книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва
.pdfдвижной. Такое свойство центроид используется в теории ме ханизмов для конструирования механизмов.
Пример. Механизм эллипсографа (черт. 60) состоит из линейки АВ длины 21 и кривошипа ОС=1, вращающегося
сугловой скоростью o)=const. Найти уравнения неподвижной
иподвижной центроид линейки АВ.
Решение. Линейка АВ эллипсографа совершает плоское
движение.
Для задания ее движения возьмем ОСО Oxyz, ПСО Cx\y\Z\, поступательно движущуюся относительно основной и ПСО Cx'y'zu неизменно связанную с линейкой АВ и вра
щающуюся вокруг оси Cz\ с угловой скоростью шАВ — ср | . Уравнениями движения линейки АВ являются
<р= 90° — а ; а — ш{.
Xс — I- COS а = |
I • COS 11) t. |
|
ус= |
L ■sin а = |
I •sin а>t. |
Найдем вначале уравнения неподвижной центроиды в па |
||
раметрической форме. |
эллипсографа, изображенной на |
|
Соответственно схеме |
||
чертеже 60, уравнения имеют вид
Здесь |
|
|
|
|
|
|
х с = |
— / ев s in со t. |
|
|
|
|
ус — 1шCOS <0 t. |
|
|
||
|
<р = — а — — с». |
|
|
||
Отсюда |
|
|
I ш COS ш / |
|
|
, |
, |
, |
п . |
, |
|
Х „ — 1COS 0) t |
Н------------------------------ |
а> |
—21 COS СОI |
||
Р |
|
|
|
|
|
1 |
• . |
, |
I со Sin и>t |
п , . |
, |
у „ = I |
Sin СОt |
-(----------------------- |
ш |
= 21 S in СОt. |
|
Р |
|
|
|
|
|
Исключая время t, получим уравнения неподвижной цент^ роиды в виде
Хр + Ур= (21)г.
Уравнение определяет окружность радиуса 21, изображаю щую неподвижную центроиду линейки АВ эллипсографа
(черт. 60).
Подвижную центроиду найдем из уравнений
|
|
Х с Sin <р — У с C O S |
tp_ _ |
|
|
|
|
||
|
|
Х р — ■ |
; |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
— |
— / Cl)-sin <D^-sin (90° — <■>/ ) — l ш-COS Cl) <-COS (90° — ш t) |
= |
, |
. ri |
1 |
||||
------------------ |
i--------- --------------------------------- |
|
|
|
l |
. sin 2 |
со t. |
||
|
|
-- (D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
../ _ * c |
cos <p + |
Ус Sin <P _ |
|
|
|
|
|
|
|
У p — |
. |
|
|
|
|
|
|
|
__ |
— l (o-sln <ii <-cos (90° |
9 |
l ы-cos (i)<-sln (90° — w t) |
__ |
|
|||
|
- со t) + |
|
|||||||
|
|
|
-- (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= l ■(COS* cof — sin* соt ) = |
l ‘.COS 2 соt. |
|
|
|
|
||
Окончательно
x'p — /-sin 2 cof. I/'p = /-co s2 cof.
Исключая время t, получим уравнение подвижной центро иды в виде
* 7 + 0 7 = /* .
Уравнение определяет окружность радиуса I (черт. 60), изображающую подвижную центроиду линейки АВ эллипсо графа. Подвижная центроида катится без скольжения по не подвижной.
91
§ 10. Первый способ определения линейного ускорения любой точки подвижной плоской фигуры
Первый способ определения линейного ускорения любой точки подвижной плоской фигуры основан на первой теореме о конечном перемещении. По этой теореме устанавливается связь между линейными ускорениями точек подвижной плос кой фигуры. '
Пусть плоская фигура занимает в данный момент време ни определенное положение на плоскости. Для этой фигуры
известными являются линейное ускорение Wa точки А, при нятой за полюс, а также угловая скорость <*> и угловое уско рение е (черт. 61) во вращении фигуры вокруг мгновенной
:
о
Черт. 61
оси Аг'. Линейное ускорение любой точки В плоской фигуры равно:
WB = —
но
VB = VA + VAB.
Поэтому
92
Здесь |
|
|
|
|
|
dt |
|
— линейное |
ускорение полюса Л |
в поступательном |
|
|
движении плоской фигуры; |
|
|
||
d a d |
|
|
|
||
■— ■ |
|
|
|
||
------ = |
W a b — линейное ускорение точки В во вращении пло- |
||||
dt |
|
ской фигуры полюса А. |
|
|
|
Найдем |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WAb = d V ав |
|
|
Известно, |
что |
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому |
|
V a b — <“ X А В . |
|
|
|
|
|
|
|
||
WAB= |
4 |
( 10 X А В ) = |
^ X АВ + » X |
= |
£ХЛД+«>Х |
|
dt |
|
dt |
dt |
|
Обозначим |
|
|
|
||
* X A B —Wab— вращательное ускорение |
точки В во враще |
||||
|
|
нии плоской фигуры вокруг полюса А; |
|||
(0X V ab=Wab— осестремительное ускорение точки В во враще нии плоской фигуры вокруг полюса А.
Найдем направления и модули этих ускорений. WApB = e х АВ направлено перпендикулярно АВ
и |
|
|
|
П = |
ЛД| = * -Л £ -8 т (Г л АВ), |
||
но |
|
|
|
Поэтому |
( е,л А В ) = 90°. |
|
|
|
|
|
|
|
Wlfa = |
*-AB. |
|
Wab — шX Vab — ыХ “ Х AB. = |
wz-k' X wzk'XAB = |
||
= ^ ( k ' X ~ k ' X A B ) = ^ [ k ' ( k ' - A B ) - A B ( k ' . k ' ) } = |
|||
|
— — <i)a • АВ = ша BA, |
||
t . e . W ab н а п р а в л е н о к м г н о в е н н о й о с и в р а щ е н и я и |
|||
W°ab = |
| ш X Уа в | = |
<»• |
( «),Л У л в ) ; |
так как |
|
|
|
( ш , л Va b ) = 90° и Vа в — |
ы -АВ, |
||
т о |
W a b — |
-АВ. |
|
|
|
||
93
Окончательно имеем: |
|
|
|
|
|
We = W A + W 7 b + ^ acS , |
|
|
|
где |
Wa — ускорение полюса А в поступательном |
|||
|
движении плоской фигуры; |
|
|
|
|
WeAB=z^ y , A B — вращательное ускорение точки В |
во |
||
|
вращении плоской фигуры вокруг по |
|||
|
люса |
А. |
|
|
|
Wapb ± A B |
и W7a = i-AB. |
|
|
W°ab= —ш2 АВ—и>* ■ВА - осестремительное ускорение |
точки |
В |
||
|
во вращении плоской фигуры |
вокруг |
||
|
полюса Л. |
|
|
|
W°a b — параллельно АВ и направлено к мгновенной оси вращения Az', W°ab = ^-AB .
На черт. 61 показано построение векторного равенства
Wb - W a + Wapb + Wab •
Из чертежа видно, что
Wab = АВ V е’+ ю4"-
Первый способ применяется для графического определе ния линейных ускорений точек подвижной плоской фигуры. Графический способ выражается в построении плана ускоре ний.
§ 11. План ускорений
Планом ускорений подвижной плоской фигуры называется диаграмма линейных ускорений ее точек, построенных из еди ного центра.
Пусть плоская фигура АВСЕ черт. 62 а и данный момент времени занимает определенное положение на плоскости. Для
нее известны Wa — линейное ускорение некоторой точки А,
выбранной за полюс, и направление линейного ускорения Wв некоторой точки В.
Для построения плана ускорений контур 'АВСЕ плоской фигуры вычерчивается в выбранном мастшабе длин т1
выбирается |
масштаб скоростей ту ( - сек ^ |
и масштаб уско- |
|
|
\ мм |
J |
|
рений |
(черт. 626). |
|
|
94
С |
\ |
|
направление |
_ |
\ |
V^ |
у |
Черт. 62а
Для графического определения линейного ускорения точ ки В воспользуемся векторным равенством:
¥ в = W A + W°ACB + W 8apb .
96
Изобразим это векторное равенство (черт. 62 б). Для этого
из произвольной точки k2 проводим вектор k2a2 —---- - |
Wa и |
на нем откладываем отрезок, равный
k2a2= ~ —• WA {мм) .
т\у
Строим W°ab-Для этого через конец вектора k2a2 проводим
вектор пав— —— • W°ab , параллельный АВ и направлен-
г
ный к полюсу А. Модуль этого вектора вычисляем по форму ле:
nAB = ^ — W°ACB = ^ |
- 0>МД |
т |
• АВ = |
т w |
mw |
|
|
mi (wy°A)* |
^ |
т\. |
|
' mj (АВ)1
mw АВ
_ 1_
где atbi = mv •Vab— вектор плана скоростей, изображающий
вращательную скорость точки В во вращении плоской фи
гуры вокруг полюса А. Строим Wb/ b . Через конец вектора пав проводим прямую хАв . перпендикулярную АВ.
На этой прямой должна быть расположена точка «Ь2», ко торая является, концом вектора k2e3 изображающего линей ное ускорение Wb точки В.
Через точку k2 проводим прямую MN, параллельную ли нейному ускорению точки В, известному по направлению. Точ ка «Ь2» пересечения прямых хАв и MN является концом век
тора k2b2, изображающего линейное ускорение точки В Wb =
— Шур • k2b2.
Итак, векторному равенству
Wb = W a + W°aB + W7b
соответствует векторное равенство
k2b2 — k2a2-j- Пав 4- тдв
на плане ускорений.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай по строения линейного ускорения точки С плоской фигуры по из
вестным линейным ускорениям WАтл Wb двух других ее точек А и В. Принимая поочередно точки А и В плоской фигуры
.96
за полюсы, линейное ускорение ее точки С можно определить по следующим формулам:
|
WC = WA + W°ac + W'fc , |
и |
W c = W B + W °b c - I- W aBPc . |
Приведенным формулам соответствуют векторные равен ства
k2c2 = k2a2-f- Пас + хас
и
k2c2 — k2b2 -f- пвс + |
• |
Построим поочередно на плане ускорений векторные мно гоугольники, соответствующие этим равенствам.
k2c2 =-k2a2-f- Пас + тле
Здесь
k2c2 — ■Wc ; |
k2a2 = - ± - - W A \ |
|||||
mw |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
niw |
|||
Пас ” ~— Wас ; Пас = |
m |
|||||
Ttli• |
Шур AC |
|||||
lw |
|
|
|
|||
тле |
|
|
. w ep- |
|
||
mw |
|
AC |
|
|||
|
|
|
|
|||
Входящая ,в выражение модуля вектора пас величина atci равна длине одноименного отрезка, измеренного на плане скоростей и изображающего вращательную скорость точки С плоской фигуры, т. е.
«iCi = ■— ■Vac •
ТПу
На плане ускорений построение векторного многоугольни ка соответственно равенству
k2c2 = k2a2 -j- Пас + тлс
выполняется следующим образом.
Через конец «а2» вектора /г2а2, изображающего линейное
ускорение Wа полюса, проводится прямая пас параллельно стороне АС плоской фигуры. На этой прямой строят вектор
П-ас , длина которого вычисляется по формуле
т\г |
(Д,г.)г |
(ям). |
пас — Щ -т w |
АС |
|
7-1454 |
|
97 |
Вектор пас строят в направлении от точки С к полюсу А плоской фигуры. _
Через конец вектора п а с проводят .перпендикулярную ему прямую тдс • На этой прямой должна быть расположена точ
ка «С2», которая является концом вектора k2c2, изображающе
го ускорение Нюточки С.
На плане ускорений построение .векторного многоугольни ка соответственно равенству
k2c2= k,b2-ф- Пвс 'Ъвс
выполняется аналогично предыдущему.
Через конец «6 2 » вектора k2b2, изображающего линейное ускорение Wb проводится прямая пвс параллельно стороне
ВС плоской фигуры. На этой прямой строят вектор Пвс. дли на которого вычисляется по формуле
Пвс. |
mr mw |
(V . ) 2 |
{мм) |
|
ВС |
||||
|
|
|||
Вектор пвс строят в направлении от точки С к точке В |
||||
плоской фигуры. |
_ |
|
|
|
Через конец вектора пвс проводят перпендикулярную ему |
||||
прямую Тдс . |
должна быть расположена точка «с2», |
|||
На этой прямой ibc |
||||
так же как и на ранее построенной прямойхлс. Следователь но, точка «с2» на плане ускорений определяется как точка
пересечения прямых iac |
и х в с . |
__ |
Вектор к2с2 изображает линейное ускорение |
Wc точки С. |
|
На плане ускорений |
(черт. 62 б) показано также построе |
|
ние линейного ускорения точки Е, делящей сторону ВС плос кой фигуры в отношении X, т. е.
ЕС .
Точке Е стороны ВС |
плоской |
фигуры |
соответствует на |
||
плане ускорений точка |
«ег», |
которая делит отрезок |
«Ь2с2» |
||
в том же отношении «X», т. е. |
_ ^ |
|
|
|
|
|
Ьгвг |
|
|
|
|
|
е гсг |
|
|
|
|
Точка «ег» является |
концом вектора k2e2, |
изображающего |
|||
линейное ускорение |
. |
|
е2е\ опущенный из |
точки |
|
Действительно^ перпендикуляр |
|||||
еч, на ускорение п Вс .отсекает |
прямоугольный треугольник |
||||
Ь2е2е', подобный треугольнику со сторонами пВс > *вс и |
Ь2с2 ■ |
||||
98
Из подобия треугольников следует
Ь2 Сг |
пвс |
Ь2е2 |
Ь,е' |
Но в векторном равенстве
к2е2 — к2Ь2 + Ьге' + е'е2
вектор Ь2е' — изображает ускорение
|
П -В Е = — — |
|
W• b e ■ |
|
|
|
mw |
|
|
|
|
Поэтому имеем |
|
|
|
|
|
Ьг с2 |
пв с |
о>* ВС |
ВС |
|
|
Ь2 е2 |
п в в |
“ г BE |
BE ’ |
|
|
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
Ь2 с2 — Ъг ег |
ВС— B E |
|
b2 е2 |
BE |
^ |
Ь2 е г |
BE |
|
с2е2 |
СЕ |
|
Докажем, что контур а2Ь2с2 на плане ускорений подобен контуру АВС плоской фигуры и повернут относительно «ее на
угол a = arc tg О)2 . Коэффициент подобия равен
Действительно, как это видно из чертежа, все стороны а2Ь2, Ь2с2, а2с2 контура а2Ь2с2 на плане ускорений наклонены под
одним и тем же углом a = arc tg —— к сторонам пав, Пвс и
<о2
Ядсоответственно параллельным сторонам АВ, ВС и АС кон
тура плоской фигуры. |
|
контура |
а2Ь2с2 плана уско |
|
Найдем коэффициент подобия |
||||
рений контуру АВС плоской фигуры. |
|
|
||
Для этого найдем выражения а2Ь2, Ь2с2 и а2с2. |
||||
“A = V < « + ' L = ] / " 0 4 • * ? » ) ' + ( £ • ) ’ = |
||||
= т Ь К («мвг + (,лвг = ^ - |
• \Г ^ + 7 |
|||
или |
|
|
|
|
тп^-а2 Ь2 |
= У |
+ < |
|
|
АВ |
|
|
||
|
|
|
|
|
Аналогично находим |
|
|
|
|
■ь,с |
|
0-2 с2 |
= |
У е2 + СО4 |
*Ц7’ ^2L2 = У еа + (0 4 |
|
АС |
||
~вс |
|
|
|
|
7* |
99 |