Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

I V . Сумма бесконечно больших одного знака является бес конечно большой функцией того же знака в окрестности той же точки.


			Доказательство
	Пусть <j>,(x)^-+ °°	и	<ра №)—- +°*>			при х—>-х,.	Тогда		для
любого В =-П найдутся			такие	окрестности U,(x0 ) и и г ( х 0				) ,	что
для	всех х е и , ( х 0 ) , х ^ х о , выполняется					неравенство	i p ( ( x ) » - \| - ,
а для всех х е 1 1 г ( х 0 ) ,		х	^ х 0	-	неравенство ipa tx) =- -\|- .			Тогда
для	всех хеИ(х0 )=иДхв )пиг (хо ) выполняется неравенство
т . е .	функция \|(х)=^\х) + < f a ( x )				также стремится		к + =«»		при

х* " Х 0 .

	Если бы ( ^ { х ) - * — " о » ^ * ) — 0 0 при						х - « - х 0 ,		то,	проводя
аналогичные рассуждения,				мы получили			бы,	что	<рДх) +		так
же	стремится	к - «	при	х — » - х 0 .
	Здесь надо обратить внимание на						то,	что	речь	идет	толь
ко	о бесконечно больших			о д н о г о			з н а к а .				Если
¥/х) —•*-+ <х»,		a y , W — - ° ° t			то	теорема	неверна.			Например,
		« д х ) = У х * ч Т ,				фДх) = - х .		х		~ .
Тогда			'
Ч > Д х ) + Ч ' Л х ) = У х а * Г - х =				/ЧдЦ		- О при х — - + =					f
				у х	+1 + х
так как в знаменателе стоит сумма двух бесконечно										больших
одного знака,		т . е . знаменатель				стремится		к + » ,		поэтому об

ратная величина бесконечно малая. Теорема оказалась невыпол

ненной,

так как <рдх)—^ + »

а <рг (х)---

т . е .

мы взяли

сум

му двух

бесконечно

больших разных знаков. Если

бы в

канем

примере

х - » - -

* ,

то <p,tx)—*-+ ° «

>ч?(я) *••*•<*> в-ях

сумма,

по

—

доказанному, также

стремится

к +

т . е .

lim

(V х а + 4 -

х )

= * ««>

•

V. Сумма бесконечно больной и ограниченной

функций

я в

ляется бесконечно

больной в

окрестности

той же

точки.

Доказательство

Пусть <р(х) - бесконечно йол-ьиая, a J(x) - ограниченная функция в окрестности точки х 0 . Тогда существует такое час -

ло К »

что

дла всех

из

окрестностих0

|}(х)| ^

для

любого

можно указать

такую окрестность

U ( s 0

)

что

для

всех

х е

U . ( x 0 ) , х

х 0

выполняется

неравенство

|у(х)|=-Е

+ К

(так

как

Е -

любое

число,

то

Б + К

так

ие любое

число). Тогда для

x e l t ( x 0 )

х ф

х 0

If С») +;f(x)|»|(pix)|-|J(x)|:~(£ + K ) - K = E о

(так

как | j ( * ) ( « K f

то

- | J ( X ) | » - K ) 0

Это доказывает,

что функция

^ ( x ) + J ( x )

является

беско

нечно большой в

окрестности

точки

х „ .

Пример.

J(x) = x - 3 x

при

X " - » - " * 0 -

бесконечно

большая,

функция. Действительно, J(x)ssx(x -

, но ( х - 3 )

беско

нечно большая функция (постоянное числочастный случай

о г

раниченной функции), а произведение бесконечно больших

есть

также бесконечно

большая

функция. Итак,

t i m

( x a ,

- 3 s ) =

»о

а-О- Q O

§ Юо Вычисление

пределов

Теорема. Арифметические действия над функциями, имеющи

ми конечные

пределы.

Если

существуют

tim

t L m v(x)

= B ,

где

- конечные

числа,

то

существуют:

а )

предел

их суммы,

причем

Urn [U(x) + v(x)] = A + B ;

б) предел произведения, причем

Urn [lKx)-v(x)] = АВ ;

в ) предел частного, если Bj£ 0 , причем

Доказательство
Пусть t i m Щх)=А , 1»лп. v ( x ) s B .	Тогда,	по теореме § 3,
заданные функции можно предствить в виде
Щ х ) = А + о с ( х ) ?		( I )
v(x) = B + j H x )	,	(2)

где <Х(х)

и Jb(x)

бесконечно ыадые

в окрестности

точки

х 0 .

1) Сложим равенства ( I )

и ( 2 ) :

Щ х ) + v ( x ) = A + В + о с ( х ) + p i x ) .

По. свойству

3, (Ьс.(х) + Jb(.x)]

бесконечно

малая

окрестности точки

х „

. Тогда функция

f ( x ) = U ( x ) + v ( x ) пред

стает в виде суммы конечного

числа

(А + В )

бесконечно

малой [ot(x) + j i ( . x ) ]

По теореме §

число

(А + В )

является

пределом

функции

J ( x )

, т . е .

йтп

Г<Кх) * v ( x ) ] = А -*- В .

2) Перемножим равенства ( I ) и ( 2 ) :

u4x) - v(x) = AB + A £ ( x ) +

Bot(x) + ocCx)ji(x) .

Поскольку oc(,x)-jHx) - бесконечно малая по

1-му

след

ствию к свойству

П,

a A j b ( . x )

и В а.<х) - бесконечно

малые

по свойству П, так как постоянные числа

частный

случай ограниченных

функций,

то [ А - £ 1 х ) + й о ь ( х ) + о ц х ) ^ 1 х ]

также бесконечно малая в окрестности

точки

х 0

(по

свойству

1 ) . Хогда по теореме § 3 постоянное

число АВ

является пре

делом функции [ U ( x ) - v ( x ) ] ,

т . е .

u m ^ l U x ) -

v ( x ) ] = A - 3 .

3) Пользуясь

равенствами

( I ) и

( 2 ) ,

найдем

отношение

Щ х ) _ А + о с ( х ) v ( x ) ~ 6 + J H x )

Для того, чтобы опять применить теорему § 3, надо выде лить в правой -части равенства постоянное число , т . е . представить частное в виде

где
v[~\	А * * * » )	А_	В « х ( х ) - А ^ ( х )
™ ~ & * j ^ a ) ~		в ~	B [ B * J U x > ]
Рассмотрим,	что представляет		собой	у (ж)		.	В	числителе
дроби стоят бесконечно малая (свойства				П я	I ) .	В	знаменателе
B+j&(.x}-«»B (по	п. I доказываемой		теорема),		а	весь		знамена-

6 3

тель стремится к В ^ 0

(по п. 2 доказываемой теоремы). Тог

да

функция

stB + j i ( x ) ]

ограничена в

окрестности

точки

х 0

(теорема

§ 2,

гл.

Ш) и произведение

бесконечно

малой

[ B o t ( x ) -

A j i ( x ) ]

на эту

ограниченную

функцию

дает также

бесконечно малую (свойство П, §

3 ) .

Итак,

у ( х )

бесконеч

но

малая

окрестности

точки

х 0

Но тогда из равенства

( 3 ) ,

по

теореме

гл .

Ш,

следует,

что

является

пределом

функции

Щ±

т . е .

»•

Ц(х)

что и требовалось доказать. Пример.

l i m	Зх%-5 -	& \ $ х * 5	)
х-<	2 х - <	Eim (2 it -	О

_ U m 3 t L m x f l m i + Г ь т 5	_ ЗЧ - 4 + 5 _ д <
lLm'2 • lim х - U i u \	Z • { - I

Рассмотрим все возможные случаи, которые могут встре титься в вычислении пределов отношений, произведений и сумм.

При этом мы будем пользоваться свойствами	ограниченных,
бесконечно малых и бесконечно больших функций,	доказанными

в § 2 и 3 настоящей главы. Читателю рекомендуется каждый раз проверять, какое именно свойство используется при вычислении

конкретного предела.
Вычисление				предела		отношения		v ( x )
								v ( x )
I . U(x) —— А ,	А	и В	-	конечны, В ф О .
v (х) — В ,
Тогда, по	только		что		доказанной		теореме,
		х ! 1 ^ v ( x ) ~ В					'
2 . 1 Д х ) — - А # 0	,	А -	конечно.
v ( x ) ~ — Q .					.
Тогда
lUa) -		<			-	i		-—1	К \
v ( x )	"	jr^-v(x)			Ю*р . ) - (В . н . )			Ц.и.)	1 * ' ; '

т . е .

6 4
3 . ЩЖ)		<*о t
v t x ) — -			0 .
	Тогда
	v ( x ) - * w				V(X)
т . е .						U(x)
						U(x)
4 . Щ х ) — * - A			,	A - конечно.
v ( x ) — — =» .
	Тогда
		^ g r = u w - ^ 5 s t » > p - ) 4 » - N . j 8 f f . M . j ,
т . е .
5 . 1Дх)		« ,		T
V(x) — » -		В ,		В -	конечно.
	Тогда
		Ш1=			i	=	i	- _ L _ - , 5			X )
			v ( x )		_ i _ . V	( x )	(Б'.м.)чага.)		(§.м.)	v	' " »
т . е .
					Iu r nX o	-v ('x ) = °~ •
	Нк рассмотрели				все возможные		случаи,	кроме		следующих
двух:		Щ х ) — О ,					U i x ) - —
		Щ х ) — О ,				и	U i x ) - —
		v ( . х ) — О					v ( , x ) — « - »		,
	Покажем на примерах,					что здесь могут получаться различ
ные результаты в зависимости от вида функций.
	Пример I .
„	2£*-Згс			+ &		(за-О			х - 2	_	£

Пример 2.

					6 5
Прииер 3.
	.i	t*m/E		. °m.s	. $>
,	если		т"П,
	если		п{т,
	если	п	>	т .
В первых двух примерах кн	имели дело		с	отношением	бес

конечно малах функции, в последней - с отношением бесконечно

больших функций.

Как

показывают эти

примеры, заранее

ска

з а т ь , чеку

Судет

равен предел

отношения

бесконечно

калих

|,ли

бесконечно

больших,

нельзя. Поэтому такие выражения

называют

н е о п р е д е л е н н о с т я м и ,

их вычисление

р а с к р ы т и е м

н е о п р е д е л е н н о с т е й .

Сг-

иошение двух бесконечно

малых

называется

неоп^ед кленностьз

типа "ноль,

деленный

на

ноль",

и обозначается

( - 5 - ) -

'.Отноше

ние двух бесконечно Оольших-исопределейностью т.ша

" O I . C K O -

нечность,

деленная на бесконечность", и обозначается

,7^-).

Конечно,

обозначения

(-?-) л

•)

надо

понимать

с.:квол;;-

чеоки, так как под этим подразумевается отношение

функций,

стремящихся

к 0

или

к со

ни в коем

случае

не

отновение

двух чисел.

Методы раскрытия

неопределенностей, т . е .

методы

вычисления пределов отношения двух бесконечно ьалых ил;: двух

бесконечно

больших,

различны.

Некоторые

из них были

показаны

в примерах

I , 2,

Так,

если

в случае

неопределенности

(-^-)

ыогно разложить числитель и знаменатель

на сомяояитеяи,

то

среди сомножителей числителя и знаменателя обязательно

най

дется общий, который можно сократить,

так как предельная

теч

ка

х0

является

корнем

и для

числителя

и для

знаменателя.

Если числитель или

знаменатель

представляют собой

разности

квадратных

радикалов, то удобно использовать докножение

на

сопрягенное

выражение. Б случае неопределенности

( § 5 )

удоб

но

использовать вынесение

за

скобки

высшее степени

аргумен

та,

как

это

было

показано

в примере

поскольку

выражения,

оставшиеся

в скобках, стремятся к конечным числам,

отличным

от

нуля

(

бесконечно

малая

при

з е - * , * в ' ) .

Вычисление

предела произведения

и(х)

-v(x).

Так как любое

произведение

можно представить

виде

и(х)

частного и(х)у("х)

~ г ~ .то произведение двух функции

сво

дится

отношению. Мы ухе

выяснили,

что при вычислении

пре

дела

отношения

возможны только два вида неопределенностей

( - £ 2 - ) .

Гогда,

если и(х)

—*0 и -i-

<*0

, то

выра-

u(S)

vfX)

жение

является

неопределенностью

типа

i - | r - ) .

Но

W3EJ

стремление

vfxj

— О

означает,

что у(се)-»««ч

Поэтому

в прс>-

изведении мы имеем дело с произведением бесконечно

малой на

бесконечно

большую. Раз в

этом случае ш не

дожем

заранее

предугадать

результат

вычисления

предела,

то

подобнее

выра

жение также называется неопределенностью типа

"ноль,

умно

женный на бесконечность",

т . е . (О • » • ) .

Если и(<к)--с~=> и - ^ £ 5 »

т о

отношение

пред

ставляет

собой

неопределенность

v / f f - ) . Но

стремление

означает,

что v(x)—-О

. Тогда

произведение

u(x)v(x)

по-прежнему

является

неопределенностью ( О о о

) .

Поскольку

во всех остальных случаях предел

отношения

_ v

может

быть

определен сразу, то при вычислении предела произведения

воз

может только один вид неопределенности -

(.0 о о ) .

Покакем

на примерах,

как путеы

сведения

к неопределенности ( - ^О или

(-2S-) раскрываются такого вида неопределенности.

Пример I .

—2х

eimtfatt

- yxA+t)x=eim.

—.

- , ,

~ г д

;

=etm—"г

Пример

8 данной примере использованы				замена			переменных		67
8 данной примере использованы				замена			переменных	у	= .
= J £ - х	и основной	тригонометрический				предел,,
	Вычисление	предела	суши	[и	(ж)	+	У(Х-)]
Рассмотрим все		возможные	случаи,		которые могут			встре
титься при	вычислении	Eim [и(х)	*•	V(v:)l..

х- * ж в

1.и(х)-—А , А и о - конечные числа.

V(x)-> В

Тогда по теореме, доказанной в этом параграфе,

	eim		[u(v)+v(x)]=			А+В .
2.	Ч(Х)-*А )	^	_	K O H e q H O e
	По свойству			У, § 3, сумма бесконечно большой				и	ограни
ченной функций			является		бесконечно большой,		а по	теореме I ,
§	2 , и(х) -	ограниченная				функция. Тогда tim	[и(х)	+	Wx2£=*"?«
	vlx)—*	+		.
	По свойству			1У, §	3
	£LmCu(x'>			+	v(x)J = с « .
		•о

^У ( « ) — о с »

По свойству 1У, § 3

tim	[и(ж)	•+• у(ое)] =- <*©.
2С -»СС-
Нерассмотренныы остался один случай: и(ж)~»			,	ж ) - * - < » .
Покажем	на примерах, что такое выражение также			пред
ставляет собой	неопределенность.

Пример I .

Пример

6 8

В последнем примере использовало умножение на неполный квадрат суммы.

Итак, сумма двух бесконечно больших разных знпкл, такхе является неопределенностью, которую называют неопределенное.ь2

типа "бесконечность минус		бесконечность"		и об означают ч о °
Некоторые приемы раскрытия		таких неопределенностей				показаны
в примерах I и 2.					и сукна мы
Из анализа пределов отношения, произведения
получили четыре вида неопределенностей:				(-2- ) , ( 5 3 - ) *			( О * 0 0 )
и (оо -ео).			.	0
Основной трудностью при			вычислении пределов		различных
выражений является	раскрытие		этих неопределенностей,			так	кал
в остальных случаях значение предела может бить					указано		сра
зу» В дальнейшем,	при рассмотрении показательных				функций		uu

познакомимся еще с некоторыми видами неопределенностей. Кро ме того, сравнение бесконечно малых, которому посвящена сле

дующая

глава, дает нам возможность выявить еще один

прием

раскрытия неопределенностей

замену

на

эквивалентные

бес

конечно

малые, который оказывается весьма действенным

при

решении

примеров,

состоящих

из

тригонометрических,

показа

тельных

и логарифмических функций.

Контрольные

вопросы и примеры

1 .

Перечислите основные

элементарные

функции,

ограни

ченные

на всей числовой оси.

2 .

Покажите,

что

функция

—

^ограничена

на

всей

числовой оси.

Покажите,

что. функция

(х)-

— cos

не

ограничена

в любой

окрестности точки

«= 0 и не является

бесконечно

больной

при

эе

О • Постройте

график

этой

функции.

4 .

Докажите

на основание

определения, что функция

f(x)=

• а а

бесконечно

больная

окрестности

точки

--«о

при

О >

Й -бесконечно

малая

окрестности

той же точки

при

0<О</ч

5 .

Докаянте

на основании

определения

предела,

что

eim

= £ •

Представьте	функцию	_	' в	виде суммы своего Пре
		дам- л.
деда ж бесконечно	малой в	окрестности		точки* <=хз .

												69
	6. Вычислите			следующие пределы:
	а )	септ.			—•		•
	б)	Sim		2х*-х		4-3
	б)	Sim		ас3	— gac + S
		а-» во		ас3	— gac + S
	г ) u r n				^
	д ) Й т
	е) & т ж С / х * + / - ж ) ;
	%)€Lm					,
	з )			ftm		;
	и)		-	~ f		;
				Дополнительные				примеры
	ВЕРНАЯ Г.Н.			"Наука",		1969. Примеры В 196, 197, 198,						199,
211,	212,	215,	268,		270,	272,	277,	280,	286,	288,	292,	293,
295,	300,	302,	306,		309,	312,	379 ,	381,	382 ,	383,	384,	385.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ