение движения (1.7) при заданных начальных условиях. Ясно, что для этого необходимо принять ту или иную гипотезу о законе рас­ пределения поля в элементарной ячейке.

Пусть в узлах разностной сетки на плоскости .v, у (или г, z) заданы значения потенциала (рис. 2.1). Для просто­ ты рассмотрим квадратную сетку с шагом /г [23].

4 8

Составляющие градиента потенциала в узловой точке (к, т) определим из (1.16):

Если сетка достаточно «густая», то с незначительной по­ грешностью можно допустить, что в квадрате АВ CD, в

х

Рис. 2.1. К выводу формул (2.3) и (2.5)

центре которого находится точка {к, т), составляющие градиента потенциала постоянны и определяются по (2.1). В этом случае уравнения движения нерелятивист­ ского электрона в электрическом поле, обладающем плоскопараллельиой симметрией,