книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра

8 2

где У/Н - фактор-пространство., определяющее собствен­ ную систему координат.

В качестве примера, возьмем переменные (3 .2 0 ) и пере­ йдем к по фактор-пространству ^ j .Действуя оператором W n - « ) , получаем:

Эта формула показывает, что в собственной системе коор­

динат ‘'выживает' лишь. , которая становится пере­

менной радиального типа.

Легко осуществить такой переход для переменных (4 .2 4 )

по отношению к фактор-пространству ^ , т.е. пе -

рейти к 'главным осям ' в П-1 -мерном пространстве век -

торов Якоби. Как и раньше, легко получаем, что

лись в п.З четвертого раздела, соответствуют декартоаые

индексы X, у , Z • Последнее выражение показывает,

что при проецировании с помошью о п ер а т о р а Т ^ ^ ) часть переменных (D? становится равной нулю, тогда как ос — тальные,-а именно девять переменных , заменяются извест­ ным.! функциями, зависящими от коллективных переменных

2, Мы уже вплотную подошли к задаче выделения в волно­ вой функции (2 .2 ) коллективных и внутренних переменных ядра и сейчас увидим, что она решается почти тривиальным образом. Подействуем на функцию (2 .2 ) единичным опера -

тором TR ( f n - l ) V A n - l ) и развернем тождество

“(Ч-п-i)TR(q,n-i)Ф ( Г/<^11 . . - ^п-Г’ СУ-

Реализуя оператор Т в & Ы ) через матрицу неко­

торого, вообще говоря, приводимого представления группы О [-[_•( , и используя обратный оператор для проецирования

по формуле (6 .1 0 ), получаем

?1 1 ■1•

( 6. 12)

= 2 ( Г |^ ) В г'г ( Ч П-1) 7

где

®в ( г ' Ц ) =

Входящие в (6 .1 3 ) матричные элементы м а т р и ц ы . з а -

вает, что набор коллективных функций получаем из набора исходных функций, заменяя в последних по (4 .1 0 ) перемен-

8 4

но, что значит "хорошие" операторы, о которых шла речь в п.1 второго раздела - это операторы компактной и, следо­

вательно, безусловно " хорошей" группы Ор-1 • Пока еще

не выяснено, что означает полнота набора функций (2 .2 ), но скоро и на этот вопрос будет дан однозначный ответ,

Формула (6 .1 2 ) еще неудовлетворительна в том отноше­

нии, что входящая в нее коллективная функция © зависит

от спиновых или спино-изосшшовых переменных ядра. Дей­ ствительно, аппарат ортогональных групп, приспособленный для изучения пространственных переменных никак не затра-

Г.ивает спиновых координат, поэтому в окончательной форму­ ле (6 .1 2 ) они и остались там, где были с самого начала, а

именно - в исходной волновой функции. Поскольку мы изу -

чаем пространственные степени свободы ядра, то исключить

переменные Q, можно лишь в самом начале при поста­

новке задачи. Такая возможность существует благодаря предложенной Е.Вигнером в тридцатых годах супермульти-

плетной схеме ^12^ .

щая пространственные переменные ядра,- такой смысл эта

протонно-нейтронного ядра ), либо спнио-изосшшовые (для нуклонного ядра). Если пользуемся услугами этих групп,

8 5

то в наборе квантовых чисел волновых функций необходимо выявить их неприводимые характеристики - схемы Юнга Д

иД ' .

Рассмотрим пространственную волновую функцию

и спиновую (или спино-изоспиновую) функцию

й ) > <бД5>

с более детализированными наборами квантовых чисел. В

нет необходимости более подробно останавливаться на ее свойствах, так как в дальнейшем речь пойдет лишь об орби1-

тальных функциях (6 .1 4 ). От набора их квантовых чисел

висимых друг от друга пространствах, поэтому полную ан~

86

тисимметрическую функцию ядра можно построить путем связываний с коэффициентами Клебша-Гордана симметрияес

и в итоге получаем полную антисимметрическую волновую функцию супермульплетной схемы:

16)

л *vb Ф

Вн(6 .1 6 ) нарочно пишется коэффициенты Клебша-Гордана

симметрической группы вместо обычно используемого мно­

коллективных переменных на пространственную функшпо

(6 .1 4 ). Техника проецирования из нее коллективных и вну­ тренних функций ничем не отличается от техники, нспользо-

87

ванной при выводе формул п.2 настоящего раздела, поэто­ му сразу выпишем окончательные выражения . Функцию . . (6 .1 4 ) можно разложить в виде

®(Л01М|$) =

Наличие в (6 .1 8 ) приближенных интегралов движения L

88

иМ позволяет выделить зависимость этой функции от углов Эйлера. Как и при выводе (6 .1 2 ), это осуществим,

развертывая тождество, получаемое действием на (6 ,1 8 )

льзуются в феноменологических коллективных моделях яд­ ра при разложении коллективной функции по матричным эле­

ментам матрицы D

Выражения (6 .1 2 ), (6 .1 3 ) в обшем случае и выражения

(6 .1 7 ), (6 .2 0 ), (6 .2 1 ) в случае супермультштлетной схе­

мы дают общее решение поставленной вп,1 второго раздела задачи выделения коллективных и внутренних функций ядра.

Действительно, по полному набору функций (6 .1 4 ) коллек­ тивные функции определяем с помощью (6 .2 0 ) и (6 .2 1 ).

9 0

®(ь;е;,и)=

где’замена переменных осуществлена с помощью (2 .1 9 ).

Коэффициенты С находим, вычисляя интеграл

о

Первое, на что необходимо обратить внимание в этом

(6 .2 1 ), поэтому заключаем, что набор квантовых чисел Aq

б разложении (6 .1 7 ) меньше набора Г ^ р , и, следователь­

но, вообще говоря, матрица неквадратична.

Второе —это отсутствие свойства ортогональности кол — лективных функций ядра,—что видно в нашем примере из интеграла перекрытия (6 .3 0 ). Отсутствие ортогональнос­ ти ведет к системе алгебраических уравнений (6 .2 2 ) ,ре­