книги из ГПНТБ / Сурков, К. С. Влияние жесткости нити на ее натяжение при взаимодействии с петлеобразующими органами трикотажных машин

Следует иметь в

виду, что при некоторых значениях натяжения

ветви

Г,

и угла

а т

нить, обладающая определенной жесткостыо£7

и перекинутая через стержень радиусом

й

, будет

касаться

его

только в

верхней

точке.

В этом случае

а я = 0 .

Из равенства

( 22)

имеем

E l

или

сos а Т( =

EI

(24)

o(Ti = arc cos (I —

1

„ т - .

2 7-^1

2 Ц

Из выражения (24)

определим

Р ,

который будет иметь

ось

нити

в верхней точке,

т .е .

7?mln

у 2 (7[| - c o s c * Tl). '

Отсюда видим, что при

а т =

0 величина 7?min=

сх>

при лю­

бом

Т{ .

При

наибольшей значении

йТ(=

д / 2 имеем

(25)

Интересно отметить,

что

формула ( 25 ) может быть найдена

на основе

результатов, полученных Е.Н.Тихомировым в

его

работа

[35]

, в

которой рассматривается деформация консольной

балки ма­

приложенной к концу балки.

В работе отмечается,

что

^для консоль­

ной балки малой жесткости о сосредоточенной силой

на конце

сво­

бодный конец повернется на 90°

в

том случае, если

максимальный

момент

от

груза после

деформации

окажется равным в

пределе

P C

— "\/ 2 РЕ I ,

(26)

где С

-

расстояние

от центра

тяжести концевого

сечения до

пло­

скости

заделки"

[3 5 ,

с . 160].

Заменяя в

данной формуле

Р = Г и выражая максимальный

мо­

мент в

сечении

заделки М=СТ\ = Е 1 / Я ,

что дает

C= EI/T\ R { ,

получаем

7] ^

^

= 1У/2~2 Г, £ 7

откуда

EI

■

V

2 Г.

Совместное использование формул (27) и (26) дает возможность

установить зависимость между минимальным радиуоом кривизны

-I,, in

в сечении заделки и величиной

отклонения С концевого сечения от

шюскооти

заделки.

Записав формулу (27)

в виде

7[ С = У 2 7") £ 1

-

42

-

Посла интегрирования получим

Т = - Е I Q *

/ 2

■+- L, .

Опре­

делив произвольную постоянную

интегрирования 5 ,

из

условий

входа

нити

на поверхность

стержня ( точка

D ,

рисД 7

) ,

находим

Но

!*а/ 2

+ 7Ь

+- E i o f h .

( 20)

(29)

Ts =

7)

cos у,

,

Q' Z = Q * +[ V s ~ \

’

(30)

С2Л =

1/#i .

dtp

1

(31)

Q=G(p

находим

f

Q

>

dG

d~S ~ ~G '

dS

'

7 Q * ,

откуда

d f

0 *

( d 4>\

TD n

*

(32)

dS

G ^

0

\d S fo

G Qj> ■

внимание (2 9 ),

находим

д т т : т ^

у г у ж [~ .1

(33)

Подставляя значения

TD из (29)

и

q

*

и з

( 33

) в (

28

),

получаем

EI

Q * / 2 .

- E l

Г - Г' СИ|Г' +

г л ?

[ J * f 7 i c o s r i)/& ]

Учитывая,

что Г -* -Г ,

,

Q*~+0

при

S - * <=о,

получим

Ъ = 7J cos у ,

EI

,

откуда

2t f [ \ + ( r iCosfo)/G}‘

C° S iri= 1 ~ - 2 R f r , [ i ^ ( T , c o s ' C i ) / G ] z

(34)

Из paBeFioTBa ( 34 ) следует, что в случав абсолютно гибкой

нити

( 5 = 0 )

cosy , =

1 и

01д = OFT •

При большой величине

модуля

сдвига

G , что практически

со ­

ответствует отсутствию сдвига, выражение ( 34 )

принимает вид

ра­

нее

выведенной

формулы (

20

) .

вно изменяться

на всей

ее

дайне. Это

позволяет выделить по длине

нити несколько

участков

(

см .р и с.1 4 ).

Рассмотрим характер измене­

ных сечениях на этом

участке

( включая

начальное сечение

участка

входа )

одинаково и равно

растягивающей

нагрузке

Tt , приложенной

к ведомой ветви нити.

Это

натяжение

Г,

будет сохраняться в

любом

сечении

на прямолинейном участке

АС.

Кривизна оси

нити на участ­

ке НВ

ведущей ветви

0 =

0 .

Под натяжением ведущей ветви

Тг бу­

дем также понимать натяжение в любом сочении на прямолинейном

участке

НВ.

При установившемся-движении

нити с постоянной скоростью ис­

вой с постоянной скоростью. В процессе этого движения полная

по­

тенциальная энергия деформации нити остается постоянной. При

пе­

ремещении нити вдоль

оси

на величину

dS сумма работ в сех внешних

•сил, действующих на

нить,

должна быть

равна приращению потенци

-

абсолютно

гладкого

стержня это уравнение

будет иметь вид

-T{dS + Tz cLS =

d U ,

где

d U -

приращение потенциальной

энергии деформации нити.Но

так

как

U = const , то

dU= 0 и, следовательно, Тг = Г, .

Таким образом,

при движении жесткой

нити вокруг гладкого

ци­

домой ветви, как это имеет место и при движении абсолютно

гибкой

нити. Сформулированное положение дает основание полагать, что

при

движении нити со

скоростями, при которых можно пренебречь

влияни­

ем сил инерции,

форма оси движущейся нити.будет такой же,

как

и

ко сохранение формы оси

жесткой нити не обеспечивает

равенства

натяжения в различных ее

сечениях. Натяжения в соответствующих ое-

чениях на криволинейных участках неподвижной и движущей

нити,

имеющей такую же форму,

оказываются разными.

В процессе движения нити потенциальная энергия деформации от­

резка нити, заклиненного

между двумя неподвижными сечениями на лю­

бом участке ее

криволинейной оси, остается неизменной,

а

потенци -

альная энергия

деформации отрезка нити, движущегося вдоль

оси , не­

Пусть нить движется с постоянной ско­

ростью

v

. Будем считать

нить

невесомой,

нерастяжимой и обладающей

некоторой

жест­

костью на изгиб. Неподвижными

плоскостями

I - I и 1У-1У ввделим участок оси нити на

ведомой ветви

( рис.18

) .

В выделенный уча­

сток входит некоторая часть оси прямоли

-

нейного участка АС и участка входа

CD (см .

р и с.1 4 ).

Рассмотрим процесс деформации

ни­

ти при движении на выделенном участке,

В сечении 1 -1 , совпадающем в

началь­

ный момент

о

плоскостью

I —I , действует

си­

ла Г\, равная

натяжению ведомой ветви.П ро-

ведем плоскость Ш-Ш на криволинейном

уча­

стке нити

на

расстоянии

S it$ от

сечения

1 -1 . В сечении 3 -3 на отрезок нити, заклю­

ченный между сечениями 1 -1 и 3 -3 , действу­

ют силы, распределенные в сечении по зако­

ну трапеции. От сложения этих сил мы полу­

чим силу

Г ,

направленную параллельно

ка­

сательной к оси и приложенную на некотором

расстоянии

h

от центра

сечения.

Приведе­

нием силы

Г

к центру

сечения

3 -3

найдем

силу Т, приложенную в центре сечения

3-3

и

Iнаправленную по касательной к оси нити,

и

Рис.18.

'""некоторый момент 1 rr=Th. При этом

слсду-

ет отметить, что плечо

h меньше

d / 2

,

а момент

т не равен на­

гибающему моменту в

сечении

3 -3 , так

как

рассматриваемый

отрезок

нити не находится в

равновесии,

а движется, и его

потенциальная

энергия деформации изменяется.

При перемещении отрезка

S1i3 на

величину ciS вдоль оси

нити

он займет

положение

S{'3 ,а внешниесилы, приложенные в сечениях

1-1

и 3 -3 ,

совершат

работу,

равную приращению потенциальной

энер­

гии деформации

этого

отрезка

сШ . Уравнение работ

будет

иметь

вид

-T^cLS + TdS + m d f

= d U ,

(35j

где

с/«р — угол

поворота

сечения

3-3 при его перемещении

на вели­

чину dS по оси нити. Разделив уравнение ( 35 ) почленно на

dS и

приняв во внимание,

что

df/dS — 1/д

,

a m = Th ,

найдем

на­

тяжение нити'в сечении

3 -3 :

Г = 7 } + dU/dS -Th /р

,

или

+ / ? / р ) = 7"(

+ d U / d S

.

Так как

h < d / 2 ,

a

d « g

,мож­

но считать, что

.Это дает

возможность

получить

при­

Т — Т\ ■+■ d U /dS .

(36)

Потенциальная энергия деформации отрезка нити S , 3

при его

перемещении в положение

s [ 3 увеличилось

на величину

dU

.рав­

ную потенциальной

энергии элемента

dS ,

расположенного

над

се ­

чением

3 -3 . Для нерастяжимой нити величина dU может быть

опре­

делена

по формуле

dU =

У2 M d y

, где

М - изгибающий

момент

где Е1~В - жесткость нити на изгиб. В этом случае

М=В/д

и

dU =-тйг d f ■

Подотавляя значение

dU в формулу

( 36

),

получаем*

или,

r - T i + T T ~ * s ’

выражение

для

опраде

-

так как dy/dS — / / 9 , окончательное

ления

натяжения в

различных сечениях движущейся нити:

нити в соответствующем сечении.

Если в

некотором сечении

кри­

визна оси нити равна нулю, т . е .

9 = ©о

, то мы получаем

ра­

венство

Г =

7Г| .

Тот же результат мы получим, если проведем сечение 2

-2 на

расстоянии

5 (2

от оечения I - I ,

в пределах прямолинейного

участка

оси

нити.

В этом сечении

на отрезок, заключенный меж­

ствующая

Т

будет

приложена в центре сечения и направлена

по

оси

нити.

При перемещении отрезка 5(,г

на величину olS он

зай­

мет

положение

5 ^

. При этом изменение

потенциальной э н е р ­

вид

- Г,

dS +

TdS = О

и, следовательно,

T = T i ,

т .е . натяжение в различных сече­

ниях жесткой движущейся

нити

на прямолинейном участке остает­

стка с постоянным радиусом кривизны оси натяжения на

этом

участке будут одинаковыми во

всех сечениях.

Интересно отметить, что

формула ( 37 ) может быть

полу­

тенциальной энергии деформации при протягивании

нити

внутри

гладкой изогнутой трубки,

диаметр которой равен

толщине

нити

( р и с.19 ) . Протягивание

жесткой нити может быть

осуществлено

щина гибкой нити одинакова с толщиной жесткой

нити и

равна

диаметру трубки. На

р и с. 19' гибкая нить

не показана, так

как

ее присутствие лишь

обеспечивает наличие

силы

Г , направлен­

ной по касательной к оои в начальном сечении

протягиваемой

нити. 11уоть форма трубки

А8 такова,

что в

начальном

сечении

радиус кривизны ее оси

о о и на

всем

протяжении

изменя­

отсутствует. До начала протягивания ось нити прямая

(р и сЛ ^ а ).

Будем определять натяжение

Т при прохождении

начального эле­

мента dS нити вдоль всей

трубки.

При протягивании

на

жеоткую нить действует толь­

ко натяжение

Т ,

равное

натяжению в

начальном сече­

нии, и нормальные реакции

со стороны стенок

трубки.

При описанном стационарном

процессе работа внешних сил,

действующих на нить, должна

быть равна потенциальной

энергии деформации

нити.

В начале входа

нити в

трубку, пока

р -*-со .дефор­

мации нити не происходит, и

потенциальная энергия

де­

формации остается

равной

нулю. Но как

только

оказы­

вается, что р конечно, на­

чинается изгиб нити и

про­

цесс накопления потенциаль­

ной энергии деформации. Так

как работа нормальных реак­

ций, действующих на нить со

отороны стенок трубки, рав­

на нулю, то потенциальная

энергия деформации

будет

равна работе

силы

Т на со­

ответствующем перемещении.

Определим величину силы

Г ,

приложенной к начальному се ­

чению протягиваемой нити, в некотором

произвольном

сечении

1-1 труоки, на расстоянии

S

от

конца

А . Потенциальную

энергию деформации участка

S

нити, находящейся в трубке,

обозначим

через

U. После

перемещения

нити на величину dS

потенциальная

энергия деформации участка нити, находящегося в

трубке,

увеличится

на

dU, причем

d U

будет равно

потенциальной

энергии деформации начального эле­

ментарного отрезка нити, занявшего

новое положение, т .е .

ct(/=,±Md<f> = £ -

сЛр.

£

т

2у

Приравнивая работу

внешних

сил, действовавших на нить

при

ее

перемещении,

приращению

потенци­

альной энергии деформации, получа­

ем

TdS =

d f

,

или

Г — —

~ 2

^

'

$ z

Если к свободному концу нити

при­

ложена некоторая растягивающая си­

ла Г|

(

рио.20

) ,

то

уравнение-

работ

примет вид

-Т , dS -t-TdS

= ^ ° < f

,

и натжеаие нити в оечении

1-1

будет

определяться

ранее

выведен­

ной формулой

(

37

) .

Нет

оснований полагать,

что

Р ис.20.

натяжение

в сечениях протягиваемой

нити изменится, если процесс

про­

тягивания будет

осуществляться

не