книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра

4 2

где учтено то обстоятельство, что последняя строка матри­

тор-пространстве. Известны теоремы доказывающие,, для

"Определенного класса групп, существование и свойства ин­ вариантности меры на фактор-пространстве. В частности,

в случае компактных групп она всегда существует и явля­ ется право— и левоинвариантной мерой. Существование ин-

теграла (3 ,2 6 ) также далеко неочевидно, но когда, рабо­ тая с некомпактной группой, удается обеспечить его схо­ димость, эти усилия бывают вознаграждены многими содерж жательными результатами из теории специальных функций

(см ., напр.,, [ t J ).

4 5

Мы только что нашли явный вид функции,, с помощью

которых осуществляется замена пространственных перемен­ ных ядра, но пока не было приведено каких-либо конструк­ тивных утверждений о смысле этих новых переменных. По каким признакам можно "рассортировать’' микроскопичес­ кие переменные на коллективные и внутренние переменные ядра ? Можно ли такую Сортировку" произвести в наборе пе-

щем разделе описанной параметризацией фактор—пространст­ ва (4 .2 ), или необходимо придумать другую ее параметри­ зацию, более естественную для наших целей ? Чтобы понять,

что же означает естественная параметризация, необходимо с сперва дать ответ на первый из этих вопросов.

2. Начнем с определения коллективных микроскопи­ ческих переменных. Коллективными переменными будем на­ зывать те избранные переменные, которые, образно говоря,

могут существовать независимо от остальных переменных ядра. Этому определению, которое из-за его неопределен­ ности, не выдерживает никакой критики, можно придать стро гий смысл, если вспомнить, что причиной, по которой пере­ менные квантовой системы тождественных частиц перемеши­ ваются, является принцип Паули. Требования принципа Пау­ ли обеспечиваются с помощью операторов перестановки, т.е.

этому, независимо от остальных, могут существовать лишь те переменные, которые "не чувствуют" принципа Паули, т„е

т.е. переменные, являющиеся инвариантами.симметрической

Хотя эти определения являются математически стро­ гими, пользоваться ими следует лишь опираясь на условия

1 и 11, сформулированные в первом разделе. Действитель­

но, исходя например из Ъ переменных Х ^ . . X-j, г

всегда можно сконструировать Ъ функций, инвариантных

по отношению к преобразованиям группы и как будто

таким образом ввести соответствующие им коллективные

переменные ядра. Приведем пример такой конструкции для

f 2= X1X9 + X1X5 + X 2X5 г

=Х-j х2х3

и будем искать волновую функцию как функцию новых "кол— лективных" переменных нал функция, зависящая О'

скалярной функцией, поэтому такая конструкция исключает

47

возможность обеспечить принцип Паули, т.е. обеспечить требование 11„ Из этого примере видно, что число коллек­

тивных переменных должно быть строго ограничено. Иными словами, принцип Паули может быть обеспечен лишь с по­ мощью определенного числа внутренних переменных ядра, и

наша .задача состоит в отыскании их минимального набора,

причем минимальностью набора здесь понимается в том

■смысле, что дальнейшее его сужение ведет к невозможнос­ ти обеспечения принципа Паули.

Отыскание минимального набора внутренних перемен­ ных ядра пока отложим на будущее, а теперь более подроб­ но выясним роль симметрической группы при разделении пе­

ременных на коллективные и внутренние. Чтобы отыскать " ‘'реакцию" переменных на действие операторов симметричес-

кой группы Sf| , необходимо выяснить, каким образом эта группа вложена в ортогональную группу

Операторы симметрической группы переставляют одно-

нуклонные переменные , . , , Ъ^\ ■С помощью вы­

ражения (2 .1 ) можно найти преобразование координат Яко­

откуда следует что и элементы симметрической группьц9 ^

действуют лишь на нижние индексы’ Ъ векторов Я коби те— нерируя на базисе этих векторов неприводимое представле-

ранства на операцию отражения. Иными словами, симметри-

(2 .1 ). Это утверждение сокращенно обозначается следую­

Обратим внимание на тот факт, что ранг ортогональной грут-

пы на единицу меньше ранга симметрической группы, так

что Sn весьма плотно ‘'вставлена" в 0^ ^ . В в п.4

второго раздела был дан пример вложения симметрической

49

вкотором симметрическая группа ‘'вставлена4' в ортогональную ную группу менее плотно, по сравнению с (4 .5 ). Математи­

этот переход стал необходим из-за физического требования трансляционной инвариантности волновой функции ядра.

Теперь уже нутрудно сообразить, каким образом вло­

ществляющей вращение "нашего" трехмерного пространства)

Прямому произведению таких матриц соответствует прямое

50

( 4 . 3 )

означающую, что элемент ортогональной группы 03(гН )

сужается на прямое произведение элементов группы

ражения (см. п.4 второго раздела) требует использования лишь одного '■'представителя*' - одной численной матрицы с определителем, равным - 1.

3. Выпишем полную цепочку

и

(4 .9 )

и приступим к детализации формулы (4 .1 ). Мы выяснили,

что в этой формуле под фактор-пространством нельзя пони­ мать фактор-пространства (4 .2 ), лараметрнзировакного способом, описанным в п.2 предыдущего раздела; парамет­ ризация такого рода приспособлена для цепочки