книги из ГПНТБ / Ванагас, В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра

3

УДК 5 3 9 .1 4 + 5 3 9 .1 4 2

Методы теории представлений групп и выделение коллектив­ ных степеней свободы ядра.

В.В. Ванагас

Ан н о т а ц и я

Сформулированы требования кинематической коррект­

ности волновых функций ядра, заданных в координатном пред ставлекии. Дано строгое определение микроскопических кол­

выделении коллективных и внутренних степеней свободы яд­ ра. Изложен метод, основанный на теорию индуцированных представлений групп Ли, позволяющий проецировать коллек­ тивную и внутреннюю часть произвольной волновой функции ядра. Найдено максимально возможное число коллективных переменных ядра, введение которых совместимо с требовани­ ями кинематической корректности. Рассмотрены простейшие в кинематическом отношении внутренние волновые функции ядра и обсуждены получаемые с их помощью уравнения, яв­ ляющиеся микроскопическим аналогом уравнений коллектив­ ной модели Бора-Моттельсона. Путем усреднения по микро-

скогшческим аналогом переменных р и ■у - колеба-

Ш1й ядра осуществлен переход к уравнениям метода К-гар-

моник. Приведены кинематически простейшие коллективные функции ядра, выяснен смысл наименьших подпространств,

многочастичного пространства Гильберта, удовлетворяющих всем требованиям кинематической корректности (модельные функции унитарной и ортогональной схем) и доказана несов­ местимость оболочечной модели ядра с требованиями кине­ матической корректности.

лог коллективных переменных модели Бора-Моттельсона,

что позволило в координатном представлении корректно

сформулировать задачу о выделении коллективных степеней свободы ядра, а также часть результатов работ [4 -6 J , в

которых предложена и детализирована теория микроскопи­ ческого аналога коллективной модели Бора-Моттельсона и разработана ее расчетная техника. Последние работы по су­ ществу опираются на теорию индуцированных представлений групп Ли, поэтому при изложении основного материала в той или иной форме приходится коснуться ряда вопросов теории индуцированных представлений. Именно только коснуться,

так как из-за ограниченного объема этих лекций невозможно более подробное изложение этого, до сих пор большинством физиков - теоретиков неусвоенного раздела теории групп.

В ходе работы вид над этими лекциями автору стало :

ясно, что результаты вышеупомянутьос работ носят более общий характер и позволяют сформулировать кинематику микроскопической теории ядра в виде трех простых требова­ ний, два из которых очевидным образом вытекают из свойств гамильтониана ядра. В соответствии с этим построен и план

6

этих лекций. Изложение физической стороны предмета начи­ нается с наиболее общих формулировок и кончается посте­ пенной их детализацией. Путь изложения алгебраического ма­ териала противоположен, - общие положения сначала объяс­ няются на простых примерах. Поэтому, думается, чтение этого конспекта лекций не будет затруднительным и для тех читателей, знакомство которых с основами теории групп ограничивается группой вращения и симметрической группой.

Часть материала излагается в этих лекциях впервые. В

основном - это результаты, приведенные в первом разделе,

в п. 4 четвертого раздела и в заключении.‘ Список литерату­ ры не претендует на полноту. В него включены лишь осново полагающие работы или работы, на которые читатель отсы­ лается для более подробного изучения излагаемых или лишь бегло затронутых в тексте лекции вопросов.

1. Определение кинематически корректных волновых функций ядра и критический взгляд на крайние

ядерные модели

1. Изучению коллективных степеней свободы ядра п священо большое количество работ, разнообразных как по своему идейному содержанию, так и по используемому в них математическому аппарату. В этот весьма запутанный во­ прос можно попытаться внести некоторую ясность, если про­

7

классифицировать эти работы по используемой в них матема­ тической технике и с самого начала отделить работы, осно­ ванные на методе вторичного квантования, от работ, в кото­ рых рассматриваются волновые функции, заданные в коорди­ натном представлении. Так как речь идет о задачах, решае­ мых в рамках нерелятивистской квантовой механики, эти два способа описания в принципе должны быть эквивалентны, хо­ тя, как правило, весьма трудно или по ряду причин порою да­ же практически невозможно проследить взаимосвязь работ этих двух направлений. Это обстоятельство и оправдывает такое их разделение, касающееся скорее сложной техничес­ кой, чем принципиальной стороны вопросов выделения кол­ лективных степеней свободы ядра.

Эти замечания здесь приведены с целью подчеркнуть то обстоятельство,, что нами будет рассматриваться лишь вто­ рой способ описания, т.е. будем исследовать волновые функ­ ции ядра, заданные в координатном представлении. Сказанное служат, грубо говоря, на половину круг наших интересов.

Тем не менев , количество и разнообразие работ второго на­ правления еще остается столь большим, что здесь практичес­ ки невозможно дать сколько-нибудь удовлетворительней их обзор. В этом , однако нет и настоятельной необходимости,

так как предмет наших лекций требует посмотреть на пробле му выделения коллективных и внутренних степеней свободы

8

ядра только с определенной точки зрения,, которую можно сформулировать исходя из простых и естественных условий,

налагаемых на произвольную волновую функцию ядра.

2. Приступим к формулировке этих условий.

I

1, Микроскопичность. Если допустить, что наблюдаемые

свойства атомных ядер можно описать волновой функцией,

являющейся решением уравнения Шредингера, то эта функ­ ция должна быть микроскопической. Под этим здесь понима­ ется то простое обстоятельство, что волновая функция долж на зависеть от всех переменных ядра. Набор этих перемен­

ных составляют 3 П пространственные координаты, ска­

системе координат и, кроме того, либо спиновые перемен­ ные всех протонов и всех нейтронов, если эти частицы счи­ таются различными (в этом случае мы будем говорить о протонно—нейтронном ядре), либо спiihd- изоспиновые пере­ менные всех нуклонов, если предполагается, что протоны и нейтроны являются двумя состояниями частиц одного сор­ та - нуклонов (тогда будем говорить о нуклонном ядре).

ЗдеСь еще необходимо особо подчеркнуть, что мы требу­ ем , чтобы число пространственных переменных микроскопи­ ческой волновой функции ядра в точности равнялось 3 П ,

9

так как в случае меньшего числа переменных функция уже не будет полностью микроскопической, а в случае большего числа переменных она будет перегружена лишними перемен­ ными.

1 . Трансляционная инвариантность. Это условие требует,

чтобы волновая функция свободного от внешних воздействий атомного ядра выражалась в виде произведения плоской вол­ ны, описывающей движение центра масс ядра, и трансляцион-

но-инвариантнрй функции, описывающей внутренние свойства <

с вободного ядра,

Волновая функция может быть микроскопической, но не

трансляционно-инвариантной, или, наоборот, трансляционно­ инвариантной,, но не микроскопической. Разумеется, эти два условия можно объединить и говорить об микроскопичес­ кой трансляционной-инвариантной волновой функции свобод­ ного ядра.

1. Микроскопическая трансляционная инвариантность.

Обеспечить ее можно, выбрав набор Зп пространствен­

ных переменных ядра таким образом, чтобы выделить в этом

наборе 3 переменные, скажем, вектор (Э^ задающий

положение центра масс ядра по отношению к лабораторной

сляционно-инвариантные пространственные переменные ядра.

10

Если к этим переменным еще добавить спиновые или спино-

изосниновые переменные, то волновая функция в этих пере:--

мениых автоматически удовлетворяет условиям микроско­ пичности и трансляционной инвариантности. В случае свобод­ ного ядра она факторизуется на произведение

трансляционно—инвариантная волновая функция, в частности функция, являющаяся решением уравнения Шредингера для трансляционно-инвариантного гамильтониана, произвольным образом зависящего от пространственных, спиновых или спино-изоспиновых переменных ядер.

Г1. Точные интегралы движения. Известно, что гамильто­ ниан ядра с высокой степенью точности сохраняет общий мо—

н'ую четность, сорт и число частиц и, наконец, перестановоч­ ную (по всем переменным) симметрию волновой функции яд­ ра. Поэтому потребуем, чтобы волновая функция ядра" харак­ теризовалась этими пятью интегралами движения. При этом последнее требование здесь выступает в двух вариантах -

либо антисимметричность в отдельности по переменным протонов и нейтронов (для протонно-нейтронных ядер),, либо антисимметричность по переменным всех нуклонов (для нук­ лонных ядер). Обратим еще внимание на то обстоятельство,