книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра

101

при . П >

[ 2] . Следует обратить внимание, что в (7 .1 6 )

и (7 .1 7 )

переменные не разделяются, T.e.-CiX^ не может

быть записан в виде произведения d,X,o(x)

dX^(z)

Такой вид объема задает и определенный тип интегралов

по переменным

.

4 .

Интересно знать, как много членов содержится в раз­

ложении (7 .2 )

- от числа слагаемых зависит,

насколько

связаны между собою внутреннее и коллективное движение

нуклонов в ядре. В п.2 настоящего раздела уже было выяс -

нено, что промежуточную группу 9

можно выбрать по

своему усмотрению. В математическом отношении наиболее

проста группа

9 ~

0р_2

^ П -3

, ведущая к канони­

ческой цепочке

ОП-1 ^ ^П-2 ^ ^ Л-5 ^ О п - 4 ,

(7 .1 8 )

в случае которой вместо

удобно написать набор ц)шо ,

подразумевая, что 10 , Со1

и 0

—это неприводимые

представления групп 0^-2 >Op-3 # O n - соответственно .

Теперь,

когда цепочка (7 .1 1 ) полностью зафиксирована,

появилась возможность найти число слагаемых в разложе­

нии (7 .2 ). Напомним правила приведения на цепочке (7 .18),

прспособленные для нашей задачи. С этой целью сперва

выясним класс

Op_f

- неприводимых представлений,.

рядоченные наборы трех чисел [Ег^

E jl , где

Вз,

и Е^ + Е2+ Ез

одновременно характеризуют как

U 3 - , так и U n_.j

- неприводимые представления.

[ 4 ] ,

[31] ,[2 2 ] , [2 1 i] перечисляют неприводимые пред­

ставления как группы

l i j

так и группы l i n .содержа­

щиеся

~ неприводимом представлении [4 ] .

Нам важно, что"К^_-{

—неприводимые представления ха­

рактеризуются не более чем тремя целыми числами. Как

следствие этого, при приведении на цепочке

и пИ

=

О м

(7 .2 1 )

являются

- неприводимые представления

Ц )=

(С 0^си2 иОъ О . . . 0 )

(7 .2 2 )

ми условию

<5- 11)2

LUx,

„

Мы выяснили класс

Оу-р.j

—неприводимых представле —

ческой цепочке (7 .1 8 )

ортогональных групп, приобретают

следующий ввд. При приведении на первом звене цепочки

(7 .1 8 ) -

переходе от группы 0р_-|

к группе 0 п-2

- н е ­

обходимо найти все числа

и

, удовлетворяющие нера­

венствам

(7 .2 з )

Для приведения на втором звене - цепочке О г м = 0 „ . ,3 ДЛЯ

каждой пары U)j и

находим все числа Ujj

, удовлетворя­

ющие неравенствам

U)j ^

СО^ ^

иО<£ ,

(7 .2 4 )

Пары чисел

U )j

U>2

COz,

*>Z

(7 .2 5 )

и задает как

—неприводимое представление Ц)

так

и его базис

COS^CO^COg^ и

СО — (CD-f) ,

Только что приведенные правила без всяких изменений

справедливы при

Jl-'l У 5

. Для ортогональных групп

0 „ ч

o n - U

5

сигнатура (7 .2 2 ) с помощью так на­

зываемых правил модификации (см.напр. [8]

стр.139)

дол­

дем считать, что

П~1 > 5 . С помощью (7 .2 3 )

и (7 .2 4 ).

легко проверить, что одно слагаемое в (7 .2 2 )

содержится

лишь в случае представлений с сигнатурой.

U)

= ( LOf

U)^ LU< 0 . . . О) ,

(7 .2 6 )

где

=0 ,1 ,2 ,

. . . Теперь осталось посмотреть, в каких

как часто в разложении (7 .2 )

содержится лишь одно слага­

емое. Во всех состояниях нормальной четности для ядер с

5 ^ П " 16 имеются 38

- неприводимых представ» ■

1 06

лений, в числе которых лишь четыре раза (для ядер с

П =

7 Д 0 Д З ,1 6 ) встречаются представления типа (7 .2 6 ). Во

всех состояниях нормальной четности для ядер с 17- И -40

имеются около 600 0 состояний с различными Ор.-) -

иБр ~

неприводимыми характеристиками и между ними лишь в 34

случаях ( для ядер с [Д1б+3к где

к =1,2, ... ,8)

в

(7 .2 )

содержится одно слагаемое.

Таким образом, в подавляющем числе случаев даже ;

для простейших кннематически.корректных волновых функ­

ции з

(7 .2 ) имеется больше одного слагаемого, а это озна­

чает,

что, по крайней мере, из-за кинематических причин

напримету 0 ^

- неприводимое состояние (4 4 ) ядра Гу- .

С помощью (7 .2 3 ) и ’{7 .2 4 )

находим, что ъ этом случае

базис (7 .2 5 )

состоит аз 15

компонент. Много ли это пли

промежуточной группой

5 °

и, скажем, вместо (7 .1 1 )

взять базис цепочки

ОгИ ^

^3

+ ^П-Л ,

(7 .2 7 )

хмерного пространства. Для цепочки (7 .2 7 )

набор\)Qудоб­

но заменить н а б

о р о м

, где

(3

-

индекс повторения,

с£

- неприводимое представление группы 0 з, , которое

можно назвать, например, квазимоментом [4] , а ").[ - его

базис. Квантовые числа цепочки (7 .2 7 )

менее удобны р

математическом отношении, но зато, может быть, более

наглядны из-за появления квазимомента

X

•

Как зафиксировать базис. 9^

? Существует несколь­

ко способов его выборе.. Первый из них -

это введение обы­

чной проекции J H , задаваемой цепочкой

Q-,^ 0о° Но эта

возможность не единственная. Базис

,

например, может

быть .'задан с помощью цепочки

0 ^ —3

В г,

В

2 * подразу­

мевая при этом, что группа

S ^

переставляет векторы

—

—V

*—**

—^

J

*(V-| 1а ПРУта

Ь2векторы (Jn_2 и

. Такой ба-

группы

Sij. в ортогональную группу 0^ по цепочке (4 .5 ).

Мы уже знаем (см. п.2 четвертого раздела),

что в случае

выбора такого базиса элементы группы Sdj.

, переставляя

п е р е м е н н

ы е 11

» индуцируют преобразо-

ванне векторов Якоби^ ^

’Уп-1' ^ алее базис - i f - не­

приводимого представления фиксируется цепочкой S^~D ^2 ,

причем

S j

и Sg

соответственно переставляют вектора

\ - 2 Л ч > \

и

'Ь п •

лель с квантовым числом К в разложении (7 .4 ),

которое

представляет проекцию момента L в собственной

(по о т ­

тор-пространстве

•

Мы уже знаем, как перечислить слагаемые'в (7 ,2 ) в

как найти допускаемые значения квазимомента X

11индек­

са его повторения jb , задаваемые цепочкой (7 .

2 7 ). Зада­

нной в [10] , приспособленной для

•

скалярного

представления. Эта формула имеет следующий вид:

(с б )= ^ о б ([с б '][и ;0] - > [ и )])

(Ш ?)+

. . ,

(7 .2 8 )

гд е ^ д ]10 =°[0] , [2]

, [22] , [4]

, ...

об -

коэффициенты

разложения, а +...

обозначает слагаемые,

в которых нет

Ор ^

- скаляров.

Как пользоваться этой формулой? Пусть задано 0Л ^—не­

приводимое представление (Ш)

, например,

в случае

Г) =3

Орг

- представление (4 4 ). На маркировку этого пред -

ставления будем смотреть как на-таблицу Юнга [44"]

, обо­

дим все таблицы [Д У ]

и [Д 5о]

, внешнее произведение которых

дает таблицу [б )]

. Ь нашем примере перечень

\io'} и

[СОр] можно найти в таблице, приведенной в [8}

, стр. 275 .

Там имеются два столбца [4

j (один с верхним, а другой -