книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

50

Теорема

ц.

о сжато*

функции.

Если

в

некоторой окрестности точки i

0

i ] ( x ) 9 J ( x ) * tf(x)

и существуют

t u n

Q(x) = A

и ?1тпф(х) = А

,

то

существует

х—Хо*

Х-»-Хв •

предел

функции

J(.x)

при х — « - х 0 ,

причем

lim

J(x)

= А .

Доказательство

х—х4

Так как

tLm. о(х) = А

и Ьт^ч>(х) = А ,

то существуют

такие

окрестности

точки х 0

U ( { x 0 )

и

0 г 1 х о

Ь

при которых для

всех

x e U 4 ( x 0 ) ,

X j t x 0

,

|а.(х)-А|«= £

и для

всех

x e i y x 0 ) ,

Х ф х „

|tf(x)-A|*£

( б = - 0

взято

любое,

но одно

и то же

для

обоих

неравенств).

Тогда для

всех

х е Щ х 0

) = и Д х 0

) п

и г ( х 0 )

,

х Ф х

„

,

оба

неравенства

выполняются

одновременно,

т . е .

А - ь

о д х ) < А + £ ч )

А - ь «« 4Ч 1 ) •« А + е .

Но, так

как

t j f x ) «

f (х) « чЧх )

,

то

А - е -«= f (х)

А + &

для

х е Ц ( х 0 ) ,

х

^ х

0 .

По определению

предела

это и означает,

что

существует

t o n

f i x ) = А .

1

* Теорема

доказана.

Замечание;

на

первый

взгляд возникает

впечатление,

что

теорема Ц непосредственно

следует из теоремы 2 о предельном пе­

реходе в неравенстве. Действительно,

если

заранее

предполо­

жить,

что

lim

J(x)

существует,

то

его численное

значение,

равное

А

^получается

сразу же при помощи предельного

пере­

хода в

неравенстве

Q ( x ) » J ( x > *

f 4 s

)

• Н о х

е

л о

Р а д

в

т о

м »

что

теорема

ч утверждает

с у щ е с т в о в а н и е

lim

J(x)

при условии

существования

пределов

функций а(х) и ip(x) .Поэто­

дела: если можно данную функцию заключить между двумя

другими

функциями, имеющими одинаковые пределы, то данная

функция

также имеет предел, равный тому же самому числу.

Пример. В качестве примера использования теоремы

о сжа­

дет и г р а »

больную роль в дальнейшем. А именно:

х— о

х

Эхо предельное соотношение совсем не очевидно. Ведь

и

часлахахь

и знаменатель дроби

стремятся к нулю п р и х - ^ Q .

По-

i « 0

s i

этому сама дробь

при

не имеет смысла. Однако,

исполь­

зуя теорему о сжатом функции,

можно доказать

это

предельное

соотношение. Действительно,

как было показано

в примере

Э § 3

гл . П,

при

х

,

близких к

нулю,

выполняется

неравенство

s i n

х

— х

-« ttj х .

Разделим

на

s i n х

все части

неравенства

(пусть

s L n i - 0 ) .

Тогда:

\ *

^ - 1 — .

siiti

х

cos х

Жди:

\ =-

» 1 п

*

~

COS X .

При х — 0

cosx—- { (пример 4, §

3, гл . П), а

постоянное

чисхо I

имеет своим пределом также I .

Тогда,

по теореме

о

сжатой

функции,

существует

lim

S

u I x

,

причем

llm

s i

,

T L x = \ .

Х-*-О

Х

X— о

1

Если

s i n х -*

0

,

то при делении

на sun х

меняется

зна­

ки неравенства,

что не меняет

последующих

рассуждений.

Доказанное предельное соотношение будет чрезвычайно час­

то использоваться в дальнейшем курсе,

поэтому

на него

нужно

обратить особое внимание. Этот предел

часто называют

о с -

н о в н ы ы

т р и г о н о м е т р и ч е с к и м

п р е ­

д е л о м .

§

8.

Ограниченные функции и теоремы

о них

Функция f ( х )

называется

о г р а н и ч е н н о й

на

множестве

X

,

если множество

значений функции для всех

х е

X

ограничено. Вспомнив

определение

ограниченного

мно­

жества

(введение),

данное

определение можно

сформулировать

иначе:

функция

| ( х ) называется

ограниченной

на

множестве

X

,

если

существует

такое

число

К *• D

, что для

всех

х е

X

выполняется неравенство

| J t x ) | т К .

Здесь надо обратить внимание на то, что понятно

ограшш-

ченной функции тесно связано с

множеством,

на котором мя рас ­

сматриваем эту функцию. Т . е . одна

и та же функция может

быть

ограниченном на одном множестве и неограниченно! на

друге*.

Например,

функция

u = t o ^ a x

ограничена на [\,

а ]

и яеогра-

52

яичена на (Q,<)

или [ < ,

+

«*=») .

Кслм функция не является ограниченно! на множестве

X

,

то она называется неограниченно!, либо иначе:

J ( а )

назы­

вается

н е о г р а н

и

ч е

н н

о е

н& множестве

X

, е с ­

ли для любого

числа

К »

0

важдется хотя

бы одно

* * « .

X

5

при котором

|J4x*)| "

К .

Примеры.

1 . f ( х ) =

s i n х

-

ограниченная функция на (-

<«», +

о * )

,

так

sax

| s i n

х

I в

< .

2 .

| ( х ) =

2 х

- ограничена

на [ 0 , 1 ]

,

так

как

2 * «

2

для

всех

х

«. £ 0 , 4 ]

,

во эта же функция -

к ограничена

на

[ 0 ,

+ °"о

)

.

Действительно,

для любого

К*» О

найдется

та ­

вр!

х * е

[ 0 ,

+ е е )

, при

котором

2 * * » К . Для

этого

до ­

статочно

взять

х *

—

toftjK

•

Зо f ( x ) = x - s i n

х

-

нвограничена

в

» )

.

Действи­

тельно,

из

графика

этой функции (рис. 43)

видно,

что

какое

би чхсдо

К » 0

ын н

взяли, всегда

найдется такое

х "

,

при

котором

f

( х * ) * -

К .

Ряс.

43

Теорема

I . Всякая функция,

нмеюяая конечный

предел

ар*

х — - i e

* ограничена

в окрестности точки

жа

„

Доказательство

Пусть t i m

f ( x ) = A j

где

А -

ковечкое

число.

По

оп­

ределению Epesex&s

для любого

найдется

такая

окрест­

н о е »

U ( s Q )

,

4so

для всех

x e U ( x B

)

,

х ^ х в

,

выоолня-

t

etc*

веравеиство

| f ( x ) - A l * £

,

53

т . е .

A - b - = j ( x ) - - A + £ .

Если

взять

К = ш'ьп[|А +£|,|А - £|} , то | J ( х )

К

для

всех х е

U ( x 0 )

, что в требовалось доказать (в

качестве

Теорема

2 .

Если существует

lim

j ( x ) =

А ,

причем

А^О,

то

-

ограниченная

функция

в

окрестности

точки х „ .

Доказательство

По определению предела,

для

любого

&

О

найдется

т а ­

кая

окрестность

точки

х „

,

что

для

всех

х д

из

этой

окрестности,

выполняется

неравенство

| f ( x ) - A | -

е ,

т . е .

А - е •* f ( х ) -« А + е .'

^ о г д

а

/ Г + Т *

/(х)

А - ь

в

0 К

Р е с т Н

0 С Т

И

точки

Х 0 .

Взяв

в

качестве

К = т ь п {_г£^_

»

r x ^ j j

"}»

получим вы­

полнение

неравенства! J ^ l «

К

в

окрестности

точки

х „

,

т . е .

-

ограничена

(в

качестве

£

мохно

взять,

на­

пример,

-

^

) -

§

9 .

Бесконечно малые

и

бесконечно

большне

функции

Функция

f ( х )

называется

б

е

с к

о

н

е

ч

н о

м а ­

л о й

в

окрестности

точки

х .

,

если

Vum f ( x )

= D .

Другими

словами, j ( x )

называется

бесконечно

малой

в

окрестности

точки

х с

,

есла

для

яюбого

е. => О

ыокно

ука­

зать

такую

окрестность

И ( х 0

)

,

чтобы ДЛИ всех

х е

U ( x 0

)

,

х

ф x Q

, соотзетствузаде значения функции удовяетворади бы

неравенству

i f ( x ) ! <

s .

В определении бесконечно малой функции надо

обратить

внимание

на

его

локальность,

т . е .

ва связь поиятвя бесконеч­

но шдой

с

точкой,

в

окрестности

которой

км

ее

рассматрива­

ем. Одна и %е> же функция мокет

быть

бесконечно

малой

в

ок­

рестности

одной

точки

и не

быть

бесконечно

малой в

окрест-

54

ностя. Например, £{з:)=х-

i

являете* бесконечно малой

в

окрестности

точки х =\

и не является бесконечно малой

в

окрестности

любой другой

точки.

ближении

х

к

х „

, но не означает численную малость

зна­

чений

функции

при любых

х

. Например,

функция

у = {о

х

бесконечно

малая

при

х —

4 ,

так

как

lim

х = 0

,

но при

х -

10

значение

функции

« I ,

а*при

*

= - щ

4(-|щ) =

» - 2 ,

т . е .

совсем не

маленькие

числа.

Понятие бесконечно малой тесно связано с определением

предела. Действительно,

если

йтп

J ( x ) = А ,

где

А

-

ко­

нечное

число,

то для

любого

e ^ f f "

существует

такая

окрест­

ность

точки

х „

,

что для

всех

х 0

из этой

окрестности

выполняется

неравенство

| f ( x ) - А |

ь .

I . e . функция

х . ( х ) = £ ( х ) - А

_ является

бесконечно

малой

в

окрестности

точки

х „ .

Итак,

если

fLm . J ( X ) =

А

> W

А

-

конечное

число,

то

${х)

=А + ос ( х ) ,

где

° с ( х ) -

бесконечно

малая в окрестности данной точки.

Справедливо

и обратное утверждение:

если

функцию

можно

представить

в

виде

суммы конечного

числа

А

и

бесконечно

малой ос ( х )

, то число

А

является

пределом

данной

функ­

ции. Действительно,

пусть

f ( х ) = А +

сс ( х )

,

где ы . ( х )

-

бесконечно

малая

в

окрестности

точки

х „

. Тогда, по

опре­

делению бесконечно

малой, для

любого

е

»

0

найдется

такая

окрестность

U 4 x „ )

,

для

для

всех

x e U ( x 0 )

,

х ^ х 0

,

вы­

полняется

неравенство

|ос(х)|<* б

,

т . е . | f ( x )

-

А !<• о

. Но,

по определена» предела, зто означает, что

t L m

j ( x ) = A .

Итак,

доказана

теорема:

х-*-х0

Для того, чтобы существовал конечный пре­

дел

Гьтп

$(,х) =

А

, необходимо и доста ­

точно,

чтобы функцию

j(x)

можно

было

представить

в

виде

суммы

|(х) = А + о с ( х )

,

где

o t ( x )

-

бесконечно малая

в

окрестнос­

ти

точки

х а .

Эта теорема фактически формулирует простое утверждение:

расстояние между функцией и ее

пределом

стремится

к

нулю при

ж — ^ - х в .

или

- {

при

a *= I .

Если

обозначить

8"=тп'ьп^и£ -

\\,\а

- М } ,

то

при|ас-1

выполняется неравенство |Eag п х|-=

£ , что и требовалось

дока­

зать .

2)

Докажем,

что

числовая

последовательность

a n = а "

яв­

ляется

бесконечно большой при |с^| — \ . Итак, требуется

дока­

зать,

что

Сто

|йЛ|=+оо .Возьыеы любое Б — О . По этому

Е

надо

найти

такой

ноиер N

0

, чтобы

при всех

n.=-N

выпол­

нялось

неравенство |t^n| »

G . Заменим

последнее

неравенство

равносильными:

Если обозначить

N =

\ -г-*—г

I

i т

°

при

п »

N

выполня-

ется

неравенство | a

| =-

Е

,

что

и требовалось

доказать.

Рассмотрим некоторые

с в о й с т в а

бесконечно

малых и бесконечно больших функций, которые

играют

сущест­

венную

роль

при вычислении

пределов

различных выражений.

I .

Величина,

обратная

бесконечно

малой,

является

беско­

нечно

большой

в окрестности

той

же

точки. И наоборот:

вели­

чина,

обратная

бесконечно

большой,

является бесконечно

малой

в

окрестности

той

же

точки.

Доказательство

Пусть ос ( х )

-

бесконечно

малая в

окрестности

точки х 0 .

Тогда

по

любому Е » D

найдется

такая

окрестность

U ( x „ )

,

что для

всех

x e l l ( x 9

) ,

х 0

,

выполняется

неравенство

|ос(х)|ч

- j r

( -|г-

играет

роль

г, •» 0

;

так

как

Е -

любое,

то

£

-

также

любое

число). Тогда для

всех

х е Ц ( х 0 ) , х ^ я с в ,

|оЦх) \~ |ос(,х) [ ' ^

• So

это,

по

определению

бесконечно боль­

шой,

и означает,

что

о с | ж )

-

бесконечно больиая

функция

в

окрестности

точки

х а

.

Обратное утверждение доказывается ана­

логично (докажите его сами).

Пример. Так как

(j = s l n х

-

бесконечно

малая

функция

в

окрестности

точки

х „

-

0,

Toij = c o s e c x - бесконечно большая

в

окрестности

той

же

точка.

58

П. Произведение бесконечно налов на ограниченную

функ­

цию является

бесконечно

малой в окрестности той же точки.

Доказательство

Пусть

оЦх)

- бесконечно

малая, а ц>1х ) -

ограниченная

функция

в

окрестности

точки

х Q .

Тогда

существует

такое

чис­

ло

К =-

0

,

что

для

всех

i e l l (

( i o

)

выполняется

неравенство

|<р(х)|=к

К

,

и дл« любого

£ — 0

существует

такая

окрест­

ность

и г

( х 0

)

,

что

для

всех

l e U ^ x , ) ,

х ф х 0

,

выполня­

ется неравенство |oc(x)|«t — -

•

Если

брать

х е и ( х 0

) = Ц<(х 0 )п1Цх а ), х

=± хи

, то

выпол­

няются оба

неравенства.

Тогда

| й с ^ ) - ч ? ( х ) | = | о с ( х ) Н ч ^ х ) | ~ - ^ к = £ .

Т . е . для

любого

£,»

О

мы нашли такую

окрестность

1 Ц х 0 ) ,

что для

всех

х е Щ х 0

) ,

х

ф х 0 ,

1-аполня-лся

неравенство

|oc(x)-if(x)| -=

£

. Н о

это,

по

определению

бесконечно

малой,

и

означает,

что

функция

J(x) = octx)-ij>(x) -

бесконечно

малая

в

окрестности

точки

х 0 .

Пример,

- f t x ^ i n ^ x

_

бесконечно

малая

в

окрестности

точки

х . =

=>о

, т . е .

l i t n

S L

" £

= Q

,

так

как

^—

-

бесконеч-

но малая (свойство I ) , a

s i n х

-

ограниченная функция,

х о ­

тя

lim

sin х

вообще

не

существует.

Следствия.

1) Произведение любого конечного числа бесконечно малых

является

бесконечно малой

функцией

в окрестности

той

же

точ­

ки.

Действительно,

если

взять

сначала

две

бесконечно

малые

оС,(х)

и

« - г ( х ) , то

одну

из них можно принять за ограничен­

ную функцию, так как всякая функция, имеющая конечный

пре­

дел, ограничена в окрестности дайной точки

(теорема

I ,

§ 2,

гл . Ш). Тогда, по доказанному свойству,

произведение

о с , ( х ) *

o t a ( x )

-

бесконечно

малая

функция. На любое

конечное

число

сомножителей это следствие распространяется по методу

мате­

матической, индукции. Например,

если |{х) = ссДх).. ,otn

( ( x ) o c a ( x )

ц произведение осДх).. . ос^ ( ; . х ) - бесконечно малая, то

по

только

что

доказанному,

и

j ( x )

также

является

бесконечно

малой

в

окрестности точки

х 0 .

2)

Произведение

любого

конечного числа бесконечно

боль- >

59

ших является

бесконечно большой

функцией в окрестности

той

же точки.

Рассмотрим сначала две бесконечно большие функции

tp(tx)

и (ра(, х ) .

Тогда

У,(х)->ра (х) = — |

{ —

•

<?,W

<pa U)

-

N° ip (х)

1 1 ч>г(х)

- бесконечно малые в окрестности

точ­

ки х о (по I-1'у свойству), и лх произведение

также является

бесконечно

иалой (по 1-му следствию). Но тогда обратная

им

величина

-

бесконечно

большая

(по 1-ыу свойству).

Эти

рассуждения

можно кратко записать так:

На любое конечное число сомножителей это следствие

рас­

пространяется

по методу

математической

индукции

аналогично

1-му следствию (проделайте это сами).

Ш. Сумма любого конечного числа бесконечно малых

явля­

ется

бесконечно малой

в окрестности той же точки.

Доказательство

возьмем сначала две бесконечно малые в окрестности точ­

ки х 0

: оС,(х)

и oCj,(x)

. Тогда

по любому £ =• 0

HOSHO

ука­

зать такие окрестности

U , ( i 0 )

и

и г ( х 0 ) ,

что для всех

x e U ^ i j ,

х ^ х 0 , выполняется

неравенство

|хдх)|«=

, а для

псех

х е и г ( х 0 Ь х £ х 0

- неравенство 1аг (.1)|

4р . Если

Зрат*

х е 1 Ц х 0 ) = и , ( х 0 ) п

U 4 ( x 0 ) , х ф х 0 ,

то выполняются

оба

неравен­

ства одновременно, т . е .

K l x )

+ <*a lx)| *

|*,(х)| + |оса (х)|* -f- + -§- = £ -

Так как

£ »

Q

-

любое число, то это и означает,

что

функция f(x)=oC^x)+«.(x)бесконечно

малая в окрестности

точки

На любое

конечное

число слагаемых

это свойство

расп:-з-

страняется по методу

математической индукции (проделайте эг~

сами).