книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва
.pdfше. Обозначим сечение тела плоскостью, перпендикулярной к относительной и переносной мгновенным осям вращения через 5. В плоскости этого сечения возьмем координатные
плоскости Оху ОСО Oxyz |
и Охх ху х ПСО Oxx xy xz x. |
Начала О |
и О1 являются точками |
пересечения переносной |
и относи |
тельной мгновенных осей вращения с плоскостью 5. Оси Oz
ОСО и Oxz x ПСО |
направлены |
соответственно по переносной |
и относительной |
мгновенным |
осям вращения. Для любой |
точки М t твердого тела, лежащей в плоскости 5, ее скорость
выражается |
|
|
где |
V, = Vle+ |
V/r, |
|
|
|
Vu = v>e X Гг |
и Vir = Я X г ; = Ш, х (Г1~ 0 0 ' ) = ш г X Гг1-Т'о ') . |
|
Отсюда |
|
|
V, = ^ е X |
г,+ шг х (Й — 7;,) = |
К -ГшГ)Х_г, - “(о, Х г 0,’ ■ |
Как это видно из полученного выражения, линейные ско рости всех точек сечения 5 твердого тела лежат в плоскости этого сечения. Следовательно, твердое тело совершает мгно венное плоскопараллельное движение и сечение 5 можно рассматривать как одну из его плоских фигур. Найдем по ложение мгновенного центра скоростей Р этой фигуры. По-
150
ложение МЦС «Р» определяется радиусом-вектором гр. Ско рость МЦС «Р» равна
VP = [ К + шг) X гр] — шг X г а. — О
или |
|
|
|
|
|
[К + “>г) X Гр\ = |
U)r X Г0. . |
||
Умножив |
равенство |
векторно |
на орт к оси Oz, будем |
|
иметь |
|
|
|
|
или |
«ХК^е + |
Х~гр ] = к X К X Го>) |
||
|
|
|
|
|
К + “г)(к-Гр) — М к (ш в + ^).] =йг(К-7о,) — Г0' (К-шг). |
||||
Здесь |
|
|
|
|
_ |
_ |
_ л _ |
|
|
к-гр — 1 • грcos ( к, гр) = Грcos 90° = 0 |
||||
и |
|
|
|
|
_____ |
_л _ |
|
r0, cos 90° = 0. |
|
К• Г 0, = 1 • го, cos ( к, r0.)= |
||||
Поэтому имеем |
|
|
|
|
и |
гр пр.г (шв + шг) = |
г0' |
пр.г |
|
|
W*» |
|
г |
|
|
г = |
|
||
|
------—----- . г , * |
|||
|
р |
шег + шгг |
|
° |
Отсюда следует, что МЦС «Р» лежит на векторе г0 >-равном
70,= о о '.
Как известно, для любой точки плоской фигуры ее ли нейная скорость выражается
V t - w X P M f |
( 1 ) |
|
С другой стороны, из уравнений |
|
|
Vt = (те+ шЛ) X г, — «V X 7о, |
|
|
и |
|
|
v p = о = [ К + шг) х Гр] —U)r X Го' |
, |
|
следует |
|
|
Vi — Vp— |
+ <»,) X ( rt — rp). |
|
Но |
|
|
7,— 7р = РМ1 |
|
|
и |
Vp= 0- |
|
151
П оэтому
Vi = К + wr) X PM i |
(2) |
Сравнивая выражения (1) и (2) для скорости Vt произ вольной точки Mi плоской фигуры, имеем
» х Щ = к + Я ) х Щ ’
или
ш= и)е -|- шг.
Окончательно имеем
и ш— u)e-j-'
Полученные формулы определяют абсолютное мгновенно вращательное движение твердого тела вокруг оси, прохо дящей через МЦС «Р» плоской фигуры, с угловой скоростью
ш, равной геометрической сумме параллельных угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная угловая ско
рость ш направлена по абсолютной мгновенной оси враще ния твердого тела. На основе полученных формул последо вательно рассмотрим следующие частные случаи:
1. |
Составляющие угловые скорости и>е и и>г |
направлены |
|||||||
в одну сторону; |
|
|
|
|
_ |
_ |
|
|
|
2. |
Составляющие угловые скорости |
и u>r |
направлены |
||||||
в противоположные |
стороны |
и |
по модулю не равны, т. е. |
||||||
ше ^ |
шг’ |
|
|
|
|
_ |
_ |
направлены |
|
3. |
Составляющие угловые скорости |
и шг |
|||||||
противоположно и равны по модулю, т. е. и)е==и>г |
|
|
|||||||
1. |
Составляющие угловые скорости |
и <ог |
направлены |
||||||
в одну сторону (черт. |
95). |
|
|
|
|
|
|
||
Для величин, |
входящих в выражения |
|
|
|
|||||
|
г„ = ■ |
■г0„ о) = |
+ |
шг |
и |
<»* = 0)ег + |
«)г |
||
|
шег + шгz |
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
теж= ше> шг* = |
">г |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
--------Го' |
И (вг = |
0)е + |
и)г. |
|
|
|
где |
|
«V + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ < 1 |
и го, — 00', |
|
|
||||
|
|
те + |
|
|
|
|
|
|
|
152
т. е. абсолютная угловая скорость ш равна по модулю сум ме угловых скоростей составляющих вращений, она парал
лельна составляющим |
угловым скоростям <»е и со, и делит |
точкой Р отрезок 0 0 ' |
внутренним образом в отношении, |
определяемом из равенства
|
. |
, + Шг |
° М |
О О ' |
J |
О Р |
|
|
О О ' - - |
|
О Р |
то* |
о о |
ГР |
О Р |
(х)е' + Ь>г |
|
|
0)г |
О Р |
_ |
е
j
4-
«V
О 'Р |
и>е |
О Р |
О), |
Из полученного соотношения следует, что абсолютная уг
ловая скорость со делит в точке Р отрезок 0 0 ' в отношении обратно пропорциональном модулю угловых скоростей со ставляющих вращений.
Обозначим точки О и О' соответственно через Р е и Рт и назовем их переносным и относительным мгновенными цент рами скоростей. Назовем МЦѫл абсолютным мгновенным центром скоростей.
153
По доказанному абсолютный Р, переносный Р еп относи тельный Рг мгновенные центры скоростей расположены на одной прямой.
Пример. В планетарной передаче с вненшим зацеплением шестерен, изображенной на чертеже, (черт. 96), солнечная шестерня I неподвижна, водило 0 0 ' вращается вокруг непо движной оси Ог с переносной угловой скоростью 0^ = 1 0 0 0 '=
= 4 сект1. Радиусы шестерни I и сателлита II соответственно равны Р = 20 см и г=16 см. Определить относительную шг и абсолютную со угловые скорости сателлита II.
Решение: На чертеже 96 изображены переносная сое и
относительная шг угловые скорости, направленные соответ ственно по параллельным осям Ог и Ог' в одну сторону. МЦѫл расположен в точке зацепления солнечной шестер ни I и сателлита II. По доказаному модуль абсолютной уг
ловой скорости |
ш |
сателлита II |
равен |
10 — ше+ |
10г |
и Де* |
||||||
лит в точке Р отрезок 0 0 ' внутренним |
образом |
в |
отноше |
|||||||||
нии, обратно-пропорциональном модулям составляющих уг |
||||||||||||
ловых скоростей, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ш. |
|
R |
_ |
R |
. |
20 |
г- |
1 |
|
||
|
— — — |
и шг = (в |
— — 4- |
— = |
осек~‘. |
|
||||||
|
ше |
|
г |
|
г |
|
16 |
|
|
|
|
|
Отсюда |
— «>е -+- (ог = 4 + |
5 = |
9 сек~1>0. |
|
|
|
||||||
Абсолютная угловая скорость направлена в сторону угловых |
||||||||||||
скоростей |
сое |
и шг |
им параллельно. |
|
|
|
|
|
|
|||
2 . |
Составляющие угловые скорости ше и шг |
|
направлены |
|||||||||
противоположно |
и |
по модулю |
не равны, |
т. |
е. |
|
<oe =f=wr |
|||||
(черт. 97). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154
Для определенности полагаем u>^ > <v |
В рассматривае |
||||
мом случае для выражений |
|
|
|
||
0)rz |
|
Го- |
+ шг |
00' |
|
шег + |
шгг |
||||
|
|
||||
о) = |
cof |
и шг — ^ ez ~f~ ®rz> |
|||
имеем
Поэтому
00' И Шг = Юе — U)r > О ,
ае — о>г
т. е. абсолютная угловая скорость ш равна по модулю раз ности угловых скоростей составляющих вращений; она им (Параллельна, направлена в сторону большей по модулю со ставляющей и делит отрезок 0 0 ' внешним образом в отно шении, определяемом из равенства
г 0, |
00' |
ые — |
ti)r |
|
|
Гр |
ОР |
|
шг |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
0 0 ' _|_ 1 _ |
ше — шг I |
j . |
|||
ОР |
|
« V |
" |
"г |
’ |
00' + ОР _ |
|
|
|
||
|
ОР |
~~ |
шг |
|
|
и
О'Р __ ^е_
ОР . сог
155
Из полученных соотношений следует, что абсолютная уг
ловая скорость ы делит в точке Р продолжение отрезка 00', т. е. внешним образом, в отношении, обратно пропорциональ ном модулям угловых скоростей составляющих вращений.
Как и в первом случае, абсолютный Р, переносный Ре и
относительный Р т мгновенные центры скоростей |
располо |
||||
жены на одной прямой. |
|
|
|||
Пример. В планетарной передаче с внутренним зацепле |
|||||
нием |
шестерен, |
изображенной на черт. 98, солнечная шестерня |
|||
I неподвижна, водило 0 0 ' |
вращаестя вокруг неподвижной оси |
||||
Oz с |
переносной угловой |
скоростью ше — и)00, =4 |
сек-1. Ра |
||
диусы |
шестерни |
I и сателлита II соответственно равны /? = |
|||
= 20 см и |
г=10 |
см. Определить относительную шг |
и абсо |
||
лютную to |
угловые скорости сателлита II. |
|
|||
2 Z*
Черт. 98.
Решение. На чертеже 98 изображены переносная «>е и от
носительная шг угловые скорости, направленные соответст венно по параллельным осям Oz и Oz' в противоположные стороны. МЦС «Р» расположен в точке зацепления солнеч ной шестерни I и сателлита II. По доказанному, модуль аб
солютной угловой |
скорости сателлита |
II равен |
шг = <ие— шг |
||||
|
и делит в точке Р отрезок 0 0 ' |
внешним образом в от |
|||||
ношении, |
обратно пропорциональном |
модулям |
составляю |
||||
щих угловых скоростей, т. е. |
|
|
|||||
ыг _ |
OP |
_ |
R + г |
_ |
20+10 — 3 и шг = о>е-3 = 4-3 — 1 2 сек-1. |
||
— |
О'Р ~~ |
г |
~ |
10 |
|
|
|
156
Отсюда |
шг = ч>е— шг = 4 — 12 = — 8 сек |
1 < 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
Абсолютная |
угловая скорость направлена |
в |
сторону |
||
большей по модулю относительной угловой скорости |
шг, ей |
||||
параллельно. |
_ |
_ |
|
направлены |
|
3. |
Составляющие угловые скорости и>е и а>г |
||||
противоположно .и равны по модулю, т. е. u>e=cor |
и ше —шг |
||||
(черт. 99). |
|
|
|
|
|
Поэтому
шг = <°е — |
= 0 и г = |
------------ --- ------- - г , - * ос. |
|
У |
— 0)г |
Следовательно, если составляющие угловые скорости we и шг равны по модулю, параллельны и направлены противопо ложно, то твердое тело движется мгновенно-поступательно. Такая система из двух составляющих угловых скоростей, равных по модулю, параллельных и направленных противо
положно, называется парой вращений и обозначается |
(ше; |
о)г). Найдем скорость V мгновенно-поступательного движе |
|
ния твердого тела, имеющего пару вращений (ше; шг). |
Для |
произвольной точки Mt тела имеем |
|
V /- V ;e + Vlr,
11 —1154 |
157 |
где
Vie = |
« > е x ГI |
и |
Vir = U ) r x r ' . |
Отсюда |
-f u>r X r' = me X rt— u)e X г'г = |
||
Vi — ^e X r i |
|||
= u)e X ( n |
— r J) = |
u)e X |
0 0 ' — шг X O'O. |
Полученное выражение показывает, что скорость любой точки Летела, имеющего пару вращений, не зависит от по ложения этой точки. Независимость скорости любой точки твердого тела от ее положения подтверждает мгновенно-по
ступательное движение этого тела. Обозначим |
®е X 0 0 ' = |
|||
= тото'<ое и (вг X O'О — тот0шг и назовем |
тот0/ые |
мо |
||
ментом |
переносной угловой |
скорости относительно |
МЦС |
|
„Рг „, |
тот0и>г моментом |
относительной угловой скорости |
||
шг относительно МЦС «Ре ».
Соответственно принятому обозначению скорость мгновен но-поступательного движения твердого тела, имеющего пару вращений, равна
V = тот0>и>е = тотйшг]
Пара вращений аналогична паре сил, момент т которой ра вен
т = г X F-
На черт. 100 изображен момент пары вращений и момент пары сил. Их аналогия определяется тем, что как момент па ры сил, так и момент пары вращений, равный скорости мгно венно-поступательного движения твердого тела, являются свободными векторами.
Пример. В планетарной передаче изображенной на черте же 101, все три шестерни I, II и III, находящиеся в последо вательном зацеплении, имеют одинаковые радиусы. Угловая
скорость |
водила 0 i0 3 равна |
ше = и>о,о3 = 2 сект1. |
Опреде |
|
лить относительные и абсолютные угловые |
скорости |
сател |
||
литов II |
и III, если солнечная |
шестерня |
I неподвижна. |
|
’ Решение: Шестерня II совершает переносное вращатель ное движение вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоро
стью |
(1)^= шо,о, |
=2 |
сектК |
Ее относительное движение яв |
|||
ляется |
вращательным |
вокруг оси 0 2z'2 с угловой скоростью; |
|||||
ш2г. |
Абсолютная |
угловая |
скорость ш2 |
сателлита II |
прохо |
||
дит |
через его МЦС «Р» параллельно составляющим угло |
||||||
вым скоростям |
ше и со2г. |
Она равна |
(ог = а)е+ш2г. |
Здесь |
|||
158
модуль относительной угловой скорости u>2r сателлита II оп ределяется из соотношения:
<■>2Г_ |
ОгР _ j |
(йе |
ОгР |
откуда
u)2r = те — 2 сек~ 1
и
= 2 ше— 2 a>0l0a = 2 - 2 = 4 сек-1.
Относительная угловая скорость ш3/. сателлита III по модулю определяется из соотношения
^ = |
^ = 1 , |
<»2Г |
R |
из которого находим
u>3г — ш2г = ше= шо ,о 3 = 2 сек~К
Она ^направлена противоположно переносной угловой скоро
сти ше и ей параллельна. Поэтому переносная we и относи тельная со Згугловые скорости сателлита III образуют пару вра
щений (юе; со3г). Этой паре вращений соответствует посту пательное движение сателлита III.
11* |
159 |