книги из ГПНТБ / Теплофизика и термодинамика [сборник статей]
..pdf
А К А Д Е М И Я Н А У К С С С Р У Р А Л Ь С К И Й Н А У Ч Н Ы Й Ц Е Н Т Р
55й; "ЧО*
I i ' iitSkvlitiiibi
ТЕПЛОФИЗИКА
И
ТЕРМОДИНАМИКА
СВЕРДЛОВСК
1974
УДК 536.423
Теплофизика и термодинамика. Сб. статей.
Свердловск, 1974 (УНЦ АН СССР).
Опубликованы результаты теплофизических
исследований жидкостей в метастабильном и околокритическом состояниях. Приведен новый материал по кинетике вскипания и кристаллиза
ции в ‘ условиях ф луктуационного зародыш еобра-
зования, по истечению перегретой жидкости из насадка, по рассеянию света в окрестности кри
тической точки. Рассмотрена возможность
продолжения линии плавления в область отри
цательных давлений. М етодом функции Грина
сделан расчет температурного поля при локаль ном нагреве мощным импульсом тока. Представ лены экспериментальные данные по коэффици ентам взаимной диффузии газов в ш ироком температурном интервале и результаты опреде
ления параметров потенциала м еж м олекулярно
го взаимодействия. Измерено поверхностное натяжение ацетона. О бсуждены свойства поли мера, насыщ енного двуокисью углерода. Дан анализ гравитационного течения плавок жидко--
сти.
Ответственные редакторы
В. П. Скрипов, А. Г. Шейккман
© УНЦ АН СССР, 1974.
А К А Д Е М И Я Н А У К СС С Р
У Р А Л Ь С К И Й Н А У Ч Н Ы Й Ц Е Н Т Р
Теплофизика и термодинамика • 1974
УДК 536.12
П. А. ПАВЛОВ
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ ГРИНА
Метод функции Грина получил строгое обоснование с введе нием в математику понятия обобщенной функции [1—3]. В пред лагаемой работе дано краткое описание этого метода. Доказатель ство приводимых формул можно найти в литературе [4, 5].
Температурное поле Т (х) в неподвижной среде с постоянными коэффициентами’ теплопроводности % и температуропроводности а
описывается в нестационарном случае уравнением
\_дТ
a dt
(1)
BT(s, t) = <P (s, f).
В стационарном случае уравнение принимает вид
д2Т q (х) |
|
|
дх\ |
^ |
(2) |
I |
|
|
ВТ (s) = 0 (s).
Здесь аргумент s означает, что точка х находится на граничной поверхности. Функция q равна удельной мощности тепловыделе ния (поглощения). В нестационарном случае q состоит из двух
частей: удельной мощности источников (стоков) и величины б (/) XT (х, t=0)/a, где б (t) — дельта-функция Дирака. Оператор В обычно рассматривают трех видов: Вг= 1; B2=d/dv, где v — нор маль к граничной поверхности; В3= a + d/dv. Соответствующие
задачи в теплофизике называются краевыми задачами первого, второго и третьего рода.
3
Функция Грина G для задач (1) и (2) определяется как реше
ние, соответственно, следующих уравнений:
! |
a |
Х'. tf |
t ' ) - 6 ( x — x ')6 (t — t'), |
|
a |
dt |
/ J d x j |
|
|
|
|
BG(x, s; |
t, |
(3) |
|
|
t') = 0. |
||
|
|
a2 |
x') = d(x — x'), |
|
|
|
— G{x, |
||
|
|
S dx2 |
|
(4) |
|
|
BG(x, |
s) = 0. |
|
Функция Грина позволяет свести поставленную задачу к интег ральному уравнению (если q = q(T )) или дает возможность сразу
записать решение в виде интегралов от известных функций (если q=£q(T)). Решение нестационарной задачи следующее:
t |
О q(x') + |
Т{х, /) = j dx' J dt'G (х', х; Г, |
|
+ J ds' J Ф (s', t') Afidt'. |
(5) |
Здесь интегрирование ведется в первом интеграле по всему вы
деленному границей s |
объему, во втором — по всей граничной по |
||
верхности. |
Оператор |
А для краевой задачи первого рода |
равен |
Ах= —d/dv, |
Л2 = Л3= 1. Функция A f i берется при x' = s. Ограни |
||
ченное решение стационарной задачи запишется |
|
||
|
т {х) = | |
dx'G (х', х) -q l p + j ds’cP(s') Afi. |
(6) |
При неограниченном решении внешней задачи второй интеграл заменяется на гармоническую функцию, принимающую на поверх ности s заданное значение.
При решении отвлеченных математических задач (1) и (2) определенные трудности вызывает вопрос а существовании реше ний. В прикладных задачах обычно заранее можно ответить на этот вопрос. Например, постоянный источник тепла, сосредото
ченный на плоскости, прогреет все это двухмерное |
пространство |
|
до бесконечной температуры и |
в такой постановке задача (2) |
|
в классе ограниченных функций |
смысла не имеет. |
Однако, если |
наряду с источниками в двумерном пространстве распределены стоки, по мощности равные источникам, то формула (6) дает ко нечное решение. Сведение задач (1) и (2) к'задачам (3) и (4) по казывает большую ценность последних.
4
Функция Грина в бесконечном пространстве (границ нет) на зывается фундаментальным решением соответствующего дифферен циального оператора. В нестационарном случае для я-мерного пространства это решение равно
Г{х', х; t', t)‘ |
|
exp |
t') . |
(7) |
[2 |
па (t — t ’ ) ] * |
4a (t — |
|
|
|
|
|
а в стационарном для одно-, дву- и трехмерного пространства
Л (х', = |
Г2(х', х) = |
|
1п I X— х' |
|
|
2л |
|||
|
|
|
||
Гз (х \ х) |
1 |
|
(8) |
|
4п\х — х' |
| |
|||
|
|
С помощью фундаментального решения можно построить функции Грина для ряда краевых задач первого и второго рода методом отражений. Для этого полезно качественное представление функ ций Г и G температурными полями от точечных (и мгновенных
в нестационарном случае) источников тепла. Тогда требование BG(s) = 0 можно выполнить расстановкой компенсирующих источ ников (стоков) вне области V. Таким способом удается получить функцию G для полупространства, двугранного угла, клина,
внутренности и внешности шара и круга, пластины, бруса и других областей [4]. Труднее решать методом отражения задачу В3. При
ведем известное [6], полезное для приложений, выражение функ ции Грина третьего рода для полупространства х3>0:
|
а ехр |
(*i ~ х [)2+ ( х 2- |
х'2)2 |
|
|
’_______ 4д (t — t ’ ) |
|
||
G (x', х; t ' , t) = |
------- |
X |
||
[2 V n a ( t - f ) ] 3 |
||||
|
|
v |
|
(х’ ~ хз)2 |
(х’+хз)2 |
at — (*3+*3+l)2 |
|
|
|
X |
4a (t — f) +e |
4a { t - f ) + 2a i exp |
dl |
(9) |
||
|
|
0 |
4a (t — t’ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для иллюстрации описанного метода решим следующую |
дву |
||||
мерную стационарную задачу. Прямая х2= 0 находится |
при |
тем |
||||
пературе Т = 0. В полуплоскости х2> 0 |
температура |
на |
больших |
|||
расстояниях от прямой х2= 0 поддерживается равной |
|3х2. Коэф |
|||||
фициент теплопроводности X зависит от расстояния до начала ко ординат. Требуется найти температурное поле Т (xv х2). Это крае
вая задача |
первого рода |
для полуплоскости. Функция Грина |
|
G(x1, х 2; х\, |
Xj) находится из уравнения |
|
|
\дху |
дх2] G (Xl' * 2’ |
Xl’ X2) = 8 (Xl — X'l)6 (X2 — X'2) ’ |
( 10) |
|
G(xj., |
х2; х[, х2) |^ _0 = О. |
|
5
Для прямого решения этого уравнения требуется знание теории обобщенных функций. Однако оно легко решается методом отра жения:
G(x1, х2; х\, х') = Г (хх, |
х2; |
х\, |
х') — Г (xv х2; xj — x'). (11) |
Перейдем к полярным координатам. Поставленная задача |
|||
описывается уравнением |
|
|
|
д2Г _1_ дт |
|
д2Т _ __1_ дХ дТ |
|
дг2 г дг ' |
г2 |
dtp2 |
X д г , д г ’ |
|
|
|
(12) |
Г ( ф = 0, я) = 0, 0 < ф < л .
При стремлении х2 к бесконечности температура стремится к (Згэшф. По формуле (6) неограниченное на бесконечности реше ние уравнения (12) записывается в виде
ОЭ Jt
Т(г, |
ф)-РГ8Шф — j |
г'dr' [^ ф '^ -^ Г -0 -Х |
|||
|
|
|
о |
|
о |
X |
-L in |
1 + { r j r ') 2 — |
2 |
(г/г') cos (ер'— ф) |
|
|
4я |
1 + {г/г')2 — |
2 |
(г/г') cos (ф' +ф) |
|
Используя |
обычные |
приемы |
счета и обозначая |
||
= Г(г, ф)/|3 5тф , получаем |
интегральное уравнение |
||||
|
|
оо |
|
|
г |
(13)
9 (0 =
|
е ( г )= г + д |
|
|
(И) |
|
|
W |
Т 2 J X дг’ дг' |
2r J X |
дг’ дг’ к ’ |
|
Для |
получения этого |
уравнения |
сделано |
разложение логарифма |
|
в подынтегральном выражении (13) в ряд |
по sinmp' sin/гф, учте |
||||
но, |
что для итерации |
любого порядка дТ/дг' — sin ф и исполь |
|||
зована ортогональность синусов. Зададим модельную форму зави симости
|Я,_ехр [—ег2], |
г</?, |
|
(я+ |
, |
(15) |
r>R. |
||
Из условия непрерывности е = (1/i?)2 In (Х—/Х+). Если искать ре
шение уравнения (14) |
в виде ряда по степеням г, то ряд удается |
|
просуммировать. В результате получим для r^.R |
||
’£ l n |
V |
In W / X + ) } |
0 (0
/0 (in V Х-/Х+ ) (Х-/Х+){1“ r4Rt)/2
б
для r > R
в ( г ) - г - У к |
(17) |
r u (in V ^ - а + )
Здесь lx(z) и I0{z) — функция Бесселя от мнимого аргумента [7].
Решение существенно упрощается, когда In V к-/Х+ (r/R)2<£l. Для температуры в области r s^R имеем
9<гЧ /Ы |п/^)Р |
|
(18) |
|
Замечательно, что в этом случае температура Г = |
sin <р0 (г') не |
||
зависит от величины R, более того, |
при достаточно |
малом |
отно |
шении | X- — Х+ |Д + вблизи начала |
координат она |
не чувстви |
|
тельна к виду функции к (г). |
|
|
кон |
Воспользуемся полученными результатами для решения |
|||
кретной нестационарной теплофизической задачи. Протекание электрического тока через проводящую среду при определенной геометрии электродов или изоляционных перегородок может со провождаться существенно неравномерным выделением джоулевого тепла. Концентрирование энергии в отдельных точках может оказаться полезным для активизации химических реакций или для инициирования фазовых переходов. Повышение мощности
тепловыделения по краю |
трещин в |
растягиваемом |
проводнике |
с током должно влиять на |
механизм |
его хрупкого |
разрушения. |
Имеется несколько решений электрической задачи с бесконеч ным градиентом в некоторых точках или линиях. Например, из электродинамики известно, что если в проводящую среду с по стоянным на бесконечности градиентом потенциала поместить изо ляционный диск осью вдоль этого градиента радиусом b и нулевой
толщиной, то потенциал вблизи края диска будет равен
ф(г, ф) = A V г sin(q?/2), |
|
|
|
(19) |
|
где г — расстояние до края диска; |
ф — угол, |
отсчитываемый от |
|||
продолжения плоскости диска в проводник; Л = 2 У 2bV /я |
(V — |
||||
величина нормального к диску градиента |
на |
бесконечности). |
|||
Здесь и далее потенциал отсчитываем |
от точки |
г = 0 . |
Изменение |
||
ориентации диска дает несущественные добавки. |
Такая |
же |
зави |
||
симость потенциала от координат вблизи края |
изолятора наблю |
||||
дается, если приложить разность потенциала Ф к частям провод ника, перегороженного тонкой пластиной с отверстием радиуса Ь.
В1 этом |
случае Л = У р ф /я У "b . Вообще, около края бесконечно |
тонкого |
изолятора любой формы с радиусом кривизны Ь на рас |
стоянии г/й<С1 сохраняется зависимость вида (19). В двумерном пространстве аналогичный результат получается точно при любом
7
г для полупрямой с заданным на ней нулевым потенциалом. Постоянная А здесь задается организацией потенциала вдали от конца полупрямой. Все эти задачи решены при условии а (г, ф) =
= const (а — коэффициент электропроводности среды).
Найдем поле температуры, получаемое от разогрева электри ческим током проводника с распределением потенциала вида (19).
Мощность тепловыделения в проводящей среде запишется |
|
q (г) = (grad ф)2 а = аА2/4г. |
(20) |
Будем считать изолятор нейтральным в тепловом отношении. Тогда для нахождения температуры воспользуемся формулой (5), где второй член равен нулю, а в качестве функции G использу ется фундаментальное решение (7) для п = 2. В полярных коор
динатах
03 t
|
Т (г, П = Г г'dr' |
.) |
Г dt' -----— |
X |
||
|
|
J |
4я — |
|||
|
|
о |
о |
|
||
2rt |
|
(r')2 — 2rr' cos (0 — 0 ') +Г2 |
||||
X I |
d 0'exp |
|||||
|
|
4a (t — t') |
(21) |
|||
Этот интеграл можно выразить через функцию Мейера [7]. После ее разложения в ряд по степеням г получим
T(r, t ) ~ V a t |
|
г k — - |
г2 1* |
|
|
|
|||
j L A |
tn * + i)]2 |
4at |
||
|
||||
|
Vк=О |
|
|
|
У nat [l |
г |
г 2 |
|
(22) |
||
|
|
|
8at |
|
||||
|
|
4^, |
|
] / я at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Г (z) — гамма-функция Эйлера. |
Оценки по этой формуле по |
|||||||
казывают, что |
в |
реальных |
ситуациях температура |
Т (г = 0, |
t) |
|||
может достигать |
сотни |
градусов, поэтому |
необходимо |
учитывать |
||||
зависимость удельной проводимости от температуры. |
|
|
||||||
Ограничимся расчетом температуры вблизи края изолятора. |
||||||||
Можно показать, |
что |
поле |
источников |
тепла при |
малых |
г, |
||
т. е. в области наиболее ' интенсивного тепловыделения, имеет круговую симметрию. Поэтому считаем 0 = а(г). Для анализа
электрической задачи заметим, что распределение потенциала описывается таким же уравнением, как уравнение (12), нужно только заменить Т на ф, а К на а. Для удовлетворения гранич
8