книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

80

Найденная

простейшая

бесконечно

малая,

эквивалентная

данной, является ее главной частью.

Итак,

главная

часть

oi(x)

равна

j_

'

С

-

х У

Пример

2 .

Найти

главную

часть

бесконечно

малой

х + /

сс( X) =

при

X. —-СО

Сравним

<Х.(Х)

с

простейвей

бесконечно

малг.й

в

данной

шкале, т . е . jS{x)=-L

:

eim C E ± i i * = /

при л-

=3.

X - *o e (х*+-

f)

Тогда

Главной

частьо

о с ( х )

является

бесконечно

иалая

(•—)

Пример

3.

Лычвслить

приблихенно

COS f".

Так

как

{-COSX-

х г ,

то

/ - c o S x

= ^ х г п р и

х

,

близких

к

0.

Тогда

cosxst

1--*-x.z.

Возьмем

X =

/ * = - 2 L

Z

= 4 г 7 Г

~

° > 0

Z •

радиан

Тогда

C O S / 0

*

ISO

•

_ z

г

i'"±(OtQzf=1-0,OQte=0,9998.

Итак,

W i / " «

0,999».

§

14.

Классификац,:«, порядок

и главная

часть

бесконечно

большой

дувший

Все

рассуждения,

проведенные

в

предыдущих

параграфах

от­

большие функции. Они классифицируются

аналогично:

I . Бесконечно

большая и(х)

называется бесконечно

боль­

шой

в ы с ш е г о

п о р я д к а

по сравнению с

беско­

нечно

большой V(X)

,

если

йт

HiSk

= о о

81

Например,

при ж — « о

u(3c)=xs*-

S

и V(x.) =

х.-{

яв ­

ляется

бесконечно

большими;

»•

а(х)

»•

xs+2

_

^_

Х-о»о

! - » « , X— 1

Поэтому

и(х)

-

бесконечно большая

высшего

порядка по

сравнению с

v(x) .

2 .

Бесконечно

большая

t/fa:>

называется

бесконечно боль­

ной

н и з ш е г о

п о р я д к а

по сравнению с

беско­

нечно большой V(x)

,

если

•Х-+з:0

1г(Х)

ii

этой

случае

v(x)

- бесконечно большая высшего поряд­

ка

по сравнению

с

u f o e ) .

Например, ц ( ж ) =

*

и vex)

= —

бесконечно

боль-

пше в окрестности

точки

хв=

£

j

1

'

з

т . е .

-

бесконечно

большая низшего порядка по сравнению

с

гг(эе} . Здесь

v(x)

умеет высший

порядок

по

сравнению

с

и ( ж ; .

3.

Две бесконечно большие называются бесконечно больши­

ми

о д и н а к о в о г о

п о р я д к а ,

если

Birn

= с

, где С Ф О -

конечное число.

vtx)

Например, и(х)=

^

- ^

j

vvtx)=—

при а: — о

явля­

ются

бесконечно

большими;

поэтому

i/CcO

и v f x )

имеют

одинаковый

порядок.

Бели предел отношения бесконечно больших равен I ,

то

они

называются

э к в и в а л е н т н ы м и .

Например, и(х)

= Zх£-3

эс + /

и

v(x) = 2x*+

/

эквива­

лентны

при х -~<х»

,

так как

ж-»е«э UCX)

ое—оо 2x*-*-f

Очевидно, теорема о возмохностх замены бесконечно боль­

ших на их эквивалентные

при вычислении

предела

отношения

82

справедлива

и доказывается

так

же,

как

теорема

г,

§

2 .

Ц.

Если

предела отношения двух бесконечно больших

не

существует,

то

они

называется

н е с р а в н и ы ы ы и .

ЗЕ

Например,

u

W

=

^

n

V(x)

= х

-

бесконечно

большие

при

ас

— » о с .

ilnxx-£Lrri

Но & m

^ / ^ 1 ' ^ ' т

I I T J I

н е

суиествует,

по-

этому

irfse)

и

i / f x ;

-

несравнимы

друг

с

другом.

П о р я д к о м

бесконечно

большой

u f x )

относительно

бесконечно

больной

V(x)

называется такое

число

к

> О ,

при

котором

х - » х 0

LV(3cU*

где

с

'ф О

-

конечное

число.

Например,

и(х)=х*~

/

имеет

второй

порядок

относитель­

но "У(а:):=-гжа пин

а с — « э

,

так

как

tint

-—-—J _ J '

— & Л 1

——

7"J — ~ .

Порядок

бесконечно

большой

определяют

ооычно

относи­

тельно простейшей в данной шкале. Так, если

и(х)

-

бесконеч­

но

больная

в

окрестности

точки х0 =°«=> ,

то

ее удобно

срав­

нивать

с

i f Сое) ж х . При х . - « х 0

,

где

Х0

-

конечное

число,

за

простейшую

бесконечно

большую берут

v(x)

=.—— .

Простейшая

бесконечно

больная,

эквивалентная ж *заданной

в данной шкале, называется ее

г л а в н о й

ч а с т ь ю .

Пример I .

U(x)»

а з д + /

~ бесконечно

большая

функция

при

х - * о о

. Сравним

ее

с

простейией

в данной

шкале,

т . е .

с

v(x)=

=

х

:

р.

и(х)

_

z x s

"JZU

№x)F~

s^L

(х>-3я«)х*~

а

при

К-2.

Тогда

и(х)

~ а х !

Главной

частью

и(х)

является

бесконечно

большая

2

ж * .

Пример

2 .

Найдем

главную

часть

бесконечно большой u(x)z

при

ас ~ W .

ft*

^

^

Я

=

Rm

(x-0(x+/)

=

/

/р</

K-i.

as-*/

as* - /

a . o /

Z

"

_

i

Контрольные

вопросы

и примеры

1 а

Сравните

ыекду

собой сл едущие бесконечно

малые:

a)

<2зе -

ж *

и

зс

при

as —*-Q ;

б)

-/зГ

и

~

при

я - » + в о .

2о Сравните нежду собой следующие бесконечно большие:

**)

т

и

X

при

:

б)

и

——т-

при

се — > / ;

b) 2 с £ 5 — З х г - И

л

ж 3

при

сс—»<С«=» .

3.

Покажите, что

при

ж — » /

,

бесконечно малые величина

( У - з с , )

и а ( i-fx

)

,

rg,e

аФ

О к

к

> О ~

целое

число,

бу­

дут одного порядка малости. При каком значении

а

они

будуе

эквивалентны?

4 .

Вычислите данные

пределы:

.

„.

1cos

эс —^со5

х

;

а )

Вит.

;—-——

г - о

s i n * *

б)

dim

(/ - iosce)

ctgx

;

ж - *о

»

в )

& т

•

Г ) & ' т

х

- sin.231

ж

~*

.

„

•я—о

з: -* Д

I—Zcosac

в )

ftm,

-

s m x - ^ g

5 .

Определите порядок

каждой

из

следующий

функции:

а )

— у * *

втпоситедьио

ж

при

at-

б)

зСа(У?+се

- /,? относительно

ж

при ж — О;

У ж ' 0

в )

— ~ = —

относительно

сс

при

х

—""О;

г ) ( £ ж —Sx

относительно х

при

а с - *

д )

- = т — —

относительно

—

пои

х — » * * о -

ч а / ^ : £ с х

относительно

/

при

ас —

в )

-3——

— -

б)

"

при

сс — • + о о ;

СС -И

В) —

L

—

При

СС

» о-о;

г )

- £ с с

-

fi-Зх

при

- х — » 0 ;

д )

S i n

~ -

при Се — > * х > ,

/ / 4 - Х

,

е )

(/-—

при

ос—»

/ ,

| / — sc

s )

а г 3 - З ж

+ 2

при

х—»

/ ;

з )

/

при

з а — " У .

— : — = —

Sin

Кос

Дополнитеяьные примеры

БЕРИАН Г.Н. "Наука", 1969,

Э 322,

327,

329,

330,

333,

334,

336,

340,

342,

345,

347,

349,

389,

393,

395,

405,

407,

409,

« К ,

412

( I , 2,

б,

9,- 10,

12),

425

( I ,

6 ) , 426 ( I ,

3 ) .

86

Lj

-

возраставшая функ­

ция

на С Of +*9?J.

Возрастающие

или

убывающие функции

назы­

ваются

ионотонныии

на

соответствующем

множе­

с т в е .

|

Рис. 47

§

16. Признаки

существования

предела

Из гл . П нам известно,

что далеко не

все функции

имеют

пределы в предельных точках области своего

задания.

Напри­

мер, yssinx

не имеет предела прих — « с о .

Естественно

тог­

можно

судить

о наличии или отсутствии предела функции?

Ко­

нечно,

такие

признаки существуют. С одним из

них мы уже по­

знакомились

в гл . П. Это теорема о сжатой функции, на

осно­

вании которой было доказано существование предела у

функции

Sinx

.

тригонометрический

. •

у — — — —

при ас — *0 (основной

предел).

В этом параграфе мы познакомимся

еще с одним признаком

су ­

ществования

предела.

Теорема.

ЕслиуЧзс) - монотонна на множестве X

к хд

-

пре­

Доказательство.

Пусть /(х)

возрастает на множестве X и ха - предель­

точки хв

, например, левую, т . е . и(х)сX

,х<ха,

I .

Пусть у (з:)

-

неограничена в и(хд)

, х

<хо

и

воз ­

растает.

Тогда для любого £*> О

найдется

такой

хЧи(х)

,

* * < з ^

,

ч т о / ( а § > £

. Так гак

f(z)

возрастает в

и(х) ,

Яе<ссв

,

то для всех х>х*ух0

, и подавно -f(x) >£ „

f . e .

для в е к

ж

, удовлетворяющих неравенству/зе - х 0 /<

</ае - з^/,

выполняется

неравенство f(x)>E

. Итак,

для

лш~

Sim

ffx)

Elm. f(x)

= rn

Рис.

54

Рис.

55

Полезно

обратить

внимание на

следующие

з а

л е й -

н и я

к этой

теореме:

I .

В теореме

утверждается

наличие только

односторонних

пределов для монотонной функции. Это совсем не значит,

что

существует предел функции в данной точке.

Например,

функция

-

возрастает

при

ж е ( -

х £ О „

Точка

Хо=0

- предельная

точка множества

X

= ( - о в , * в о ) ,

хФ

О

Тогда

существуют

Sim

и & т

А х ) ,

причем они конечны, так как

ОС-»С-0

функция

ограничена

в

ок­

У

рестности точки

xg=Q,

дей­

ствительно, Rmf(x)=

- /

,

ein^f(x)

= *T

.

Теорема

1

выполнена. Но & т

/С ж )

не существует,

так

как

од­

носторонние пределы не рав ­

ны между

ообой

(рис.

5 6 ) .

-1

2. Доказанный

признак

существования предела

явля­

ется достаточными

но не

не­

Рис,

56

обходимым. I . e . , если

функ­

ция монотонна к

ограничена,

то

соответствующий односторонний

предел существует н конечен, обратное неверно, т . е .

если

функция имеет конечный предел,

то

она не обязательно

является

монотонной (при существовании конечного предела

ограничен­

ность

функция внпоаняется. обязательно, а монотонность

-

с о в ­

сем не

обязательно).