книги из ГПНТБ / Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений

а <7, представляет собой заряд в элементе объема

означает среднюю плотность заряда в данном элементе объема.

Уравнение (1.20), являющееся конечно-разностной аппроксимацией дифференциального уравнения (1.11), может быть также получено путем применения теоремы Гаусса

(J) DrfS = q s

к элементарному объему, окружающему узел (k, т, п) . В этом легко убедиться, если выполнить интегрирование по граням этого элементарного объема, используя ап­ проксимацию первой производной потенциала для выра­ жения нормальной составляющей напряженности поля.

Возможность решения уравнения для потенциала в неоднородной среде на сетке омических сопротивлений основано на аналогии конечно-разностных уравнений и уравнений Кирхгофа для баланса токов в узле {к, т, п)

Из сравнения уравнений (1.27) и (1.20) видно, что элек­ трической моделью уравнения (1.20) является сетка, со­

20

противления которой пропорциональны соответствующим коэффициентам В (1,21) — (1,26);

и т. д., а потенциалы V и вводимый в узел ток h,m,n про­ порциональны соответственно потенциалам ф и заряду

Cjh,m ,n, T . С.

^Kqs-\h K,fl

Коэффициенты К <f, Кв > K q должны быть связаны соотно­ шением К if!Кв — К,г

Если область, соответствующая исследуемому про­ странству электроннооптической системы, покрыта гео­ метрической сеткой, отдельный элемент которой изобра­ жен на рис. 1.2, а, то для каждой узловой точки, включая граничные, должно быть записано уравнение вида (1.20). Следовательно, нахождение распределения потенциала на основе коиечно-разиостной аппроксимации сводится к составлению и решению системы линейных алгебраиче­ ских уравнений, число которых равно числу узловых то­ чек разностной сетки. Именно такой алгоритм обычно используется при решении задачи о распределении потен­ циала на ЭЦВЛ'1 [47, 105].

Рассмотрим сетку сопротивлений, собранную в соот­ ветствии с упомянутой пространственной разностной сет­ кой. Каждой узловой точке сетки сопротивлений соответ­ ствует уравнение (1.27). Если в точках на границах сетки сопротивлений заданы условия, пропорциональные усло­ виям на граничном контуре исследуемой системы, а в узловые точки (k, т, п), находящиеся в области, где имеется пространственный заряд, введены токи, пропор­ циональные величине заряда qu,m,n, то на сетке сопротив­ лений устанавливаются значения потенциала, пропорцио­ нальные искомым.

Для электроннооптических систем нехарактерно нали­ чие среды с непрерывно изменяющейся диэлектрической проницаемостью. Обычно рассматривается только ваку­ умный промежуток (e = eo = const). Однако, как уже упо­

миналось, иногда необходимо учитывать наличие в кон­ струкции электроннооптической системы деталей из мате­ риалов с высокой диэлектрической проницаемостью. В этом случае должна моделироваться кусочно-однород­ ная среда. Полагая в выражениях (1.21) — (1.26) е =

21

= const и выбирая шаги сетки постоянными в каждом из направлении

h-k — hk+1 = ■•• = hx,

К= An+1 = • • = hz>

получаем с учетом (1.28)

Этим уравнением, где р(х, у) означает плотность заряда, отнесенную к единице длины вдоль оси г, можно пользо-

22

ваться, в частности, при расчете всех элсктроннооптических систем с ленточными пучками, исключая области, где сказываются краевые эффекты. Конечно-разностная форма уравнения (1.31) не содержит членов, учитываю­ щих приращения в направлении г, и для прямоугольной разностной сетки имеет следующий вид:

a Qh,m представляет собой заряд,в элементарном объеме с площадью основания hxhv и высотой, равной единице длины по оси z.

Аналоговым устройством для решения конечно-разно­ стного уравнения (1.32) является плоская электрическая сетка, сопротивления которой пропорциональны величи­

Сравнивая (1.34) и (1.35), получаем

R J R v = h y h * .

Чаще всего на практике используют квадратные разност­ ные сетки. Вследствие равенства шагов такой сетки hx—

23

Такая сетка показана на рис. 1.3. Целесообразность при­ менения квадратных сеток вытекает, с одной стороны, из того, что они просты в изготовлении, а с другой — в свя­ зи со значительным упрощением вычислений, связанных

Рис. 1.3. Плоская сетка сопротивлении с квад­ ратной ячейкой

с использованием полученных на сетке данных о распре­ делении потенциала (расчет траекторий, построение пото­ ка заряженных частиц и т. п.).

Рассмотрим на примере квадратной сетки построение сетки омических сопротивлений для сред с различными значениями диэлектрической проницаемости. Если для области вакуумного промежутка набрана сетка из одина­ ковых сопротивлений Ro, то, согласно (1.36), для области диэлектрика с относительной проницаемостью ei сетка должна набираться из сопротивлений (рис. 1.4)

Ri = R q/^i -

Для вычисления сопротивлений на границе раздела в принципе можно воспользоваться формулами (1.33),

24

представляя в конечных разностях производные от е. Но

а

/

'

/ь

/

/

Рис. 1.4. Сетка сопротивлений для сред с раз­ личными значениями диэлектрической прони­ цаемости

25

где qii,m,n — заряд в элементарном объеме k h r2hzД0, свя­

Bn+1 = B n = hzfr0kh?r A0.

Уравнения (1.40) решаются иа сетке, сопротивления которой пропорциональны коэффициентам (1.41). Опре­ деленные затруднения вызывает расчет сопротивлений

Рис. 1.5. Цилиндрическая разностная сетка в сечениях 0=const (а) и 2 =const (б)

27

на оси г. Рассматривая выражения для В , видим, что в их числителях стоит высота элементарного объема, а в знаменателях — площадь основания. Если принять, что элементарный объем для приосевоп области представляет собой цилиндр радиуса Лг/2, то для оси получим

4К

^0,71 ~

G0n h r

где М — число интервалов разбиения сетки по азимуту: Д0 = 2л/М. Умножая коэффициенты В па коэффициент пропорциональности получаем значения сопротивле­ ний для сетки, построенной в цилиндрической системе координат. Такая сетка представлена па рис. 1.6 в проек­ циях, соответствующих разностной сетке рис. 1.5. Если через первое радиальное сопротивление

„К в М

выразить все остальные, то получим следующие значения для сопротивлений, соединяющих узел (k, т, п) с сосед­ ними:

28

В электронной оптике наиболее распространены осе­ симметричные системы, в которых потенциал не зависит от азимутальной координаты и описывается двумерным уравнением

Рис. 1.6. Цилиндрическая сетка сопротивлений в сечениях 0=const (а) и z —const (6)

29