книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра
.pdf9 1
шение которой - матричные элементы матрицы J3 , явля
ются сложными и трудно обозримыми функциями внутренних переменных ядра. Поэтому, хотя результаты настоящего раздела в принципе и дают возможность выделить коллекти вную и внутреннюю функцию ядоа, практическое осуществле ние этого в случае произвольной исходной супермульткплет*-
ной функции может оказаться очень трудной задачей.
Отсутствие возможности сформулировать свойство ортогона льности в отдельности для функций (н) и £) также остава ляет чувство неудовлетворенности и показывает, что только что изложенная общая методика проецирования требует даль нейшего ее развития. Этим мы и займемся в следующих двух разделах настоящих лекций.
9 2
7. Кинематически простейшие внутренние волновые функции ядра
1. Если еще раз мысленно проследим весь пройденный
путь, то удедимся, что результаты п.4 предыдущего разде ла получены, опираясь лишь на два сформулированные в пер вом разделе требования кинематической корректности и,
кроме того, на предложение о супермультиплетной струк — туре волновой функции ядра. Все возможности, заложенные .
в условиях 1 и И, теперь уже исчерпаны и, если хотим про двинуться дальше, необходимо сформулировать новое требо вание, открывающее путь для дальнейшей детализации фор мул (6 .1 7 ) и (6 .2 1 ).
Существует необозримое множество супермультиплетных
функций (6 .1 4 ), удовлетворяющих требованию кинематичес
кой корректности. В их числе есть и собственные функции той части полного гамильтониана ядра, которая не зависит от спиновых и изоспиновых переменных. До тех пор, пока не изучаются решения соответствующего уравнения Шрединге— ра,—а в случае П - частичного ядра никто зт01ю не умеет делать, - во множестве функций (6 .1 4 ) разумно отыскать простейшие из них. При этом задача будет корректно сфор-
мулирована лишь тогда, когда будет указан критерий прос тоты. Алгебраический аппарат позволяет легко это сделать,
так как в теории представлений групп синонимом простоты является понятие неприводимости. Действительно,
9 3
является понятие неприводимости. Действительно, по опре делению неприводимая величина ( пространство, матрица,
оператор ) - это самая простая величина, не поддающаяся дальнейшему "раздроблению". Поэтому неприводимость яв ляется необходимым и достаточным кинематическим крите рием для отбора простейших из класса функций (6 .1 4 ).
Необходимо сразу оговориться, что требование кинемати ческой простоты в очень большой степени сужает класс га мильтонианов, собственные функции которых удовлетворяют этому критерию. В наших лекциях сужение класса рассмат риваемых гамильтонианов мы производим вторично: с само го начала речь шла о функциях произвольного, в том числе и точного гамильтониана ядра,а начиная с п.З предыдущего раздела рассматривались лишь функции гамильтониана, не зависящего от спинов^ях и изоспиновых переменных. Теперь
этот класс гамильтонианов сужается еще раз. Пока рано г о ворить какой именно тип гамильтонианов попадает под кате горию кинематически простейших, но несомненно, что они .
наверняка будут сильно отличаться от реалистического га мильтониана ядра.
Условимся называть супермультиплетные функции, удов— летворяюшие требованием 1, П и только что сформулирован ному критерию кинематической простоты, простейшими ки нематическими волновыми функциями и приступим к дальней
9 4
шей детализации результатов п.4 предыдущего раздела.
Критерий кинематической простоты может быть применен по отношению к преобразованиям любой группы. Вид форму**
лы (6 .1 7 ) подсказывает, что в первую очередь его необхо
димо применить к преобразованиям группы |
0 р_ -j |
. Дейст |
вительно, входящая в (6 .1 7 ) матрица 3 |
дает матричную |
|
реализацию оператора представления группы 0р_^ |
, - в |
|
этом можно сразу убедиться, если применить к функции
(6 .1 7 ) формулу (5 .2 7 ) или (5 .2 9 ). Потребуем, чтобы это представление было наиболее простым,т.е. неприводимым,
а это возможно лишь тогда, когда набор квантовых чисел Гр содержит характеристику неприводимых представлений
Шортогональной группы O^.-j . Симметрическая гру
ппа S g вложена в группу 0 П_^ по цепочке (4 .5 ), и для
характеристики полного базиса этой цепочки может понадо
биться индекс об , различающий одинаковые S р |
- не |
|
приводимые представления JI. |
, содержащиеся в |
- |
неприводимом представлении |
Ш . Поэтому критерий ки |
|
нематической простоты, примененный по отношению к груп
пе Ofj . j , означает, что в (6 .1 7 ) Гд следует заменить новым набором ГрСОсС , где Гд опять будет обозначать
произвольный набор остальных квантовых чисел. Набор Ар
также заменим через A qUI'iJ |
, где |
\)° |
-базис 0 П_^ - |
неприводимого представления |
UJ |
, a |
A q - опять об |
означает произвольный набор остальных квантовых чисел.
Но теперь по смыслу неприводимого представления
9 5
Но теперь по смыслу неприводимого представления
= e ( A 0 r0) 6 ( W |
^ ) D |
$ , * X[J c p , . , ) |
<7Д) |
|||
и вместо формулы (6 .1 7 ) |
имеем: |
|
|
|||
|
|
. . . , ? м ) = |
(7 .2 ) |
|||
где d ,n |
- размерность представления |
ИЗ . В (7 .2 ) |
||||
-U) |
|
|
|
|
|
|
введено обозначение |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
.3 ) |
Формулы (6 .2 0 ) |
и (6 .2 1 ) модифицируются лишь незначи |
|||||
тельно - |
в них |
Ад необходимо заменить через |
FqCO 0 : |
|||
® ( ш / |
м 1%] = Z © ( 5 * » |
кЦ №:>)с|^1(9д'),<7-4) |
||||
:= |
ф |
( |
■- , ^ . г 0, ^,0, |
Сравнение (7 .2 ) |
с (6 .1 7 ) показывает, какой огромный |
||
шаг в сторону конкретизации удалось сделать благодаря |
|||
критерию простоты: вместо неопределенных внутренних |
|||
функций ядра ^ |
теперь появились хорошо определенные |
||
функции (7 .3 ), |
зависящие от основного массива, а именно |
||
9 6
3 (n -З } переменных ядра. Эти функции характеризуются
физическим набором квантовых чисел 0 6 Л |
, нумерируюших |
|
столбцы матрицы D |
и пока неопределенным набором 'О , |
|
о котором лишь известно, что он задает базис Ор-1 —непри
водимого представления бО . В (7 .2 ) |
полностью опреде |
ленным остается набор квантовых чисел |
Fq , характери |
зующий коллективную функцию ядра; к этой функции пока не применялся критерий кинематической простоты.
2. Сейчас появилась возможность доказать одно важное
свойство внутренних волновых функций (7 .2 ), позволяющее,
0 ° |
. |
в частности, многое сказать о смысле квантовых чисел V |
Начнем с выяснения трансформационных свойств переменных
(4 .2 4 ) |
по отношению к преобразованиям группы 0^-1 |
• |
|
||
Пусть |
“ произвольный элемент этой группы. Тогда, |
||||
действуя на (4 .2 4 ) |
оператором левого сдвига |
|
, |
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
Л Л Ч ) [ 0 ? \ т Л Л с г 1 |
|
|
|
|
|
Г (5; . , Ф п . о = |
|||
|
|
|
(7 .6 ) |
|
|
Возьмем теперь в (7 .6 ) в качестве элемента группы |
|
|
|||
э л е м е н т ы 9 е е |
подгруппы |
и обратим внима |
|||
ние, что в (7 .6 ) S |
обозначает лишь последние три строки |
||||
матрицы |
)(Ь - | ) |
^____________ ______ __________________ $ |
j |
||
X) |
Эти строки очевидно, не зависят от |
|
|||
|
|
|
„ |
|
П'Ч- |
В силу этой независимости в качестве |
/L можно взять |
|
|
||
|
|
|
п-^ |
|
|
97
единичный элемент, поэтому
^ |
° ( С |
) = П л Л е ) - 3 ( Л " ) , Г 7 л > |
|
где 8 |
- единичный элемент группы . .0 ^ .Восполь |
||
зовавшись (7 .7 ), |
для (7 .6 ) получаем, что |
||
|
|
|
(7 -8) |
Это важное свойство переменных |
показывает, что |
||
они являются инвариантами по отношению к левому сдвигу
на произвольный элемент подгруппы |
0р_ ^ . |
|
Подействуем теперь оператором Тц ( S n_ ^ ) |
на функцию |
|
(7 .2 ). С одной стороны, из-за (7 .8 ), |
функция |
(7 .2 ) явля*-' |
ется инвариантом этого оператора, а с другой стороны,его
действие в матрице |
заменяет |
|
на |
.По |
этому должно выполняться равенство |
|
|
||
.0) |
|
|
|
|
|
|
|
(7 .9 ) |
|
= |
( Ч п м ) , |
|
9п-Ч-- |
|
а это возможно лишь в том случае, |
когда для всех |
|||
л м . ( 5 ; Л )= § ( - ^ ) |
(7 .1 0 ) |
|||
|
|
|||
Что означает условие (7 .1 0 )? Чтобы выяснить е.го смысл,
фиксируем базис цепочкой
o n. ^ i ° ^ o n . k ,
С |
^ |
- произвольная группа, которая "помещается4' |
|
|
где д |
|
|
||
между группами |
и 0 р_Ц. . Выбор цепочки (7 .1 |
1 ) |
||
|
|
|
|
9 8 |
|
|
|
означает, что базис |
^ |
необходимо заменить новым бази |
|||||
сом, скажем 9°ц)р |
|
, где |
теперь уже означает хара |
||||
ктеристики группы |
9° |
, а СО0 и |
- 0П_^ - неприводи |
||||
мое представление и его базис. В новом базисе матричные |
|||||||
элементы (7 .1 0 ) диагональны по ^ |
и |
и не зависят от |
|||||
^° , поэтому (7 .1 0 ) |
приобретает такой вид: |
||||||
|
d “ °v, ( s ; V ) = 3 ( v i ) . |
||||||
Условие (7 .1 2 ) должно выполняться для всех элементов |
|||||||
|
, но это возможно лишь тогда, |
когда |
является0П ^ |
||||
- скалярным представлением. |
|
|
< |
||||
Мы доказали, что базис цепочки (7 .1 1 ) |
дает правила от |
||||||
бора в сумме ( 7 .2); |
нечто похожее нам уже встречалось в |
||||||
примере, приведенном в п.5 предыдущего раздела, где в |
|||||||
сумме (6 .2 6 ) обнаружено правило отбора по квантовому |
|||||||
числу |
с 1 . Теперь стало понятно, |
почему при обсуждении |
|||||
(6 .1 7 ) |
было особенно подчеркнуто отличие в нумерации |
||||||
строк и столбцов матрицы |
Д |
. Если возвратиться к более |
|||||
конкретной формуле (7 .2 ), |
то станет ясным, что способ ну |
||||||
мерации столбцов матрицы |
D |
с необходимостью задается |
|||||
принципом Паули, тогда как оптимальным базисом для строк этой матрицы служит базис цепочки (7 .1 1 ). Поэтому в
дальнейшем будем считать, что в (7 .2 )и |
(7 .3 ) 9 ° обоз-’ |
начает базис лишь этой цепочки, причем верхний индекс |
|
ноль буквы ^ указывает на свойства |
—скалярности |
9 9
этого базиса.
В математической литературе изученные специальные
функции, заданные на фактор-пространствах ортогональных
групп ( см.напр. 7 ) являются очень простыми по сравне
нию с функциями (7 .3 ). Поэтому были затрачены значитель ные усилия для подробного их изучения, вплоть до разра -
ботки рекуррентного метода построения ( подробности см.
в 5, 6 и в указанной в них литературе ). В настоящее
время свойства этих функций известны столь подробно, что
разложение (7 .2 ) можно применять для исследования кон
кретных ядер. Объем и предмет этих лекций, однако, не по зволяет сколько-нибудь подробно изложить общую теорию внутренних волновых функций (7 .3 ), поэтому ниже обсудим
лишь простейшие избранные вопросы.
3. |
Начнем со свойсть ортогональности и нормировки |
|
функций |
(и) к |
(5 . Исходя из глобальной теоремы ком - |
лактных групп, |
( см.напр. [Ю| ) опираясь на 0 ^ - с к а - |
|
лярность строк матрицы Г/^ и наличие группы отражения,
можно доказать следующее свойство их ортогональности
Напомним, что знак интеграла в (7 .1 3 ) одновременно обо—
1 0 0
значает и суммирование по элементам группы отражения.
Если исходные функции (7 .2 ) были нормированы и ортого нальны по всем их характеристикам, то (7 .1 3 ) и хорошо известное свойство ортогональности матричных элементов матрицы. D
(7 .1 4 )
=6(l'l )(5(k'k)8 ( m'm)
позволяет доказать следующее свойство ортогональности коллективных функций ядра:
Я (п ) |
(S)) = |
|
(7 .1 5 ) |
|
= & (г0'г0). |
Здесь dL= 2Ы |
, a i'f(n ) - квадрат нормирующего множи |
теля, появление которого связано с тем обстоятельством,
что, как обычно, при замене переменных (4 .2 4 ) новые пе
ременные покрывают область изменения старых переменных
лишь с точностью до многообразия |
меньшей размерности. |
||||
Элемент объема Ci in в (7 .1 5 ) имеет такой вид: |
|||||
с Ц , = I((Э(Х)) 2- ( ^ ]f |<Э(* У сЦ)СХ) |
|
|
(7 Д 6) |
||
при |
И =3 и |
|
|
|
|
) |
, „л |
,.л |
d |
« (?) |
(7 .1 7 ) |
|
( (Э(ху |
^ |
|
с!(Э |
|