книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра

■61

становится коллективными переменными ядра. Поэтому за­ ключаем, что для протонно-нейтронного ядра справедлива следующая теорема.

Теорема П. Не нарушая требований микроскопической

трансляционной инвариантности и антисимметричности волно

лективных переменных, 6 из которых имеют тот же смысл,

что и в теореме 1.

Во избежание излишней педантичности в формулировку

теоремы П не включены случаи Л^ = 1 и П2= 1,2. ,

и, кроме того, в ней не говорится о числе внутренних пере­ менных ядра.

Мы ответили на часть вопросов, поставленных в п.4

первого раздела. Обсуждение физического смысла введен­ ных переменных отложим до шестого раздела, а теперь ко­ ротко остановимся на тех общих математических идеях, ко­ торые нами эксплуатировались при изучении коллективных и внутренних переменных ядра.

(п. 3 предыдущего раздела) осуществлена интуитивно и по­ этому в какой-то степени искусственна. В действительнос­ ти это не так. Существует теория, составляющая раздел общей теории групп, называемая теорией индуцированных представлений, на основе которой и были получены резуль­ таты, изложенные в двух предыдущих разделах. Основы этой, в настоящее время интенсивно развиваемой теории

(подробнее см. напр. [ 7, 9, 10j ) были заложены несколь­ ко десятков лет тому назад. Не имея возможности в рамках этих лекций сколько-нибудь более подробно остановиться на этих вопросах, в этом разделе приведем лишь некоторые отрывочные сведения из теории индущтрованных представ­ лений, с целью познакомить читателя с теми общими мате­ матическими идеями, которые неожиданно оказались полез­ ными в теории ядра.

Начнем с простейшего примера. Хорошо известна фор­

мула

(5 .1 )

и мы заинтересованы в утилитарном ее использовании для решения различных физических задач, то надо знать функции,

образующие базисы неприводимых пространств и операторы

(обычно реализованные в виде матриц), действующие в этих

пространствах..Формула (5 .1 ) показывает, однако, что ба­ зисные функции выражаются через часть матричных элемен­

чен согласно (3 .1 6 ) - то матричные элементы операторов

• 64'.-

Легко проверить, что произведению операторов, определен­

что произведению операторов соответствует произведение

элементов группы. Таким образом, для операторов Т левого или правого сдвига

(5 .4 )

т ( 9 , ) Т ( 9 2) = т ( 3 , 9 2 ) ,

а это и означает, что они образуют операторное представ­

6 6

TR (9) . Попутно вспомним, что аналогичное требо­ вание полноты набора волновых функций по отношению к

операторам нам уже встречалась в п Д . второго раздела. .

2. Перейдем к еше более обшей задаче и будем гово—

рить о произвольной "хорошей" группе 9 и с помощью ее

подгруппы Н определим фактор-пространство

(3 .1 8 ) ;здесьу нас нет возможности более подробно оста­ новиться на вопросе, что же означает ‘"хорошая*'! группа,

но роди определенности, хотя это и необязательно,, чита­ тель под этим может понимать компактные группы; в слу­ чае некомпактных групп некоторые утверждения требуют уточнения или могут стать просто неверными.

Когда речь идет о произвольной группе Qj и ее фак­ тор-пространстве Q , все сказанное о формулах (5 .5 )- (5 .7 ) остается в силе, с той лишь разницей, что теперь

появляются дополнительные заботы о выборе фактор—про­

ными. С другой стороны, недопустимо пользоваться слиш­ ком "малым" фактор-пространством. Чтобы убедиться в этом, возьмем крайний случай Н — 9 , т,е.

67

Тогда формулы (5 .5 ) или (5 .6 ) генерируют лишь тривиаль­

ное единичное представление, отображающее все операторы

ний, в первую очередь, акцентирует вторую из этих причин,

определяющих вид операторов Т и дает конкретно реко­

мендации, каким образом выбрать переменные.функции F^ .

Этими общими идеями мы и воспользовались при получении результатов, описанных в предыдущих разделах.

3.Вместо того, чтобы говорить о функциях, заданных

на фактор-пространстве 9/н , задачи теории индуцирован­

ных представлений часто формулируются в терминах классов

ставление подгруппы Н . Эта формула показывает, что здесь речь идет о классе функций,- удобно факторизующихся на произведение двух множителей, первый из которых зави­ сит от элементов подгруппы, а второй - от элементов фак­ тор пространства.

Запишем основную формулу, генерирующую операторы

индуцированных представлений. Ради определенности рас­ смотрим,'например, операторы правого сдвига. Зафиксиру­

соответствия будут даны несколько ниже. Теперь формула

Это и есть основная формула, определяющая операторы пред­

ступенчато-треугольног о вида. Эти матрицы конструируют-

менты группы, подгруппы и фактор-пространства, заданные

с помощью соответствующих -мерных матриц, и

иCJ. на блоки, соответствующие этому разбиению. Мат­

рицы такой структуры состоят из диагональных, а также нижних и верхних (по отношению к диагональным) блоков.

них, в которых везде находятся нули. Эти матрицы и задают

''удобную' подгруппу Н . В матрицах Cj, заполнены

все нижние блоки, в диагональных ее блоках находятся еди­

Приведем простой пример. Пусть имеем разбиение

4" 3 + 2 числа Ъ - 9 . Тогда матричное разложение

(5 .1 1 ) имеет следующую структуру