книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра
.pdf
|
|
|
|
111 |
[3 2 ][2 1 ] |
, № |
1 , [31] fell , [2 1 2] [ 3 l ] , [ 2 2] [ 2 21 ц |
||
[ 5 1] [l “ ] |
. К этим произведениям еще необходимо добавить |
|||
и тривиальное произведение [4 4 ] [о ] . Далее этот список |
||||
нужно симметрнзировать, т.е. дополнить произведениями |
||||
Ш |
[43] |
,[2 ] |
[42] |
, [з ] [41] ,[2 l][3 2 ] , [3 l] [212] , |
М |
[5 l] |
k [0 ][4 4 ] |
, после него уже имеем все[цУ) и [ iOq], |
|
прямое произведение которых дают таблицу [4 4 ] . Нам ос — тал ось учесть то обстоятельство, что в (7 .2 8 ) суммирова ние ведется лишь по таким I/Dol ■ в характеристику которых входят лишь четные числа. В связи с этим в списке остают—
ся лит-; |
прямые произведения [4 2 ][2 ] |
, [4 ][4 ] , [2 ~ ][2 |
] , |
|
М [О] |
, [2] [42] и [О ] [4 4 ] и находим, что [(Д 1] в |
(7 .2 8 ) |
||
может принимать значения [4 2 ] , [4] |
, [2 2] , [4 4] |
, [ 2] |
и |
|
[ о ] , Теперь осталось учесть правила модификации, полный
перечень которых для нашей .задачи приведен в [8 ] на стр. 140. Эти правиле запрещают возможность появления таб -
лиц [42] . [22] и [44] , |
поэтому (теперь опять переходим |
к обозначению ( ГаУ ) ) |
остаются лишь СД -неприводимые |
представления (u)f) = (О ), (2 ), (4 ), т.е, квазимоменты Д = О, 2, 4. Размерности этих представлений известны и лег ко находим, что для нашего примера „ (7 ,2 ) содержатся 15 слагаемых.; то же самое число слагаемых, очевидно, пол/ - чается и с помощью канонического базиса (7 .2 5 ). В этом примере индекс повторения А оказался несущественным, но,
|
1 12 |
|
например,в случае |
Цо -представления (5 2 ) |
появля — |
ются квазимоменты |
<£ = 1, 2, 3, 4, 5 причем значение |
|
«£ =3 повторяется дважды. Пронумеровать базис квази |
||
момента =£ с помощью симметрических групп |
или S/+ |
|
нетрудно с помощью техники внутреннего плетизма, с кото рым читатель может познакомиться, например, в [в ! .
|
Анализ формулы (7 .2 8 ) |
дает возможность указать |
те 0 |
- неприводимые представления, в которых содер |
|
жится нулевой квазимомент |
. Общее правило таково: |
|
скалярный квазимомент допускается только такими 0П_^ -
представлениями (л) =■ (ul.j (jOg |
* в которых либо все числа |
|
,1-0^ - четны, либо все числа U^a^u^- нечетны; в по - |
||
следнем случае обязательно |
(jJ^ Ф0 . Это правило наряду с |
|
таблицами |
— представлений, допускаемых принципом |
|
Паули, позволяет легко найти все состояния с нулевым ква—
зимоментом для ядер с Г) .
1 13
8.Уравнение Шредингера для коллективных функций
икинематически простейшие коллективные функ
ции ядра
1. В предыдущем разделе мы обсудили некоторые свойства кинематически простейших внутренних волновых функций ядра и, в частности, выяснили, что они характери зуются определенной орбитальной схемой Юнга X и ее ба зисом. р, . Поэтому из них можно строить антисимметрич ные функции ядра. Согласно общей формуле (6 .1 6 ) имеем:
|
|
|
Г5 S Ms 1 |
|
Q) = |
|
|
|
|
||
= 1 Ф |
^ |
л |
н ^ |
н ) |
Ф |
( 5^ |Ма ) с Дх |
а .<8' 1) |
||||
В характеристике этой функции пока нет одного из важней |
|||||||||||
ших интегралов движения - общего момента ядра |
^ |
. Для |
|||||||||
его обеспечения умножим (8 .1 ) |
н а ]} |
(^ ji) |
и вослользуем- |
||||||||
ся коэффициентами Кяебша-Гордана группы |
п + |
: |
|
||||||||
U j |
|
|
|||||||||
Т | ) ( п |
о |
д |
А( L к S |
)r s 3 |
N j |
! ф |
п П |
S |
s |
Q |
) =: |
=Z А |
р |
>rsSМs\q^Q)D^M(8;)C^i |
|
• ” |
|
||||||
Функции (8 .2 ) дают полный набор функций для переменных
Возьмем теперь произвольный трансляционно-инвари- .
антный гамильтониан ядра
О, (8 .3 )
114
с помощью (4 .2 4 ) осуществим в нем замену переменных
и усредним его на базисе функций (8 .2 ) :
/с Ц п.4 9 ; ( 1 Ц % У Л \ У г ^ S')3
(8 .4 )
.+
* W W X K r s(L S )3 t V c U .,
Вьфажение (3 .4 ) дает систему дифференциальных уравне-
, |
Д х Ш tz) |
й |
ний в частных производных по переменным О о ®О |
. Эта |
|
система характеризуется точными интегралами движения,
сформулированными в условии П, поэтому она корректна в кинематическом отношении. Уравнения (8 .4 ) являются
микроскопическим аналогом уравнений Бора-Моттельсона. (Ю
Чтобы увидеть эту аналогию, необходимо от переменных (У ,
Л |
, |
0 |
^ |
перейти к новым переменным [2"] : |
|
|
|
|
2 |
/ (ипг"1 - |
|
|
|
|
- p 2p s i n j f |
|
|
|
|
|
£ |
[ 2 ( ^ j 2- ( ^ x))4- ( f ^ ) 2J =p * p c o s y y (8 .5 ) |
|
где |
(3 |
- |
глобальный радиус ядра ( 4 , 3 ) , а р - и |
~ МИК- |
|
роскоплческий аналог параметров, описывающих |
р ~ и ^ - |
||||
колебания поверхности ядра. Макроскопический ©налог пере
менной р - радиальные колебания плотности в модели
Бора-Моттелъсона —не рассматриваются. Легко найти связь параметров р - и Y с параметрами Cj. фактор-простран ства (4 .2 0 ). Постановка (4 .2 5 ) в (8 .5 ) с учетом (4 ,2 3 )
1 1 5
дает
^feim3j)'z[(s«ii3'2)i-(t:os^ f ] =f>si"ll
^ (c o s^ f-fs im j!,)1] = Jicos r
Система уравнений (8 .4 ) бесконечна, но в бесконеч
ность она "’уходит" лишь по одному квантовому числу t-D .
Действительно, фиксированное СО |
определяет наборы |
и |
|||
об J\. |
.В свою очередь, каждый Л |
задает конечный на - |
|
||
бор Ts |
и S |
, а для данного ^J- каждый |
S допускает конеч |
||
ный набор |
орбитальных моментов |
L |
. Поэтому реальной |
|
|
задачей является исследование системы (8 ,4 ) в диагональн ном но СО приближении. Система еще более упрощается,
если для начала довольствоваться гамильтонианом, не за висящим от спиновых и изоспиновых переменных. Такой га мильтониан реалистичен, если предположить, что схема Юнга является достаточно "хорошим" квантовым числом и рассматривать орбитальные состояния со схемами типа
^4 4 ... 4 ] ; в случае таких схем исчезает вклад от взаимо действии, зависящих от спиновых и изоспиновых перемен -
ных.
Орбитальные схемы Юнга такого типа встречаются и в тех случаях, когда в (8 .4 ) может принимать одно значение (см.п.4 предыдущего раздела). Все эти упроще ния ведут к тому, что система (8 .4 ) вырождается до одно-
го уравнения. Типичные примеры такого уравнения ветре -
П16 |
оА-О |
, в слу - |
чаются для магических ядер р) S >и |
и Ь |
чае которых свойства уравнения (8 .4 ) изучались в [1 7 ] .
Можно отыскать и другие ядра, в случае которых ис -
следование системы уравнений (8 .4 ) реалистично в смысле трудностей вычислительного характера. Разумеется, суще ствует отнюдь нетривиальная задача усреднения гамильто ниана на функциях (8 .2 ). Однако техника усреднения в на стоящее время хорошо разработана [4,5] и позволяет полу чить систему дифференциальных уравнений (8 .4 ) для мно -
гих ядер, содержащих до нескольких десятков нуклонов.
2. При выводе разложения (7 .2 ) из более общего раз
ложения (6 .1 7 ) мы воспользовались требованием кинема тической простоты по отношению к группе 0 п-•( , что дало возможность перейти от неопределенных внутренних волно
вых функций Зло,ГдЛ(Д к полностью определенным волно
вым функциям (7 .3 ). Разумеется, этот принцип можно при
менить и к другим группам, в частности, к группе .
С этой целью с помощью (4 ,2 5 ) 'заменим в функциях (7 .5 )
переменные |
(Э^) через (Э |
, подействуем оператором |
|
Щ |
Щ ) |
на (7 .5 ), и, как и при выводе (6 .1 2 ), развер |
|
нем |
соответствующее тождество. Имеем: |
||
© ( 5 ^ К | ? з ) = ^ © ( л | ? ) (Бй(г0ькы\>0( 5 ) - (8-7)
117
\
Матрицы .3 являются, вообще говоря, приводимыми матри |
|
цами представления группы 0 з ( п_^) |
, зависящими от пара |
метров фактор-пространства (4 .2 0 ), |
Как и в (6 .1 7 ), ис - |
пользование новой буквы Д в качестве индекса суммиро |
|
вания означает, что строки и столбцы матрицы 3 можно |
|
нумеровать различными способами. Требование кинемати |
|
ческой простоты по отношению к группе 0 з(п_^ означает, |
|
что будем говорить лишь о таких функциях(8 .7 ), для кото
рых матрица 3 |
дает Oa^n-'i) |
- |
неприводимое предста |
|||||
вление. Это значит, что набор Г0 |
заменяется через Г0Й § |
, |
||||||
где |
обозначает |
^ |
- неприводимое представление, |
|||||
& - |
индекс повторения |
L |
и об |
в £2 , a |
произ - |
|
||
вольный набор остальных характеристик. Базис Д |
зану |
|
||||||
меруем по-другому - вместо него будем писать Д Z2.Q |
, |
|||||||
где |
с^~0^п_^ - |
неприводимое представление и его базис, |
||||||
аД - остальные квантовые числа. В полной аналогии с
(7 .1 ) имеем
i W 5 2 | , r o£<$LkOJ\)0( f ) =
~ 6 (а г0)8 (й 'а ) 55lк со 90 ( | ) ?
поэтому (8 .7 ) приобретает вид
r0£dLK
@u) S)0
Г0 Ы ] |
D |
2 |
(8 .9 ) |
Щ |
5 T *,6 l K u )$ 0 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
1 1 8 |
|
|
|
Каковы правила отбора в последней сумме по Й |
^ |
? |
||||
Чтобы их найти, заменим в (7 .4 ) и (7 .2 ) Гр |
через |
Я.8 |
, |
|||
подставим (8 .9 ) в (7 .4 ), |
а полученное выражение - |
в (7 .4 ), |
||||
Тогда можно осуществить суммирование noS)°K |
и в итоге |
|
||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
SdOLn |
~ |
q + \ |
|
|
|
|
ТпЯбЬМ |
|
|
|
|
|
|
Ч : oCAfx |
|
|
|
(8.10) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Но теперь в (8 .1 0 ) |
|
|
.Я |
|
||
матричные элементы матрицы D |
за - |
|||||
|
|
Р-» |
р+ |
|
|
|
висят от параметров ^ П - ^ 5 , набор которых эквивален
тен параметрам фактор-пространства |
(4 .2 ), заданного на |
||||||
канонической цепочке (4 .1 0 ). Поэтому, |
не меняя индексов |
||||||
в (8 .1 0 ), можно перейти к новым переменным |
. Имеем |
||||||
../ Г0 Q.&LH ! |
. / Г о й ^ ь м I |
6 |
5 |
|
|||
т ! |
ШсСАЦ |
|
|
|
(8.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
® |
( £ ? h |
) D * |
( $ ) * |
|
|
л\ |
|
v - 7 ■ |
i i ? |
|
|||
Это>же разложение дает замену переменных (4 ,1 ), которая
осуществляется с помощью последней строки 3 ( П - 1 ) -мер—
. И |
) |
. Матричные элементы этой строки, оче |
|
ной матрицы ХР 4 |
|
||
видно, не зависят от параметров 9 группы |
, т.е. |
||
являются ее скалярными функциями. Поэтому |
|
||
|
|
|
( 8. 12) |
Повторяя в точности рассуждения, имевшие место при дока-
зательстве скалярности строк матрицы дз полу-
119
чаем, что входящие в (8 .1 1 ) матричные элементы матрицы
D |
являются |
~ скалярам по отношению х опе |
||
ратору левого сдвига |
Ф > ) _ . Следовательно, |
в (8 .1 1 ) |
|
|
есть лишь одно слагаемое с 52=0 , и формулы (8 .9 ) ,(8 .1 0 ) |
||||
и (8 .1 1 ) приобретают окончательный вид |
|
|
||
0 ( Г$ - и | |
W |
( ? ) , |
(в -' з ) |
|
|
| „s |
|
|
|
•!^ сосСЛр |
■1Рп-1 / ’ |
|
|
|
9|<j) Ф(й5ьна;оСА[1|^п.^ з)(8*14)
( d e ) |
' |
(г0п I? ) |
ь мшсСАр. |g (8) .1 5 ) |
|
В двух последних выражениях c l^ |
- размерность представ |
|||
ления £2 |
и, кроме того, как для параметров CJ |
^9^ ,так |
||
и для параметров |
Cj. введено обозначение |
|
||
^ a S L M t o r f X ^ ^ d sDf ^ lncooI Y • |
<8лв) |
|||
3. Пора осмыслить полученные результаты. По сравне
нию с предыдущим разделом, где функции, зависящие от пе- r-~J
ременных Q, остались неопределенными, а также и по срав- 0
нению с п.1 настоящего раздела, где было обсуждено уран-
1 2 0
нение Шредингера для отыскания этих функций, в предыду щем пункте, благодаря наложенному требованию кинемати ческой простоты по отношению к группе Оз(п-Н) . эти функ
ции были заменены элементами (8 .1 6 ) |
скалярной строки |
||
T|S2 |
. Этот результат, напоминающий связь (5 .1 ) |
||
матрицы JJ |
|||
шаровых функций с матрицами вращения |
D |
, весьма ти |
|
пичен для теории индуцированных представлений. Нетрудно найти и другие аналогичные примеры, встречающиеся в тео рии специальных функций. Например, приведенные в §4 п.1
гл.1Х [ 7] полиномы Гегенбауэра являются скалярными сто
лбцами матрицы 0 |
- неприводимого представления.Они, |
|
X |
разумеется, намного проще функций (8 .1 6 ), которые, во -
первых, составляют неприводимый базис ортогональной гру ппы с отражением и, во-вторых, характеризуются неканони ческим базисом цепочки (4 .9 ). Последнее обстоятельство очень затрудняет их построение. Несмотря на это, в насто ящее время существует детально разработанная техника расчета на базисе таких функций, и, в частности, развиты методы расчета, основанные на идее генеалогического разм ножения [1 8 ].
Функции (8 .1 6 ) дают полный базис, зависящий от всех
3 ( п -1 )-1 угловых переменных. С помощью этого базиса можно построить функции так называемого метода К-гармо-
ник (метода гиперсферических функций) [l9 ,2 0 ] . Сделать