книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва

Докажем, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно рассмотреть перемещение какой-либо одной из плоских фигур Si, S2, S3 и т. д. в ее плоскости.

Для доказательства проведем в теле прямые Л1]Л^ и M2N2, перпендикулярные направляющей плоскости. Пусть эти перпендикуляры пересекают плоские фигуры Sb S2 и S3, соот­ ветственно в точках А\, В\, С, и А2, В2, С2.

Так как прямые M\N\ и M2N2 оставаясь перпендикуляр­ ными направляющей плоскости, движутся параллельно са­ мим себе, т. е. поступательно, то точки А\, Ви Сх прямой ЛДУУ, имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения. То же самое можно сказать о точках Л2, В2, С2, лежащих на прямой

M2N2.

Таким образом, точкам одной плоской фигуры Ль Л2, ..., соответствуют точки Ви Д2, ... другой плоской фигуры, кото­ рые ведут себя кинематически одинаково. Поэтому нет необ­ ходимости изучать плоское движение всего твердого тела, а достаточно рассмотреть движение какой-либо одной из плос­ ких фигур Si, S2, ... в ее плоскости.

Следует учесть, что различные точки одной и той же плос­ кой фигуры ведут себя кинематически неодинаково, т. е. в об­ щем случае имеют разные траектории, скорости и ускорения.

§ 2. Задание плоско-параллельного движения твердого тела

Рассмотрим движение плоской фигуры в ее плоскости (черт. 41). Положение плоской фигуры в ее плоскости полно­ стью определяется положением любых двух точек (А и В), или, иначе, прямой АВ, проходящей через эти точки.

Для определения положения прямой АВ плоской фигуры рассмотрим ее движение относительно ОСО Oxyz. Свяжем не­ изменно с точкой А плоской фигуры ПСО Ax'y'z', которая пе­ ремещается поступательно относительно ОСО Oxyz.

60

При выбранных системах отсчета положение плоской фи­ гуры в любой момент времени определяется уравнениями

Ха — Ха (О

УА— Ул (О

? = г (*)

Написанные равенства являются уравнениями плоского движения твердого тела.

§ 3. Определение траектории любой точки подвижной плоской фигуры

Зададим движение плоской фигуры в ее плоскости (черт 42), т. е. пусть известными являются уравнения ее дви­ жения

х А = х А (О

УА = уА (О

? = ? (О

относительно О.С.О. и П.С.О.

Тогда положение произвольной точки М плоской фигуры определяется уравнениями:

х м = + г и -cos (з 4- а)

Ум = Уа -|- Гм sin (р г а)

Из написанных уравнений движения произвольной течки М плоской фигуры можно получить уравнение ее траектории, если исключить из них время t.

61

Черт. 42

Пример. Определить траекторию точки М звена АВ меха­ низма, изображенного на черт. 43, если cp = t2 рад, ОЛ = /Ш =

= а м, а= Р рад.

62

= 2 + 2 cos (? — а) = 2 + 2 cos <t2 — ^2) = 2 + 2 cos 0° =- 4.

Окончательно, уравнение траектории точки М звена АВ бу­ дет иметь вид:

Хм' + Умх = :± а 2

Траекторией точки М является окружность с центром в на­ чале координат и радиусом R= 2 а.

§ 4. Две теоремы о конечных перемещениях плоской фигуры в ее плоскости

пательного перемещения этой фигуры вместе с произвольной точкой (А), называемой полюсом. 2. Вращательного движе­ ния 'плоской фигуры вокруг полюса (А).

Доказательство-. Пусть плоская фигура занимает опреде­ ленное положение на плоскости (черт. 44).

Черт. 44

Конечное перемещение плоской фигуры из положения I

вположение II можно осуществить:

2.Поступательным перемещением АА \= ВВ’ прямой АВ

вположение А\В'\

2.Вращательным движением прямой АВ на угол ZB'AiB\= у вокруг точки А, называемой полюсом.

Вто же положение А\В\ плоскую фигуру можно перемес­ тить, выбрав за полюс точку В. При этом поступательное пе­ ремещение равно BBi—AA' и вращательное движение пред­

ставляет поворот прямой АВ на ZA\B\A'— y вокруг полю­ са В.

63

Следует учесть, что поступательное перемещение зависит от выбора полюса, так как АА, Ф ВВ\. Вращательное же дви­ жение плоской фигуры не зависит от выбора полюса, так как

^ В'АХВХ= ^ А'ВХАХ= ?•

Теорема II.Любое конечное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить одним лишь поворотом во­ круг некоторой точки, называемой центром конечного вра­ щения.

Доказательство. На черт. 45 изображены два положения I и II плоской фигуры.

Черт. 45

Для доказательства теоремы выполним следующие по­ строения. Соединим точки А и А и В и В\ отрезками прямых ААХи ВВХ\ из середин Ех и Е2 этих отрезков проведем Е ХМ _]_ АА 1 и E2N J_ ВВхдо их пересечения в точке Р. Соединим точ­ ки А и А х, В и Вх с точкой Р отрезками прямых. Рассмотрим построенные треугольники: АРВ и А ХРВХ. В этих треугольни­ ках РА—РАх и РВ = РВХпо построению, а АВ = А хВи как от­ резки прямых, соединяющие одинаковые точки плоской фи­ гуры.

Поэтому, вращая треугольник АРВ плоской фигуры в ее плоскости вокруг точки Р можно совместить всеми его сторо­ нами с треугольником А\РВХ.

Следовательно, плоскую фигуру АВ можно повернуть в ее плоскости вокруг одной и той же точки Р, называемой цент­ ром конечного вращения.

§ 5. Первый способ определения линейной скорости любой точки подвижной плоской фигуры

Первый способ определения линейной скорости любой точ­ ки подвижной плоской фигуры основан на теореме I о конеч­ ном перемещении плоской фигуры.

64

По этой теореме устанавливается связь между линейными скоростями двух точек плоской фигуры.

Пусть за малый промежуток времени At плоская фигура из положения АВ переместится в положение А\В\. За этот промежуток времени поступательная часть перемещения

плоской фигуры при выбранном полюсе А равна BB'=AAi =

= А Га",вращательное же движение плоской фигуры представ­ ляет собой ее поворот вокруг полюса А на бесконечно малый угол Z.B'AiBi=A<f. Из чертежа (46) видно, что

ВВХ= ВВ' + В' В,

или

А гв = ^ Г а ~\~В,в 1

Отсюда

Переходя к пределу при A t —* 0, будем иметь:

Vab— вращательная скорость точки В при вращении плос­ кой фигуры вокруг полюса А. По формуле Эйлера вращательная скорость точки В плоской фигуры равна

Vab = (UX AB ,

х. к. u) = u>z -k' , то w перпендикулярно плоской фигуре. Поэтому

Vab = м-АВ-sin 1 «7,Л АВ) — о)• А В • sin 90° — е>• AB.

Кроме того, из выражения Vab следует, что Vab -L АВ.

Итак, скорость любой точки плоской фигуры равна гео­ метрической сумме скорости полюса в поступательном дви­ жении плоской фигуры и вращательной скорости этой точки во вращении фигуры вокруг полюса.

и

Черт. 47

66

Пример. Для плоской фигуры, занимающей в данный мо­

рость плоской фигуры и направление Vb Определить модуль скорости точки В.

Решение. По первому способу определения линейной ско­ рости любой точки подвижной плоской фигуры

Vb — Va 4- Vав •

Из точки В строим _векторный треугольник, сторонами _кото-

рого являются VA , Vав X АВ и замыкающая сторона Vb - Первый способ применяется для графического определения

линейных скоростей точек подвижной плоской фигуры. Гра­ фический способ выражается в построении плана скоростей.

§ 6 . План скоростей

Планом скоростей подвижной плоскости фигуры называет­ ся диаграмма линейных скоростей ее точек, построенных из единого центра.

Пусть плоская фигура АВС в данный момент времени за­ нимает определенное положение на плоскости (черт. 48а).

Черт. 48а

Для этой фигуры известны линейная скорость Г л точки А и

направление линейной скорости Vb т о ч к и В.

Точку А плоской фигуры, скорость которой известна, выби­ раем за полюс.

Для построения плана скоростей плоскую фигуру вычер­ чиваем в выбранном масштабе (м/мм) длин.

Для графического определения линейной скорости точки В воспользуемся формулой:

Vв — VА-\- Vab ,

гдеУд — известная линейная скорость полюса А в поступа­ тельном движении плоской фигуры;

Vab— вращательная скорость точки В во вращении плоской фигуры АВС вокруг полюса А.

Вращательная скорость Vab точки В, в свою очередь, вы­ ражается формулой

Удв = о) X АВ ,

Vв = Уд + Уда

На плане скоростей, представленном на черт. 48 б, этому векторному равенству соответствует векторный треугольник

Х А В

68

скорость Ул полюса Л плоской фигуры; ахЬх — вектор, изображающий вращательную ско­

рость Уав точки В во вращении плоской фигуры вокруг полюса А, причем atbx±AB

и а А = — .« ■АВ.

порядок построения линейной скорости Ув плоской фигуры: 1. Из произвольной точки ki чертежа строят в выбранном

масштабе ту вектор kxax = —— ■УА

ТПу

2.Через конец «ai» вектора kxax проводят прямую ахЬхпер­ пендикулярно одноименной стороне АВ плоской фигуры.

3.Через точку k\ проводят прямую kxbx параллельно из­

вестному направлению линейной скорости Ув.

Точка «6 1 » пересечения прямых ахЬх и kxbx является кон­

цом вектора kxbx, изображающего линейную скорость Ув точ­ ки В плоской фигуры.

Для построения V с скорости точки С плоской фигуры ис­

пользуют два полюса А и В, линейные скорости Vа и Vb ко­ торых известны. Соответственно этому, формулы, определяю­

щие скорость Ус точки С, записываются в виде:

Ус — Vа Уле

Ус — Ув + Уве

На плане скоростей приведенным формулам соответству­ ют следующие векторные равенства

^— k xCLx -ф CtxC\

и

k1c1= k1b1-\-blcl ,

где

ахсх_1_ АС и Ьхсх ± В С .

69