книги из ГПНТБ / Сурков, К. С. Влияние жесткости нити на ее натяжение при взаимодействии с петлеобразующими органами трикотажных машин

ОХУ

проведен перпендикулярно к оси стержня.

Ось

OZ

направлена

по оси

стержня (

рис.

26 ) . В плоскости

ОХУ

отметим углы:

ф0 -

угол

между

плоскостью

координат OXZ

и плоскостью,

проведенной

через

точку D

( точку входа нити на

поверхность

стержня )

и

ось

стержня;

фпр-

угол между плоскостями,

проведенными

через

точки

D

и

Е

( входа и схода нити с поверхности )

и ось

стержня:

ф -

угол

между плоскостью,

проведенной через

точку

3

и ось

стержня,и

ти и ось стержня.

Угол

српр

является центральным углом проекции отрезка

ни­

ти, находящегося

на поверхности стержня, на плоскость,

перпенди -

кулярную оси

стержня. Заметим, что

фпр был бы углом

охвата

ни­

тью стержня,

если

бы точки

D и £ были расположены в

одной

пло­

скости, перпендикулярной оси стержня,

т . е .

если бы отрезок

нити

проектировался на эту плоскость в истинную величину.

Пренебрегая толщиной нити, составим выражение для

координат

произвольной

точки

М геодезической

линии,

лежащей на

цилиндре

радиусом R :

X =R cos((f0 + ф)

,

у

=/?

sin (фо + ф)

,

(43)

2

=а

(фо + ф) .

Очевидно, что ( 43 ) являются одновременно уравнениями

вин­

товой и геодезической линий на поверхности цилиндра радиусом

R .

В уравнениях

С 43

)

а - постоянный коэффициент, характеризующий

линдра.

Координатами

точек входа и схода нити с

поверхности являются

х л =

/ ? с о з ф 0 )

У д ^ Д э т ф о ,

2л =

а ф 0 ;

х £ =

R cos ( ф0 + фпр) ,

Уе =

д 51п ( ф0 + фпр) ,

i a = а ( ф 0 н- ф ^ ) .

Отметим,,

что

z E- z D = h

<*, где

h -

длина

стержня от

с е - •

чения, проведенного через точку входа, до сечения,проведенного

через

точку схода

нити с поверхности стержня:

Л — я фПр .

Отсюда

a. = h / фПр .

(44)

Кривизна

Q

геодезической

линии

может

быть определена

как

кривизна винтовой линии. Как известно,

она

постоянна

Q =

= R {/?г+аг\'= const

.

а радиус кривизны

9 =

\/ Q

=

( Д 2+ az)/R .

(45)

Этот

радиус

удобно

выразить через

угол

J3 наклона

винтовой

линии к образующей цилиндра:

ctgJ3

=

Л /

R фпр —

а/ R .

Тогда,

после

подстановки в (

45

) ,

имеем

9

=

Я / stn2j3 .

(46)

Для нахождения величины

угла

охвата

а

нитью цилиндричес­

кого

стержня воспользуемся ос нов ным определе ние м угла

охвата:

d a

= d l/ y

,

где

d l = \ / (d x )2 +

[dy)z+{dz)z

-длин а

элементарного отрезка геодезической ( винтовой ) линии.

Под­

ставляя в

это

в ыражение

найденные

из

(

43 )

значения dx, dy и dz,

находим

dl

Rz+ а г

d<p .

Вводя

значения

dl

и

9

в выра­

жение для

угла

охвата, получим

Л/Я2 + а 2

'

Интегрируя полученное выражение по всему участку

скольже­

ния, получаем выражение для угла охвата

через

центральный угол

проекции

отрезка

нити,

находящегося

на

поверхности

стержня, на

плоскость,

перпендикулярную ее оси:

<*

da. -

4>пр

Я

f

’

V /? a+ a 2'

откуда

л =

R

Фпр

а ,„2

AFr «Рпр+Л*

После

подстановки

значения а

из (

44

)

получим

а

R (р‘пр

(47)

/Д 2(Рпр+ Л2

vS

ji

Выразим угол

охвата

ok

через

и

Фпр • Из

( 46

)

( 45

) находим

stnJi =

Ф п р

X/r 1+ я г фпр

Но

\ Я 2 + аг српр = L . -

длина

учаотка нити, лежащего на

поверх­

ности

стержня.

Умножив числитель и знаменатель формулы ( 47 ) на

српр

и

принимая во внимание

значение

sinJJ , находим, что угол

охвата

а —ФпР

sinji .

(48)

Выразив значение

ipnp через длину участка скольжения

I ,

а

корень

V r 1 + аг через

slnji

и

R , придем к формуле

Минакова

[IS ]

:

a = ( l/R) slnJJ.

Наиболее удобными для практического применения следует при­

знать выражения ( 48 ) и ( 47

) ,

так как входящие в них величины

наиболее легко определить

непосредственным

замером.

С учетом влияния

толщины

нити F ( 46

) принимает вид

Т0— Т, е Juv»p5tnJ3 +

— --i___

/e M4>„pSin/3 _

Л

( 4 9 )

2(A-hF/2)z

1

J

'

При Ji = 0 ( нить расположена в

плоскости,

перпендикулярной

жение ( 41

) .

§ 4. Влияние

толщины .нити и радиуоа огибаемого стержня

на

натяжение

жесткой нити

Вопрос об учете влияния толщины нити и радиуса огибаемого

ею стержня

на натяжение нити является практически ванным

при

расомотреши взаимодействия нити с такими стержнями, какие

ис­

пользуются,

например,

на трикотажных машинах в процессе петлеоб­

разования.

Е.Д.Ефремов

[ 5 ]

рассматривал вопрос о влиянии

тол­

щины абсолютно гибкой нити

и радиуса огибаемого ею контура

на

натяжение

нити. Для случая

равномерного движения нити .с

малой

скоростью

по контуру постоянного радиуоа установленная им

зави­

Г2 =7-, е

1“а

,

( 5 0 )

гда г = Г/ 2

, F -

толщина

нити.

В случае

тонкой

нити (г = 0 )

эта

зависимость переходит в и з ­

альной нити от натяжения, получающегося при расчете по (

50 ) ,

он

объясняет тем, что на натяжение нити начинает оказывать

заметное

влияние момент сопротивления нити изгибу, т .е . жесткость

нити

на

дует отметить,

что

натяжение

Г2 , определяемое по (формуле

( 50

) ,

воегда меньше натяжения, определяемого по формуле

Эйлера,

и

при

тех же ju и а

оказывается тем меньше, чем меньше

радиус

кривизны

контура, по которому протягивается нить.

Как известно,

натяжение

реальных текстильных

нитей,

протяги­

ваемых вокруг

тонких стержней

и игл, оказывается

больше натяжения,

тяжения, определяемого формулой ( 50 ) .

Это расхождение тем

боль­

ше, чем меньше радиус стержня,-вокруг которого протягивается

нить,

и больше жесткость нити. Следует также отметить, что понятие

аб­

солютно гибкой нити неразрывно связано с

понятием тонкой

нити,,

нить же конечной толщины должна обладать

определенной жесткостью.

В предложенной нами формуле ( 41 )

Г2 = г , е ^ ч - ( e ^ - l ) В/2 § г

учитывается влияние жесткости на натяжение ведущей ветви нити, но

жеоткости и толщины нити на ее натяжение позволит получить

зави­

симости между натяжениями ведомой и ведущей ветвей, которые

более

полно отражают условия взаимодействия реальных текстильных

нитей

с тонкими стержнями, например, такими, как иглы и платины

трико­

ведомой и ведущей ветвей

с учетом влияния ж есткости'и

толщины

ни­

ти [30] .

Рассмотрим взаимодействие

нити толщиной

F = 2 г

,

обладаю­

щей жесткостью

в = 51

с цилиндрическим стержнем

радиуооы

й .

Нить расположена в плоскости, перпендикулярной оси стержня.

Как

уже было

показано,

благодаря различию форм осей жесткой и абоо

-

лготно гибкой нитей,

охватывающей один и тот же стержень,

на обеих

ветвях нити можно выделить некоторые прямолинейные участки

АС и

НВ ( рис. 14 )

и участки СД и

Eh,

на которых происходит

измене­

ние радиуса кривизны оси нити. На участке скольжения

2)Е

радиус

кривизны оси нити остается неизменным:

q = й +F/ 2 .

Из условия перемещения некоторого участка нити, выделенного

на ведомой ветви

(

гл.П ,

§ 2

) ,

было определено

натяжение

в

раз­

личных сечениях

нити, определяемое формулой ( 37 ) .

Эта

формула

дает возможность

определить натяжения

Тъ (

38

)

и

ТЕ ( 39 )

в

сечениях входа (

D

) и схода

(

Е )

нити с

поверхности

стержня.

Существенное

отличие нити конечной толщины от

тонкой"

про­

является в системе сил, действующих на элементарный отрезок

dS ,

находящийся на поверхности стержня. В случае тонкой нити на

эле­

ментарный отрезок

действует система

сил; пересекающихся в

одной

точке. На отрезок

а'$ нити конечной толщины будут действовать

си­

лы, линии действия которых не переоекаготся в одной точке, что

требует составления дополнительного уравнения равновесия

этого

элементарного отрезка.

Двумя плоскостями, проходящими через ось стержня и состав -

ляющими между собой

элементарный угол

d<р,

выделим

на учаотке

скольжения элементарный

отрезок

dS (

рис.

27

) .

На выделенный

отрезок нити действуют следующие силы:

Т

и

Т + ofT

-

натяжения в левом и правом

сечениях

от­

резка, приложенные к оси отрезка;

М )

и

Мг.

- изгибающие

моменты в левом и правом оеч е -

ниях отрезка;

rtN

и

dF

-

равнодействующие

сил

нормальных реакций и

сил

трения, действующих со стороны поверхности стержня на нить.

Следует отметить, что в предложенной схеме не учтены пере -

резываэдие

силы,

K O T opje

неизбежно возникают в

нити

конечной

тол -

5. Зак .74

щественно упрощают решение поставленной задачи. Возможность

ис­

пользования конечного результата для практических расчетов

в

дальнейшем была проверена экспериментально.

Линия действия

полной

реакции

dR.

поверхности

стержня,

склады­

вающейся из

сил

afN

и

dF ,

должна

совпадать с

линией

действия

силы

afQ , так как эти

силы

должны взаимно уравновешиваться.

Точкой

приложения сил

dF и

c(N оказывается точка К ,

смещен­

ная от

а.

на некоторое

расстояние

в сторону возрастания

натя­

жения ( ом. рис.

27, 28 ) . Приложив к точке

К

силы dF и

o(N,

обозначим через

afJJ

угол

между направлением силы

a'N и осью OOt

( см. рис. 27 ) .

Следует

отметить, что точка

К

приложения

сил

a'N и dF

не может Находиться

за

пределами линии

соприкоснове­

ния элементарного

отрезка

dS

нити с поверхностью

стержня

и,

оледовательно,

угол

dji

является

величиной

того

же порядка

ма­

лости , что и угол

d p .

Соотавив суммы проекций всех сил на касательную,

проходя­

щую через

точку

0 ( , на главную

нормаль

0, 0

и сумму

моментов

Воех сил

относительна центра

0

стержня,

получим три

уравнения

равновесия отрезка dS нити:

-7 co s (dp/&)~dF cosdft + dNsindfi + (T+dT)cos(dp/2)=0\

Гsin (dp/2)-dF sindfi-dN cosdf!> + (T+dT) sin(o(cp/2)=0-,

(51)

~M\ -иM2 + 7"(Л +л-] + dFR —( 7"+-dT} (/? +

=

0.

Принимая во

внимание

малость

углов

dip

и

dfi ,

равенства

М\—Ь/!г ( при

R — const

) и d F —jUdN

,

выразим

из

первых

двух уравнений ( 51 )

dF = ( f j 2dT+ juTdp)/ (1+ju2) .

Подставляя

найденное

значение

dF

в

третье из

уравнений

( 51 ) , получаем [/7/(l+jU2)](ju2a T + ju 7 ‘a'(p')- {R+r)dT - 0

, что

дает после упрощения и разделения переменных уравнение

d T _

dp

г_

жения. При этом натяжение

Т

нити Изменяется от

значения Т£

при

tp = 0 до значения Те

при

(p = d A

; причем

дд=§е =R +r.

После

интегрирования и потенцирования

находим