книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва

имеющего неподвижную точку, полностью определяется угла­ ми а и р, которые ось ОК образует с осями Ох и Оу ОСО и углом у поворота тела вокруг этой оси. Все три угла взаимонезависимы. О твердом теле, положение которого опреде­ ляется тремя взаимонезависимыми величинами или парамет­ рами, говорят, что оно имеет три степени свободы. Следова­ тельно, тело, имеющее неподвижную точку, имеет три степени свободы.

z.

Черт. 73

Плоско-параллельно движущееся тело также имеет три степени свободы, так как положение его определяется двумя координатами Х а и уа произвольной точки А и углом <? по­ ворота этого тела. Тело, имеющее две закрепленные точки или соответственно неподвижную ось, имеет одну степень сво­ боды, .так как положение его определяется одним углом по­ ворота ф.

Эйлер (1707—1783) при исследовании движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, положение такого тела определял с помощью ОСО Oxyz, ПСО Ox'y'z', неизменно связанной с телом, начала которых совмещены с неподвижной точкой О и тремя углами гр, ф и 0 (черт. 74).

У го л Ч' называется углом прецессии; его сторонами явля­ ются положительные направления оси Ох ОСО и линия 07пересечения координатных плоскостей Оху и Ох'у'. Линия OL называется линией узлов.

120

Угол ф называется углом чистого вращения. Его сторо­ нами являются линия узлов и положительное направление оси Ох' ПСО.

Угол 0 называется углом нутации; его сторонами являют­ ся положительные направления осей Oz ОСО и Oz' ПСО.

Если углы ф и 0 оставить неизменными, а изменять лишь угол прецессии ЧЛ то ПСО Ox'y'z', а вместе с ней и твердое те­

тель со стороны положительного направления оси Oz видит его отложенным от положительного направления оси Ох к линии узлов OL против часовой стрелки. Если углы прецес­ сии и нутации Ч' и 0 постоянны, а изменяется лишь угол чис­ того вращения ф, то ПСО Ox'y'z', а вместе с ней и твердое тело вращаются вокруг оси О г'.

Положительным считают угол чистого вращения ф, кото­ рый наблюдатель со стороны положительного направления оси Oz' видит его отложенным от линии узлов OL к положи­ тельному направлению оси Ох' против часовой стрелки.

При сохранении неизменными углов прецессии и чистого вращения Ч' и <р и изменении лишь угла нутации 0 , ПСО

121

Ox' у' z', а вместе с ней и твердое тело будет вращаться во­ круг линии узлов OL.

Положительным угол нутации 0 считается тогда, когда наблюдатель со стороны линии узлов видит его отложенным от положительного направления оси Oz к положительному направлению оси Oz' против часовой стрелки.

Все три угла— прецессии Чг, чистого вращения <р и нута­ ции 0 называются углами Эйлера. Так как каждый угол Эйлера можно изменять независимо от двух других, то они взаимонезависимы.

Из сказанного следует, что движение твердого тела, имею­ щего неподвижную точку, будет задано, если выбраны ОСО Oxyz, ПСО Ox'y'z', неизменно связанная с твердым телом, и установлены уравнения движений этого тела ф = ф(£); <р=ср (t)

иQ = 9(£).

§2. Теорема Эйлера о конечном перемещении твердого тела, имеющего неподвижную точку

Теорема. Любое перемещение тела, iимеющего неподвиж­ ную точку, можно осуществить поворотом вокруг оси, прохо­

дящей через эту точку.

Для доказательства теоремы построим из неподвижной точки О сферу произвольного радиуса (черт. 75). Возьмем на сфере произвольную дугу АВ большого круга. Положение твердого тела, имеющего неподвижную точку, полностью опре­ деляется положением его дуги АВ. Пусть при вращении твер­ дого тела вокруг неподвижной точки О дуга АВ переместится по сфере в положение А\В\. Соединим точки А и А,, В и В\ дугами большого круга; из середины Е\ и Е2 этих дуг прове­ дем к ним перпендикулярные дуги Е\М и E2N большого круга и найдем их точку «Р» пересечения. Проведя дуги большого круга РА, РВ, РАХ и РВ{ получим сферические треугольники РАВ и РАф 1. Эти треугольники равны по трем сторонам, так

как PAi = PA и PBi=PB, как сферические наклонные, одина­ ково удаленные от основания сферических перпендикуляров

Е\М и E2N, а А\В\=АВ по построению. Из равенства сфери­ ческих треугольников РАВ и РА^В\ следует, что вращая тело вокруг точки Р можно их совместить.

При этом совпадает дуга АВ с дугой А ХВ\. Так как при движении твердого тела остается неподвижной и точка О, то поворот его из положения АВ в положение А\В^ произойдет вокруг оси ОР. Следовательно, по доказанному, любое конеч­ ное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точ­ ку, возможно осуществить поворотом его вокруг оси ОР, про­ ходящей через эту точку.

122

Из доказанной теоремы следует, что перемещение твердо­ го тела, имеющего неподвижную точку, .можно представить как совокупность последовательных бесконечно малых враще­ ний вокруг осей, проходящих через неподвижную точку.

Ось, проходящая через неподвижную точку, вокруг кото­ рой в данный момент времени происходит поворот тела, назы­ вается мгновенной осью вращения.

Очевидно, линейные скорости точек твердого тела, лежа­ щие на мгновенной оси вращения, равны нулю.

§ 3. Мгновенная угловая скорость тела, имеющего неподвижную точку

Зададим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки (черт. 76). Соответственно заданным уравнениям вра­ щения твердого тела вокруг неподвижной точки, а именно

f = <И 0 : ? = ?(*) и 9 = 9 (О

возможно определить для данного момента времени:

123

2. Угловую скорость ша вращения тела вокруг оси Oz', равную

<02 — fk '.

3. Угловую скорость ш3 вращения тела вокруг линии уз­ лов OL, равную

0)3 = в /

u),, <Da и u)j называются соответственно угловыми скоро­ стями прецессии, чистого вращения и нутации.

Как это будет доказано в кинематике сложного движения твердого тела при сложении мгновенно-вращательных движе­ ний вокруг осей, пересекающихся в одной точке, его резуль­

тирующая мгновенная угловая скорость ш проходит через эту точку и равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращательных движений тела. Мгновенная уг­

ловая скорость и) тела направлена вдоль его мгновенной оси вращения.

124

Для твердого тела, имеющего неподвижную точку, состав­ ляющие мгновенно-вращательные движения происходят с уг­

ловыми скоростями со,, со, и со, вокруг осей соответствен­ но Oz, Oz' и линии узлов OL, пересекающихся в неподвижной

точке. Поэтому мгновенная угловая скорость со такого тела проходит через его неподвижную точку и равна

“ = и>1 + + ша •

На черт. 76 изображена мгновенная угловая скорость со твердого тела, имеющего неподвижную точку, как диагональ параллепипеда,_построенного на составляющих угловых ско­

ростях СО, , (1)2, ш,.

Рассмотрим следующие частные случаи: 1. Угол нутации постоянен, т. е.

0 = const

Соответственно

0 = 0, й,= 07=О

и

со = : со, —|—со, .

Отсюда следует, что мгновенная угловая скорость со твер­ дого тела при неизменном угле нутации равна геометрической сумме угловых скоростей прецессии и чистого вращения.

2. Углы чистого вращения и нутации постоянны, т. е.

ср = const и 9 = const.

Соответственно

<р = 0; со, = ср •k' = 0; со, = 0 I =. 0

и

со == со,

Следовательно, мгновенная угловая скорость твердого тела При неизменных углах чистого вращения и нутации равна уг­ ловой скорости прецессии. При этом тело в данный момент Времени вращается вокруг оси Oz ОСО.

3. Угловая скорость прецессии со, постоянна и угловая скорость чистого вращения со2 не изменяется по модулю, т. е.

C0t = ф - А = const И СВ,= | ср| = const

Такое движение, при котором тело вращается с постоянной

По модулю угловой скоростью св2 вокруг оси Oz', а эта ось в свою очередь вращается вокруг оси Oz с постоянной угло-

125

вой скоростью cuj описывая коническую поверхность с по­ стоянным углом при вершине в осевом сечении, равным 2 0 (черт. 77), называется регулярной прецессией.

При регулярной прецессии мгновенная угловая скорость <о тела равна геометрической сумме угловых скоростей прецес­

сии и чистого вращения, т. е. ш ш, -f ша и постоянна по

модулю.

При вращении тела вокруг неподвижной точки мгновенная

угловая скорость ш тела, совершающего регулярную прецес­ сию, описывает коническую поверхность с постоянным углом при вершине в осевом сечении.

Из сказанного видно, что в отличие от вращательного дви­ жения твердого тела вокруг неподвижной оси и плоского его перемещения, мгновенная угловая скорость тела, имеющего неподвижную точку, изменяется не только по модулю, но и

вой скорости ш тела, имеющего неподвижную точку (черт. 78), Соответственно принятому обозначению мгновенная угловая

скорость и) тела выразится

О) = (U. (1>°,

где

IUф const И и)° ф const.

126

Черт. 78

§ 4. Угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку

Угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку, равно

на по мгновенной оси его вращения. Составляющая углового

ления угловой скорости ш тела и направлена перпендикуляр­ но его мгновенной оси вращения.

Таким образом, угловое ускорение твердого тела, имеюще­ го неподвижную точку О, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, не направлено вдоль оси вращения,

127

а совпадает с прямой ОУ, которую условились называть осью углового ускорения (черт. 79).

В случае регулярной прецессии (черт. 80)

dt

128

Угловое ускорение тела выражается

так как при регулярной прецессии тело вместе с мгновенной

осью вращаются вокруг оси Oz ОСО с угловой скоростью cot . Поэтому

£ = (D ( Ш1Х (Х>°) = ( Ш1Х и) ' а>°) — ( 03l X tU)

Окончательно

Е= (»(Х Ю)

и соответственно модуль углового ускорения тела равен

_Л_

£ = 0)j - СО- sin ( ш)

т. е. угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку, в случае регулярной прецессии равно векторному про­ изведению угловой скорости прецессии на мгновенную угло­ вую скорость этого, тела.

§ 5. Линейные скорости точек твердого тела, имеющего неподвижную точку

Пусть твердое тело, имеющее неподвижную точку, в дан­

ный момент времени имеет угловую скорость со, направлен­ ную вдоль мгновенной оси вращения (черт. 81). По формуле Эйлера для любой точки твердого тела линейная скорость выражается

Vt = (о X гг. -

Модуль линейной скорости любой точки тела равен

_ Д _

V ; — со •rt sin ( со0; r(.) — со•/г'(.

Следовательно, линейные скорости точек твердого тела, имеющего неподвижную точку, распределяются в нем так, что они в данный момент времени:

1 . Расположены в плоскостях, перпендикулярных к мгно­ венной оси вращения.

2.Перпендикулярны к радиусам вращения h{ и направле­ ны в сторону вращения тела.

3.Пропорциональны радиусам вращения /г/, т. е. расстоя­

ниям точек тела до мгновенной оси вращения,