Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Г л а в а

1У

СШШБНЖ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ

§ I I . Классификация бесконечно палых

В предыдущем параграфе мы убедились в том, что предел отвеиеккя двух бесконечно малых может иметь различные число вые значения в зависимости от нх вида. Очевидно, что резуль

тат вычисления предела	в этих случаях зависит от	быстроты
стремления к нулю бесконечно малых, стоящих в числителе			и
знаменателе. Быстроту	стремления к нулю бесконечно		малой

можно оценить, сравнивая ее с какой-нибудь другой бесконечно

махом.

Введен

следующую классификацию.

Бесконечно

малая

ОС (ж)

называется

б е с к о н е ч

н о

м а л о й

в ы с ш е г о

п о р я д к а

малости по

сравнению

с бесконечно малой

j 8 f x ) ,

если

предел их охнове-

ния равен

нулю,

т . е .

Конечно;

здесь

функции

аС(х)а

JS(x)

подразумеваются

бесконечно

masLZ

окрестности

одной и той же

ТОЧЕН x q ,

Хот

факг,

что Л (X)

бесконечно махая

высшего

поряд

ка вахоетв

по

сравнению с

& (зо),

обозначают

таг:

ОС (58)

~8[f(VC)].

Пример. cefg> а Д ш * Я 8

=38

явяявтся

беско

нечно жахшв s ожреетвоегн точки

х о = 0 .

Найдем предел

иг

етношеаая;

ест £@L- =£im

= Sim ^H3L . £im

sinx^o

Тогда

sin*x

0[х].

2 .

Бели

предел отнонения двух бесконечно палых

равен

бесконечности,

стоящая

в числителе,

называется

б е с

к о н е ч н о

м а л о й

н и з ш е г о

п о р я д к а

по сравнению

бесконечно

малой,

стоящей

знаменателе,

T . e „ s

л •

ОС(Х)

если сип

=оо , ю сс(эс) -

бесконечно

малая

низшего

порядка

rfe

сравнению

B(3L\ Очевидно,

при

этой Sim

kg.

т . е . ос

(ос)

бесконечно малая высшего порядка малости"

по

сравнению

с J3(x).

Пример. ос (х)=^Щ

и £(рс)-ос

- являются

б е с

конечно

малыми

окрестности точки х.0

= 0.

Найдем

предел

их отношения:

S ft/77 „,

1и„1|

• ..,

•—— — о«а .

sfc*({f+fx

'-ST;

Тогда ос (ас)

бесконечно малая

низшего

порядка по

срав

нению с J}(3c),

свою

очередь J3(&)

бесконечно

малая

выс

шего порядка малости

но

сравнению

ос (ее)

3 .

Если

предел отношения двух бесконечно малых

равен .

конечному ненулевому

числу,

то они называются

б е с к о

н е ч н о

м а л ы м и

о д н о г о

п о р я д к а

ма

лости ( т . е . одинакового порядка).

то c£(se) и

А именно,

если Sim

J - f f ^ e c ф &

JSC3Z)

бесконечно малые одного порядка малости.

Пример. cc(sc)-(ccs-0 и j3(3G)=(se-f)

бесконечно

малые

в окрестности

точки

х0

I . Найден

предел

нх отнозенащ.

Ит

= Urn

iim

Cat*/)

Тогда

сСДОи

jSCse)

бесконечно манне

одного

порядка

малости.

Если

предела отношений двух бесконечно малых не

с у

ществует,

то

они нааававгея

н е с р а в н и м ы м и .

Пример. cL(az)-xsiri.~

и J>{X.J~^

авлт.ютез

бесконечно

калныи

в окрестности

точки

ecu

Но йт

~ — « = ^ m . с у - я е с г в у е т .

По-

Я-ЬО

Ж*©

»ч>о

л .

этому бесконечно малые cXfce)n £(зс) несравнимы между с о бой.

Теорема. О порядке произведения бесконечно малых. Произведение двух бесконечно малых имеет высший порядок

малости по сравнению с кахдыы из сомножителей.

					Доказательство
	Пусть	оС(Х)	и		- бесконечно малые			в	окрестности
точки эсд		. Рассмотрим			функцию	tf(x)	= сС(ос)J)(ptH Так			№к#(х)
-	произведение бесконечно малых,					то	она в свою	очередь		также
является бесконечно малой в окрестности точки								х 0	. Сравним
ее	с каким-нибудь из			сомнокителей, например, с					oi(x):
х - з ^ осroc;			a r ~ * 0		ocfao		г - * / 4
	Но это означает,			что
			й(Х)		=	0[оС(х)].

Аналогично

Итак теорема доказана.

§ 12. Эквивалентные бесконечно малы* я теоремы о, них

	Из класса		бесконечно		малых бдянахового порядка			малости
выделяются		т е ,	предел отношения которых равен I . Такие						бес
конечно малые называются					э	к в и в & £ е н т н ы н и.			Да
лее будет видно, что понятие эквивалентных бесконечно									малых
играет больную роль при вычислении пределов.
	Итак,	если		8im ^j^j	-i	» то бесконечно	малые	<Х(х) и
fl(x)	называются			эквивалентными. Тот факт, что<Х^х)и					J3(&)
- эквивалентные				бесконечно малые, обозначается			так:
				CC(x)~J(X).
	Пример. По основному				тригонометрическому		пределу
				Bin
!огда				sin х	~	х .

73 Если две бесконечно палые имеют одинаковый порядок малости, т . е .

&гп2^1=С

to. то

&т - 2 ^ 2 = * , и л и

сс(сс)

^Cj(sc),

Очевидно, что эквивалентные бесконечно палые

обладают

следующий свойством:

если e x j g ( з $ ,

^(х)

X(x)s

то

сс(х)

ъХ(х)»

Действительно, так как аС(х)'^р(х)

яJi(x)

'vXfa),

г ° е и

п -?ёгг

i m

= i . Но

тогда

*~m.X(X)

*-*.LJW

Теорема i„ Условие эквивалентности бесконечно малых.

для того, чтобы две бесконечно малые были эквивалентны,

необходимо и достаточно, чтобы их разность была

бесконечно

малой высшего порядка малости

по сравнению с каждой из них.

Доказательство

Необходимость. Пусть©Gfcc,)

и ^ ( х )

- две эквивалент

ные бесконечно малые, т . е . ££mj^j

=/ .

Рассмотрим их

р а з

ность <х(х) —^(х)

Х(х),

ж ко?8рая

по свойству

бесконечно

ма

лых также является бесконечно налой в окрестности

точка

х ь .

Сравним

8(х)

с какой-нибудь из данных бесконечно

малых,

например, с

ос(х)

•

я+Ч,А(Х)

сС(Х)

» * в . 1

сС(Х/

так как o c f x ) ~ £(х).

Но это

означает, что

0£aC<tcjJ. ~~

Аналогично проверяется, что У(х)-

0[j5

Достаточность. Пусть

^fx)=cC(x)-jfs)-

бесконечно

малая

внеюего порядка малости

по

сравнению с « . ( а у

жf(x)

т . е . 8im~~=0

и Bim

-£Ш=0

. Надо доказать,

что

сс(х)^У(ху

. Найдем предел

их

отноиенвяг

т . е .	cL(x)~			JS(x).
Итак теорема	доказана.
Пример • „ос. fie)=Ф		я	и J(X)	*sinx-	Зескояечио малке в
окрестности	точки х 0	«	0. Они эквивалентны друг другу. Дей-

ствмтажьво,

Sim	- f e -	= eim	S m a c . .	= & m		— = /
	Тогда вас раз so с		авда атс а бесконечно			малой	внсдого по
рядка малости по сравнению е каздо! из них. А именно:
ton	-&ХУ-В1т.		% * - & i x =		б £ т Unx(		t-cos	g ) _
Ж-«o	j f f W	Ж-»о		rtftx	x-*o		sinx	cosx

	= si-rn — —		— — г ? .
	аг-*о	COSас	/
Но так	sax s i / i x ~ ж	, р а з н о с х ь ^ г - s i n c e ) -		бесконечно
уадая	вненего порядка	малости	по сравнению с ж	, т . е .
		tqX	Sinx

Sim -2-

о.

ж - * о

Теорема

2»

Предел отношения двух бесконечно малых не

измените*,

вехи числитель

и знаменатель

заменить

на

эквивалентные

бес

конечно

малые.

Доказательство

Пусть ес(х)

J3(x)

бесконечно малые в

охрестяое-

тн

ТОЧКЕ

хв

к &.{х)

ос*(х),

^р(х)

^fl*(X)

Рассмотрим пре

дел

их

озаояениа:

ос*СЖ>

эк - з^

j S T x )

г - » as,

х-*хд

JS7X)

так

как ос/2с;~<зс*Г св)

и ( a y

~ ^ * f a y .

Что

и требовалось

доказать.

Пример.

move

*шк

5 i r t Зое

Зх ,

сс .

Доказанная теорема 2 д&ег ВОЗНОВЕОСТЬ значительно

об

легчить

вычисление

пределов

случае неопределенности

( - ^ - Х

Дейсгвштедьно,

еела т

будем кметь

набор

эквивалентных

соох-

яоаеаинв

so прв

ВНЧИСЛЗЕПВ пределов

иесшо

заменять

слоеные

75 бесконечно м&ане более проетшн, эквиваавнзныыи данным,, По лучим некоторые эквивалентные соотноавния дав тригонометрии ческих функция.

	Основнне тригонометрически эквивалентности
Здесь все		функции рассматривается		ЩЗЕ ас—»0„
1 .	sin ж	~ з с .
Это	еоотионеине		нам уже известно	(основной грэгоноыет"
рнческия	предел).
2.	i — COS ~		— .
Действительно
		г	*	&	•
так	как

4 . arc sin ог ' v ж , поскольку

5 .

srctcj

Ж ~ X .

Действительно

arc to ac

arctqsi-

gim—=f—=

«/n

_ _ £ _ = /

еде

x—0

Полученные

эквивалентные

соотношения

давг

возможность

вычислять пределы, связанные с

тригонометрическими

функция

ми,

заненяа

тригонометрические

бесконечно

малые

на

эквива

лентные

га

алгебраические

знражевдш.

Нрн ренеиии

таких

при

меров надо,

однако,

строго

сяедать з а

тем,

чтобн речь

аза

действительно о бесконечно малых. Например, заменять

sin

на

да

мозяо только

в случае

если эв — 0

. При

ОБ - »

этого делать неаьзж. Кроме

того, ееаз

варазейив

встречай

етса разность двух эквивалентных бесконечно ишак,

то

ssse-

нять

вычитаемое

в уыеяьваемое

на общув эквиваявнтвув

боеко»

76
нетао	кадую нельзя,	так	как	тогда иг р а з н о е » обратится		в
ноль,	хотя на основании		теоремы I , она дояяаа давать			нехс-
горуз) бесконечно m a y s			высвего порядка маяоетв.		Напрвнвр,
		г ^ х —		5 w x
прк вычнсяенин J t m		•	-^р	заменить ^ х	g j i n x	аа

сснельзя5 а надо рассуждать так:

		Bun	t $ * ~ 3	i n x =8im	* п	sa'cosx	я
		2г-»0	CD	ае-»о		sa'cosx
oc-*o	32	cc-»o	x	я - * о	COSX	X'->0 ОС	Л

Рассмотрим некоторые примеры использования принципа з а мены на эквивалентные бесконечно малые.

Пример I .

am	si?i*	=ат.		^	=	4 .
ж - * о	to Set		oz-+0		Sec	о
Пример		2 .
ж - Я	^ Sac				S(3i-y)	y - * o	tq(SSi-Sy)
где сдешна		замена	переменных у = . Я ' - с с ,				^
Пример		Э.			р	_Л _ oe-fflC	s L	х - о С
	* • - « * *		-	£	3 с	(х - о с )сх - о с ;
ZoC	х - » е х ас-ос,				оС	х-»сс а»-ос

В следувшей главе будут рассмотрена еще некоторве экви валентности, связаннее с логарифмической, показательной и степенной функциями.

t		§ 13. Порядок бесконечно малой в
			ее главная	часть
	В § I ,	гш. 1У т	познавонняясь с ионятйен			бесконечно
юлой	аневФГО порядка иалости so			сравнейкэ	с другой	<Se$se<°
вечно	маяо!»	Очевидно,	дла одной	и той se	бвекэайчао teaaea

77 можно построить бесчисленное множество бесконечно малых выс-

вего	порядка с разной' быстротой			их стремления к нулю., Напри
мер,	по сравнение	с	бесконечно	малоВ ^ ( х ) — х		при ос—'•О все
бесконечно малые		x z ,	Xs , ...	х"" ,	...(п>/)	будут	выс
шего	порядка. Но эти бесконечно			малые	по сравнению друг		с

другом тахне отличаются быстротой стремления к нулю. Поэтому

полезно ввести какой-нибудь критерий, позволяющий

оценить

эту быстроту стремления к нулю бесконечно малой

количествен

но.

иведеы для этого понятие порядка одной бесконечно малой

относительно

другой.

ос(х)

•

Если

сит

j-o {

#0,

где

конечное

число,

К} Q

, oCfSjn

°ji(X)-

бесконечно ыаяые

окрестности

точки

z 0

то

говорят,

что

ос (х) - бесконечно

ыаяаа

- г о

п о р я д к а

о т н о с и т е л ь н о

^(х)

„

Пример. <х(х) — /-дкхиыеет

второй порядок иадостн отно

сительно^(з:)~х(х-ьО! . Действительно:

Ест

J ^

= вит

_£.=

' .

Для

того,

чтобы

определить

порядок одной беекоаечно ш -

лой

ос (х )

относительно

другой

в(Х)

надо

подобрать

подо-

вятеяьиое

число

так, чтобы

где

конечное

число.

Пример. Определить порядок

ос f x ) —f —3tfx

огносктальио

^(х)

i — х

при ж - * - / .

Найдем

предел

отношения ос (х)

к [J$(x)]K

попробу

ем

подобрать

число

к >О

так,

чтобы предел

кх

етяояення

давал

конечное

ненулевое

чясло:

г — —

с с ( х ) - _

{Г~Х

если к — 4 -

Если

, т .

Если

к У

j -

, то

Elm

Конечный

ненулевой

предел

отношения получится

только при

K=g-

• Итак, ос(зс)

имеет

относительно J>(&)

порядок

/f--|- „

Понятие порядка бесконечно малой, как и понятие

самой

бесконечно

малой,

является

локальным, т . е . связано

точкой,

в окрестности которой мы рассматриваем заданную

функцию.

Например функция ос(х)=(х-

/)е,(х+£)*'-

бесконечно

малая вто

рого порядка относительно

(ос—О

и третьего

порядка

относи

тельно

( с с - ь й ) .

Для определения то рядка различных бесконечно

налнх вы»

бираю1

обычно

какую-нибудь

одну

бесконечно малую,

которой

сравнивают все остальные. За такой "эталон" принимают наибо лее простую бесконечно малую в окрестности данной точки. Так, если рассматриваются различные бесконечно малые в окрестнос

ти

точки

хв

( хд

конечное число),

то

простейшей

явля

ется,

очевидно^^з: )^(х

—ха).

В частности,при

л-—О

прое-

тейвей

бесконечно малой

б у д е т ^ ( х ) = х

. При анализе

беско

нечно малых

в окрестности точки хо=о=>

за

простейшую

выби-

раютfl(x)

—

и с

ней

сравнивают все

остальные. Если

опре

деляется порядок бесконечно малой относительно простейшей

бесконечно малой, то говорят о порядке

бесконечно

малой в

д а н н о й

ш к а л е .

Таким образом,

порядок

бесконечно

малой

сС(х)

в шкале

Х0

называется такое число

к)о

прн

котором

ос

fx)

с ( х

—X0)*J

где

конечное

ненулевое

число.

Аналогично, порядок бесконечно малой ос(х)

шкале х=<х>

называется

такое число

к}

, при котором

Пристойная бесконечно иалая в данной шкале,

ахвив&аеят»

ная

од&аной,

называется

ее

г л а в н о й

ч а с т ь

Б .

Хякжм

образок,

гя&вн&а часть бесконечно налой сс(х)

ops

ж " * ж г в

( х

*онечное

число) имеет вид

С ( х - х 0 ) \

Глазная часть

бесконечно

малой ос

(х) при

—*• схэ

Так

как

ос(х)

эквивалентна

своей главной

части,

т . в ,

предел лх

отношения

равен

I , то они отличаются

друг

от

друга

на бесконечно палую висшего порядка малости.

Действительно,

бесконечно малая

в окрестности

точки х_ .

Хогда

ос(х)

с(х-х0)к+с{х-х0)*Г«Я.

Но произведение двух бесконечно малых (x — x^fz

имеет порядок,

высший по сравнениям

(х ~х0)

, Таким

обра

зок

сс(х) =с(х -хв)к+

0[(х-х/].

Тогда при

, близких

х0

, сС(х) приближенно

рав

на своей

главной

части:

ос(х)^

с(-х-х0)к.

Причем,

чеы ближе

х0

, i . e . чей меньве

разность

('X—х^), тем точнее полученное приближенное равенство.

По

этому замена

бесконечно

малых

на их эквивалентные

использу

ется не только для вычисления

пределов, но и для

приближен

ного вычисления

значений

бесконечно

малых при значениях ар

гумента, близких к предельной точке.

Рассмотрим некоторые примеры нахождения главных

частей

бесконечно малых и использования

их для приближенных

вычис

лений.

чПример 1 .

Найти главную часть бесконечно малой

	ос fa:) = У4-	fit	при х —е> /.
	Простейаей бесконечно малой в данной аколе			является
(х-1).	Найдем порядок	ос(х)	относительно этой	бесхонечно
малой:
	i
при	К = у .
	Следовательно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ