книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва

точки А по направлению вращения плоской фигуры, так как эта фигура вращается ускоренно. Если же плоская фигура вращается замедленно, то как это видно из черт. 6 6 , угол а

откладывают от известного ускорения Wa точки А в сторону, противоположную направлению вращения фигуры.

Следует учесть, что угол а должен удовлетворять условию

0° *£ а < 90°.

При этом из выражения t g a = — следует, что а = 0, ес-

О)2

ли угловое ускорение плоской фигуры равно нулю, т. е. е = 0 . Этому соответствует

W& = 7 X 0 4 = 0

и

WA = W^A = ш а • AQ.

110

Если же а=^90°, то

t g а = — — v о о

(О2

и угловая скорость плоской фигуры в рассматриваемый мо­ мент времени обращается в нуль, т. е. ш=0. Этому соответ­ ствует

Wqa = u‘-AQ = 0

и

Wa = W qa — е XQA

Итак, в частном случае, когда в рассматриваемый момент времени угловая скорость плоской фигуры равна нулю, луч, На котором^ находится МЦУ, перпендикулярен известному ус­

корению Wа точки А. Если же в рассматриваемый момент времени угловое ускорение плоской фигуры равно нулю, то луч, на котором находится МЦУ, направлен по известному Ускорению точки.

I l l

Мы полагали, МЦУ Q полюсом, ускорение которого .равно

нулю, т. е. Wq =0. Поэтому МЦУ Q как бы является точкой вращения плоской фигуры в данный момент времени. Одина­ ково можно говорить о мгновенной оси Oz' , перпендикуляр­ ной направляющей плоскости, вокруг которой в данный мо­ мент времени как бы вращается плоская фигура. Такое пред­ ставление о вращении плоской фигуры вокруг МЦУ или оди­ наково мгновенной оси Оа1, которое нашло отражение на черт. 67, является основой второго способа определения ли­ нейных ускорений точек плоской фигуры.

Черт. 67

Для определения линейных ускорений точек плоской фи­ гуры по второму способу, или иначе, для установления закона их распределения, рассмотрим эту фигуру, занимающую в данный момент времени определенное положение на плоско­ сти (черт. 67). Пусть для плоской фигуры известно положение МЦУ Q и ускорение какой-нибудь ее точки А, а также угловая

скорость со и угловое ускорение в.

112

Ускорения всех точек плоской фигуры наклонены к лучам, на которых находится МЦУ Q, под одним и тем же углом.

7. — arc tg .

OJ2

Из сказанного следует закон распределения линейных ус­ корений точек подвижной плоской фигуры.

Линейные ускорения точек подвижной плоскости фигуры распределяются на ней так, как если бы эта фигура в данный момент времени вращалась вокруг МЦУ Q или соответствую­ щей ему мгновенной оси.

Таким образом, МЦУ Q или мгновенная ось Qz' определя­ ют закон распределения линейных ускорений всех точек плос­ кой фигуры. Закон же распределения линейных скоростей всех точек подвижной плоской фигуры определяется МЦС Р или мгновенной осью Pz'. В этом состоит отличие законов рас­ пределения линейных скоростей и ускорений точек плоской фигуры от законов их распределения у точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяемых этой единственной осью.

114

фигуры определяется из выражения

WA = WB + wg‘A + wyA .

Проектируя векторное равенство на направление отрезка АВ будем иметь

Следовательнр, луч, на котором расположен МЦУ плоской

фигуры перпендикулярен ускорениям W А и Wb, т . е. направ­ лен по отрезку АВ. По закону распределения линейных уско­ рений точек плоской фигуры их модули пропорциональны рас­ стояниям этих точек до МЦУ, т. е.

Wa __ WB

QA QB

Эта пропорция геометрически определяется подобными прямоугольными треугольниками, гипотенузы которых распо­

ложены на прямой, соединяющей концы ускорений Wa и Wb точек А и В плоской фигуры. Точка пересечения этой прямой с продолжением отрезка АВ и является МЦУ Q плоской фи­ гуры. Найдем это положение МЦУ Q. Из написанной пропор­ ции с учетом данных примера имеем

15_ _10_

АВ + BQ ~~ BQ

откуда

£Q = 20 см и AQ = 10 + 20 = 30 см,

т. е. МЦУ лежит на продолжении отрезка АВ на расстоянии AQ —30 см от точки А плоской фигуры.

Найдем угловое ускорение е плоской фигуры из условия, что в рассматриваемом примере

WA= W& и WA = W\p = в • QA\

откуда

Wa

е— = 0,5 сек~2.

QA 30

Из рассмотренного примера следует, что в случае, когда ускорение двух точек плоской фигуры не равны по модулю и перпендикулярны к отрезку, соединяющему эти точки, ее уг­

116

ловая скорость в данный момент времени равна нулю, т. е.

ш = 0. МЦУ плоской фигуры расположено на продолжении отрезка, соединяющего обе точки.

тангенциальное Wx и нормальное Wn

составляющие линейного ускорения W точки плоской фигуры

Докажем, что составляющие линейного ускорения W точ­ ки А плоской фигуры Wep и ЦТ, Woc и Wn существенно раз­ личны. Для доказательства рассмотрим движение плоской фигуры на неподвижной плоскости. Пусть при движении про­ извольная точка этой фигуры прочертит траекторию пгп на неподвижной плоскости (черт. 70). Точка плоской фигуры,

Занимающая в данный момент времени определенное поло­ жение на траектории тп, имеет скорость равную Vа = Vat • х й ускорение Wa , составляющие которого тангенциальное W j й нормальное WnA выражаются:

117

где р = СА является радиусом кривизны траектории в точке

А, перпендикулярным к скорости Vа На радиусе кривизны АС расположен МЦС «Я», так_как радиус вращения РА так­

же перпендикулярен скорости Vа - Ранее было показано, что в общем случае МЦУ «Q» и МЦС «Р» не совпадают. Пусть МЦУ «Q» расположен_так, как это изображено на черт. 70.

Разложим ускорение WА точки А плоской фигуры на состав­ ляющие Wqa и Wqa , равные

Щ ра = ! Х О А И W & = uS - A Q .

Как это видно,

W qpa Ф W'a и W& Ф WnA .

Здесь было показано, что МЦС «Я» расположен на радиу­ се кривизны СА. Следует однако учесть, что МЦС «Р» может быть расположен на |радиусе кривизны СА траектории не

только между центром кривизны С и точкой А плоской фигу­ ры. Возможны случаи, когда МЦС *Р» будет расположен на продолжении радиуса кривизны СА, примером чего может служить мгновенный центр скоростей подвижной шестерни Я простейшего планетарного механизма с внутренним зацеп­ лением шестерен (черт. 71).

В этом механизме шестерня I, которую принято называть солнечной, неподвижна. Шестерня II, называемая сателлитом, свободно вращается на оси А кривошипа АС и находится во

118

внутреннем зацеплении с шестерней 1. Кривошип АС, назы­ ваемый «водилом», вращается вокруг неподвижной оси Cz.

Шестерня II совершает плоское движение. Ее ось А опи­

Гл а в а IV. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

Примером тела с закрепленной точкой является гироскоп (черт. 72), применяемый в системах управления курсом само-

Черт. 72

летов и морских судов, системе ориентации космических ко­

раблей и т. д.

Выясним, как задается движение тела, имеющего непо­ движную точку.

§ 1. Задание движения твердого тела вокруг неподвижной точки

Пусть тело закреплено шарниром в точке О (черт. 73). Возьмем точку «О» за начало ОСО Oxyz, Определим положе­ ние твердого тела относительно этой системы. Для этого через неподвижную точку О проведем ось ОК, вокруг которой воз­ можен поворот твердого тела. Положение твердого тела,

119