книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва

(черт. 13).

На чертеже 13 показаны положения точки в пунктах М. и

ны единичные векторы т,_п h_j i, п\-

Единичные векторы п и П\, пересекаются в точке С1, пре­ дельное положение которой при At О является центром кри­

визны траектории в точке М. Угол между векторами и и л,

обозначим Дф.

Как это видно из чертежа, изменение единичного вектора касательной т равно

Дх = Xj— х

Направим по Дт единичный вектор р.

20

Из ДМАВ следует:

Черт. 13

По определению

21

р

Условимся в дальнейшем тангенциальную составляющую ус­ корения точки называть тангенциальным или касательным ускорением точки, а нормальную составляющую — ее нор­ мальным ускорением.

Черт. 14

ное W nускорения точки М, направленные соответственно по касательной и главной нормали к траектории точки.

Итак, ускорение точки при естественном способе задания ее движения выражется

W = W ' + Wn,

22

где тангенциальное ускорение точки равно

и выражает изменение направления скорости точки.

Оба ускорения точки расположены в соприкасающейся плоскости TMN. Поэтому бинормальная составляющая уско­

рения равна нулю, т. е. И/й=0. Так как Wn — — ■п , то нор-

р

мальное ускорение точки всегда направлено к центру кри­ визны траектории.

Полное ускорение точки W изображается_диагональю прямоугольника, сторонами которого являются Wn и W '■ По­ этому модуль полного ускорения W точки равен

г - К ¥ Г Г ¥ Т = / ( ^ - ) ' + ( - ^ / -

Направление полного ускорения точки определится углом «а» наклона этого ускорения к направлению главной норма­ ли. Угол «а» находится из равенства

При решении задач бывает необходимым определить за­ кон расстояний при известных уравнениях движения точки

вдекартовых координатах, т. е.

х— x(t),

У= У it), г — zlt).

Закон расстояний находят по формуле

dS — У d x 2 с dy2 dz2.

В частном случае плоской траектории точки имеем

ds = Y d x 2 dy2.

23

§ 4. Ускоренное и замедленное движение точки

а. Ускоренное движение точки. Докажем, что условием ус коренного движения точки является

фик Vz — Vx (t) представляет собой возрастающую функцию, что свидетельствует об ускоренном движении точки.

Если 1/ = 5 < 0 и = то, как это видно из чертежа 16 а, точка движется в сторону отрицательных отсчетов рас­ стояний.

24

1

ной величине функцию, что свидетельствует также об уско­ ренном движении точки.

25

Рассмотренные условия показывают, что точка движется

ускоренно, если скорость V и тангенциальное ускорение Wz совпадают по направлению независимо от того, в какую сто­ рону она движется.

Черт. К;б

б. Замедленное движение точки. Докажем, что условием замедленного движения точки является

1. y, = S > 0 \ W, = S < 0

или

2. I/. — 5 < 0 ; urT= S > 0

лютной величине функцию, что свидетельствует о замедлен­ ном движении точки.

Рассмотренные условия доказывают, что точка движется

замедленно, если скорость V и тангенциальное ускорение W'- направлены в противоположные стороны независимо от того, в какую сторону она движется.

27

§ 5. Частные случаи движения точки

а. Равномерное движение точки. Условием равномерного движения точки является

VT= S = const

28

1. Закон расстояний.

TO

S = j VTdt — Vz - t + C

Определим произвольную постоянную С из начальных ус­ ловий, по которым в момент времени t = tQ= О S = S0. Соот­ ветственно

Итак, закон расстояний для равномерного движения точки имеет вид:

S = S0 + ^ • t

2. Ускорение точки.

Было установлено, что в общем случае ускорение точки равно

U7= W' + Wn

Но по условию равномерного движения имеем:

Следовательно, при равномерном движении ускорение точ­ ки равно лишь нормальному ускорению, которое выражает изменение направления скорости этой точки.

б. Равнопеременное (равноускоренное и равнозамедлен­ ное) движение точки. Условием равнопеременного движения точки является

Wz — S = const

1. Закон скорости точки. Так как

Wz = dt = const

то

Vt = j Wz ■dt = W-. • t + C,

Определим произвольную постоянную Ci из начальных ус­ ловий, по которым в момент времени t= tQ=0 V- =УоСоот­ ветственно

29