книги из ГПНТБ / Сурков, К. С. Влияние жесткости нити на ее натяжение при взаимодействии с петлеобразующими органами трикотажных машин

нии на основе линейной интерполяции,

показывает, что

натяжение

ведущей ветви при протягивании вокруг

неподвижных стержней ока­

экспериментальных данных методом

равных сумм, подробно изложен­

ным в работе

П.В.Мелентьева [16]

и весьма

удобным для обработки

полученного

нами вида экспериментальных данных. С помощью этого

метода подберем показательную функцию вида

Тг = А + 5 С 'с ,которая

отражала бы

характер изменения натяжения Тг в зависимости от изме­

нения диаметра стержня.

Здесь А , В и С -

вычисленные

определен­

ным ббразом

постоянные,

t - номер соответствующей точки

на оси аб ­

сцисс. Уравнение искомой кривой имеет вид

Т = 7,11 +

4,43 -0,789':.

На рис. 13

эта кривая показана штриховой линией.

Рис. 13.

Следует отметить весьма

хорошее совпадение полученной кривой

с графиком экспериментально

определенного натяжения

Тг

ведущей

ветви при взаимодействии со стержнями различных диаметров.

Отме­

тим также, что при

т —> о о

,

что соответствует безграничному уве­

личению диаметра стержня,

натяжение ведущей ветви стремится к не­

которому пределу.

В данном случае этим пределом является

натяже-

^>min = 7,11 Н .

Наличие

этого предела подтверждает

ранее

отме­

неподвижный стержень, существенно

отличается

от

формы оси

абсо

-

лютно гибкой нити. Абсолютно гибкая нить входит на поверхность

стержня в точке а и сходит с нее

в точке Ъ

(

рис. 1 4 ).

В этих

Рис.

14.

точках происходит

скачкообразное

изменение

радиуса кривизны

оси

нити от р = с о до

9 = / ? +F/Z

( в точке

а ) и от

+ F/2

до 9 = 00 ( в точке

b ) . Назовем угол

охвата

гибкой

нитью стержня

схт теоретическим углом охвата,

а

точки

а

и

b

соответственно

точками теоретического входа и схода нити с поверхности

(

при

движении нити в направлении, показанном

на

р и с.14

)

[31] .

При охвате того же стержня жесткой

нитью изменение

радиуса

кривизны ее оси происходит плавно. На обеих ветвях

нити

можно

выделить некоторые участии АС и НВ, достаточно удаленные

от

точек входа и схода ее с поверхности стержня,

на которых

ось

нити практически прямолинейна и параллельна Оси

соответствующих

ветвей абсолютно гибкой нити. Измене­

ние же радиуса кривизны оси

жесткой

нити

происходит

на двух

участках СВ и

ЕН .

СВ является участком входа , а

ЕН - участком схода нити с

поверх­

ности стержня. 11а участке

СВ

радиус

кривизны осп

нити изменяется от ^ -^ сю

ко

д = Я + F/2

,

а н а

участке ЕН- от

р =

Я + F /

2

до

§ -*■ ос. .

На участке

же BE

непосредственного

контакта

ни­

ти со стержнем радиус кривизны

оси

нити

будет

j

=

R + F/2 = const.

Нали­

чие

участков

СВ vi ЕН

,

на

которых

происходит

постепенное

изменение

ра­

диуса кривизны оси нити,

.оказывает

определенное

влияние

на величину утла

охвата стержня жесткой нитью. Дейст -

вительный угол охвата

<хд

оказывается

меньше

теоретического

утла охвата

с*т .

Эксперимент показал, что величина дей­

ствительного

угла

охвата

о д

зависит

от жесткости

нити

В = Е1

,

величины

натяжения

ее

ветвей

Г,

и

73,

и диаме­

тра цилиндрического стержня, через ко­

торый перекинута нить. Для определе -

ния разности между величиной теорети­

ческого

а т

и действительного

а д

у т -

рис

лов

охвата

рассмотрим

одну из

ветвей

нити. Будем

полагать,

что

нить

обла -

учетом больших деформаций [14,25] нити и ее

жесткости

при изги­

бе. Будем считать, что нить перекинута через

стержень

радиусом Я

что натяжения обеих ветвей одинаковы и равны

7"^ . При этом

нить

располагается

симметрично

относительно вертикальной

оси,

прове­

денной через центр сечения стержня.

На р и с.15 показана форма оси

левой ветви

рассматриваемой

нити.

Здесь

а т

и

Л д

-

левые половины теоретического и дей­

ствительного

углов

охвата;

g = /?

л-Г/Ъ

- радиус кривизны

оси

нити

на стержне;

точки

А ,

С ,

D

и

а

соответствуют

точкам

на

р и с.14.

Из рис. 15 видно,

что разность

между

а Т( и

отр авн а уг­

лу

jj'j

между касательными,

проведенными к оси нити в

точках С и

В

,

причем касательная в

точке

С параллельна касательной

в

точке

а

, и следовательнр,

ЙД| =

01 т, “

(fl

•

(6)

Так как

натяжение

нити

на прямолинейном участке

АС посто -

янно и равно

Ti , то в сечении

С

на

нить также действует

сила

Т| ( рис. 1 6 ).*Цля определения

натяжения нити в произвольном сече -

нии участка

СВ проведем

плоскость

I

-

I

на расстоянии

S от

о е -

чения

С . В результате приведения всех

сил,

действующих на

ниж­

нюю отсеченную часть ветви,

к центру сечения 1 - 1 , получим

си­

лу . F , равную и параллельную силе

,

и момент М

,

равный мо­

менту силы

относительно

центра этого сечения. В сечении

2-2,

лежащем в плоскости П-П, проведенной на

расстоянии

S+dS от

на­

чального

сечения

С ,

будет

действовать

сила

F, , равная

и

па­

раллельная силе

T i

,

и момент

М (

= М + -а 7 М .

На

р и с.16

показан

элемент

dS

нити и действующие

на

него

силы и моменты.

Моменты М

и

показаны по

направлению их дей­

ментов направлены перпендикулярно к плоскости, в

которой

распо­

ложена нить. Найдем главный вектор и главный момент всех аил,

действующих на элемент

dS ,

относительно

центра

сечения 1 -1 .

Представим элемент как

вектор

d S - d S v °

> где

*с° -

единич -

ный вектор касательной. Тогда

выражение момента силы F (

относи -

* > Ввиду того ,

что диаметр нити очень мал,

здесь

и далее

сечение’

нити обозначаем

одной

буквой.

ветствующеы сечении. Так как направление касательной к

оси

нити

на участка CD не остается неизменным, то и проекция

постоянной

силы

Г,

на касательную будет также различной в разных сечениях.

При

этом

натяжение в любом сечении будет Т = Т( cos у ,

где

jj" -

соответствующем сечении. При переходе от сечения

С к сечению

D

по мере увеличения кривизны оси нити угол

f

возрастает, и в

се­

чении D

натяжение нити

5

= 7I

co sr i -

(9)

Для дальнейшего анализа характера

изменения

натяжения

Т

в

различных сечениях участка

CD

спроектируем векторы, соответст­

вующие дифференциальным уравнениям равновесия (7)

и

(8 ) на

оси

главного

трехгранника (

т * ,

п *,

Ь* ) .

Следует отметить, что

оси главного трехгранника, направленные

по главным осям деформа­

ции

нити

( т : * - главная ось кручения;

п* и Ь* -

главные

оси

изгиба), в общем случае не совпадают с

направлением

осей естест­

венного

трехгранника (

<г , П ,

b ) ,

направление которых связано

с геометрией оси нити в соответствующей

точке

(

т

- касательная,

п

- главная нормаль,

6 -

бинормаль ) .

Однако в рассматриваемом

эти оси совпадают, что дает возможность спроектировать

векторы,

соответствующие уравнениям ( 7 )

и

(

8

), непосредственно

на оси

естественного трехгранника ( т

,

п

,

Ъ ) .

М .взя­

Предварительно выразим производные от

векторов F

и

тых в неподвижной системе координат, через относительные

(локаль­

ные) производные от этих же векторов,

но уже взятых в

подвижной

системе координат:

ctP/dS = 5 F/dS + [со х F ]

,

dM/dS = d M / d S

+ [ со x M]

,

38

dQ/dS =

-

7- Q

,

(15)

d M / d S

-

-

Q .

(16)

Уравнение (16) может быть 'несколько преобразовано, если вы­

разить

изгибающий момент

М

через

кривизну и ж есткость:М=Е1/у.

Заменяя

1/<j>=Q

и подставляя

полученное

значение М в

уравне -

ние

(

16 ) , получим

EI

dQ.

(17)

dS

Таким образом, в окончательной форме будем иметь три диффе­

ренциальных уравнения

( 14

) ,

(

15

)

и (

17 ) .

Разделив ( 14 ) на ( 17 ),

найдем

d Т/dQ —- Е I Q

, .или

ЫТ — —Е I Q d Q .

чим

После интегрирования

полу­

T = - F J Q 2/2 +L .

(18)

Произвольную постоянную

интегрирования L определим ис­

ходя из условий входа

нити

в

точке

В

на поверхность стержня

( рис. 17 ) . Натяжение нити

в

точке

J)

определяется формулой

( 9

) ,

а кривизна оси

Qs = i/ \

После подстановки в ( 18 ) най­

дем

L — Т\ cosy.,

+ EI

/

2 Rf .

Окончательно

T = T c o s r , - h — F I — .

гя\

г

вхо­

В полученную

формулу

дит искомая величин

у ,

.

Для

ее определения воспользуемся из­

вестными

нам условиями в

точке

С . Для сечения С имеем ТС=Т\

Рис.17.

и

Q c =

0 . Подставляя в

(1 9 ),

получим 7', =

Т( cos f, +■

ЕI /

2.R\

,

что дает

С05 in

=

* -

2 EJ1 ~г

-

(20)

Таким образом, угол

между

направлением касательных в

точ­

ках теоретического и действительного входа нити на поверхность

стержня может быть найден по формуле

r' = anH

' - T ^ f )

•

<и)

Отсюда величина левой части действительного утла охвата

на

основании формулы

( G )

будет

EI

<*д, = сХт.,-arc cos ( I

( 22)

2 7

Выражения ( 20 ) и ( 21 ) дают возможность определить вели­

чину разности

^

между левыми половинками

теоретического

а Т)

и

действительного с*Д) углов

охвата, а формула ( 22 ) - величину ле­

вой половины действительного угла охвата.

Проведя

аналогичное

рассмотрение

правой ветви нити,

можно

го угла

охвата

о1Да .

В случае симметричного расположения ветвей

нити при равных натяжениях

(

Т\ =

Тг

) величина

полного

действи­

тельного

угла

охвата

о(.д= а д + а Да =

2 о( Д|

и будет

опреде­

ляться формулой '

cxA =

oiT- 2 a rccos^ l

-

,

.(2 3 )

где^

Г -

величина

натяжения ветвей

нити.

Формула ( 23 ) дает возможность установить характер завися -

мости величины

а д

от

жесткости

EI нити,

натяжения

Г

ее

ветвей

й радиуса R цилиндрического стержня, через который она перекину­

та.

При постоянных

Г

, R

и

otT

действительный угол

охвата

бу­

дет тем больше, чем меньше жесткость

EI

нити. При уменьшении же­

сткости

разность

между

а т

и

а д уменьшается, а в

случае

абсолют­

но гибкой нити, когда

E I -

0 ,

будем

иметь о.д =

о1т .

При посто­

янных

, EI и Г величина

а д

будет различной при

охвате

ни­

тью стержней различных радиусов (диаметров), так как R{ - R+-F/2.

Отличие

а д от

сц

Судет тем больше,

чем

меньше диаметр

стержня,

через который перекинута пить. С увеличением натяжения

Г

ветвей

нити

( при постоянных

a T ,

Е I и

R f) действительный

угол

охвата

а д

возрастает,

и при

Т —*■сю

-»■

с(т .