книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра

^и ...Cj). и будем их называть соответственно коллек-

тивными и внутренними переменными ядра. Первоочередная наша задача - разумным способом определить функции (2 .3 )

3 о Идею замены переменных можно объяснить, если попытаться понять алгебраическую сущность всем привычной замены переменных, скажем, переходи от декартовых к по­ лярной или с-ферической системе координат. Возьмем, напри-

. мер, замену переменных

ведущий к далеко идущим обобщениям. С этой целью введем

Т (2)

оператор вращения I ^ ^ двумерного пространства и ре­ ализуем его в следующем матричном виде:

( 2 . 9 )

Внимательно посмотрим, что объединяет формулы .('2,6) и

(2 .9 ) и чем они различаются ?

Вобоих случаях замена переменных осуществляется

спомощью функций, которые находятся в определенной

строке матрицы представления ортогональной группы 0^

сЪ = 2, 3. В (2 .6 ) и (2 .9 ) была использована последняя

строка этой матрицы, но если для 'J, = 2 номер строки по существу не важен, то этого нельзя утвердить При 1,= 3;

матричные элементы в первых двух строках матрицы ( 2.8)

зависят от трех переменных, поэтому мы по необходимости вынуждены пользоваться ее третьей строкой. В чем сущ­ ность этой необходимости? Обратим внимание, что в (2 .9 )

двух новых операторов, которые пришлось ввести при пере­ ходе от вращения двумерного пространства к вращению трех­ мерного пространства. Иными словами, при замене перемен­ ных достаточно пользоваться лишь параметрами тех враще­ ний Т ., которые появляются при переходе от группы 0 ^

2 5

но можно считать,, что эта группа состоит лишь из одного единичного элемента, т.е. попросту говоря, ее нет вообще.

менные частиц, подчиняющихся определенной статистике.

При обеспечении перестановочных свойств функций, завися­ щих от этих переменных, надо воспользоваться оператором

21&

Перестановки являются внешними операциями по отношению

к операциям собственных вращений, и действие операторов

перестановки выходит за рамки алгебраического аппарата

ортогональных групп О/j . Поэтому желательно расши­

рить группу ортогональных преобразований, включая в нее не только операторы собственных вращений, но и операторы перестановки. Это расширение можно осуществить,, восполь­ зовавшись лишь одной численной ортогональной матрицей с определителем, равным — 1, так как произведение этого

"представителя1' и матриц собственных вращений,, из-за групповых свойств последних, исчерпывает и все веществен­ ные ортогональные матрицы несобственных вращений. В

качестве такого "представителя" возьмем диагональную матрицу

•28

так что оператор перестановки является 'внутренним' опе­ ратором полной ортогональной группы 0 ^ . В случае 'Ъ =3

имеем:

S = = { $ ;« 3, St s,} * { т ® т £ т £5е,т £ т Я

Обратим внимание на одно техническое и одно принци­

пиальное обстоятельства, связанные с расширением группы'

чаях говорят, что группа не является односвязанной и опре­ делена на нескольких (в нашем случае - двух) не связанных между собою листах. Алгебраическая связь между ними

'поддерживается' с помощью дискретных операторов отраже­ ния. В практических применениях операторы отражения вы-

29

ступают в качестве равноценных партнеров наряду с инфини­ тезимальными операторами, которые отвечают за все алге­ браические свойства лишь на одном избранном листе, содер­

жащем единичный элемент группы (подробности см. в [бЗ ).

5. Мы только, что. воспользовались термином 'ком — пактное множество', и теперь пора, хотя бы бегло, остано­ виться на этом исключительно важном понятии. Если не

гнаться за строгостью определения, то 'компактность груп­ пы ' следует понимать как ограниченность той области, в

которой принимает значения параметры, задающие элементы

элементы группы 0^ задаются параметрами,, заполня­

ющими в трехмерном пространстве прямоугольный паралле­ лепипед, имеющий конечный объем. Образно говоря, все па­ раметры компактного множества локализованы в некотором объеме пространства параметров .причем эта область ни в

одном направлении не уходит в бесконечность. Как уже тояь-

ко что говорилось, эта область может быть или небьггь од­ носвязной.

В качестве простого примера некомпактной группы

приведем группу движения плоскости, задаваемую преобра­

задающие группу, не локализованы, объем области их изме-'

нения бесконечен, и поэтому группа движения плоскости не­ компактна. Можно уменьшить число нелокализованных пара­

В этом отношении группа преобразования (2 .1 8 ) имеет

"сильное" крмпактное подмножество,, задаваемое парамет­

рами $ и и при работе с группами такого рода не

так уж трудно справиться с их нёкомпактностью; аналогич­ ная ситуация будет встречаться в дальнейшем при выделе­ нии коллективных и внутренних переменных ядра.

6. В дальнейшем нам еще придется сталкиваться с

просами некомпактности при выделении коллективных сте­ пеней свободы ядра, но теперь пора закончить рассмотре­ ние простейших примеров замены переменных. Расширение