книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

42

Пример 4.

Докажем,

tlm

cos х

= \ .

что

~~

*—о

По

определению

пределе,

нам нули о

показать,

что для

лю­

бого

0

существует

такое

В"»

0

,

при котором для

всех

х

,

удовлетворяющих

неравенству

|х|«* Ь

,

с о о т в е т с т в у е т е

значение

функции удовлетворяет

неравенству

j

c o s t

-

I

H

t .

Но

J C O S X -

J j= 1 -

ft x

i

a

х

а

CQSS = 2 SbTl ~

™ = - y - •

Тогда, если

°"г

£

»

то

требуемое

неравенство

будет

заполнено. Д м

этого

достаточно

взять

| x | ^ y i T

,

т . е .

?Г

*

- / I s .

Так как дяя любого

ь — 0

по это! формуле можно вычис­

лить

соответствующее

о" »• 0

,

то

соотнощение

J i m

tos х

= <

доказано.

х """ 8

Дршер 5 .

Докажем,

что

f l m ate

s i n х

= 0 .

—————

х-—• О

Для любого

е -

0

должно существовать

такое

о

-

и

,

чтобы

из

неравенства

|х|«= &

следовало

неравенство

| а г с s i n х | •« t .

Преобразуем последнее

неравенство

- £ -ж а г с s i n х

е ;

s i n ( - с ) •« х ~» s i n е ;

- s i n ь

х

s i n £ ;

|X J «e|5lnb| .

Если

положить

& =-|sln ь

|

,

то

требуемое

утверждение

доказано.

§ б. Предел числовоЯ

последовательности

В §

2

г л 0

I вводилось понятие числовоЯ последовательнос­

ти

как «гаегяого

вида

функция натурального аргумента.

Тогда

понятие

предела

функция,

донное

в

§ 2 настоящей главы, приме­

нимо и Е ЧИСЛОВОЕ последовательности

(варианте)»

Рассмотрим

подробнее

этот

вопрос.

Пусть

вам

задана

числовая

последовательность

a п

,

я в -

43

кое множество имеет единственную предельную точку

+

«о

(ем.

пример 3, § I , гл. Н).

Следовательно,

предел

числовой

последовательности

може?

рассматриваться

только

пра

п—<-+ « > .

Окрестностью

предал»»

ной точки + сю

является промежуток

( N , + оо

) э

а

араяад-

лекность

аргумента

п

ЧИСЛОВОЕ

последовательности

а п

8К0Й

окрестности можно запасать

неравенством

п. з-

N .

2ах

кав

п

может принимать значения только целых чисел,

те

естественно

величину окрестноетш также определять целым числом

Н

,

т . е .

номером.

Если предел числовой последовательности равен

конечному

числу

а

, то

значения

числовой

последовательности,

начиная

с некоторого номера, должны попадать в зад&нкув

окрестность

точки

а

. Если обозначить

величину

этой

окрестное?»

числом

2ь »

0 з

то принадлежноегь

значений

числовой

последователь­

ности

а п

указанной окрестности

можно выразить

неравенством

|а„ -

а

| -

Б .

Окончательно определение

конечного

предела

числовой

по­

следовательности

примет

следующие

вид.

Число

а

называется

пределом

числовой

по­

следовательности

а п

,

если для

любого

£, *

0

можно указать

такой

номер

N »

D ,

при котором для

всех

п, — N

соответствую­

щие значения

числовой

последовательности

Геометрически

это

означает

следующее: для любого £ » О

можно указать такой

номер

N ,

при котором для

всех

n

» N

соответствующие

точки

на

числовой

оси

а - а

оказываются

отстоящи­

- Н

1

1

I

I n . .

ми от

о

на

рас -

Q

)

а ^

„

„

„

стояние,

меньвее

е

-

(рис.

4 1 ) .

Р и с

41

Пример I . Докажем, что варианта

н я = ^

при | а| «« \

стремится

i

о

/

О).

Равенство

U m ^ o ^ r U

означает,

что,

начиная с

некоторо­

го номера,

должно выполняться

неравенство 1 ^ - 0 1

*« б

для

любого ь

"

0

, т . е .

Itj.ln<£

.

Прологарифмируем это неравенство по любому

основание,

например,

по основанию

10:

п

Ц\у\ *Ц

Б

( Ь

»

0 ) .

чч

Выразим

отсюда

п

,

т . е .

разделим

обе

части

неравенства

на

число

&}|t}|

.

Заметим

при этом,

что

&^|а/-* Q

,

так

как

|

| «•= )

.

Тогда

•п.

3

•

Если

вэать

в качестве

N

целую часть

выражения

в

пра­

вой

части

неравенства: N = £ J - ^ ^ | |

(целая часть числа

ж

обо­

значается

& { х }

, например,

£ ^ , г } = {-,

& { 2 - | } = 2

и

т . д . ) ,

то

для

п

г» N

выполняется

первоначальное неравенство |^п \"" Ь .

Так как полученная формула зависимости номера

N

от

&

да ­

ет

возможность

вычислить

N

для

л ю б о г о

й »

О ,

то

это

и означает по определению предела,

что

f l m

о^Л

=

0 .

Не следует

думать,

что все

числовые

последовательности

к

чему-нибудь

стремятся,

т . е . имеют пределы.

п

Например,

числовая

последовательность

а Л = ( - < )

ни к

че ­

му не стремится.

Это ясно

из

графика этой

числовой

последова­

тельности

(рис.

4 2 ) .

При

четном

п = 2к

(

к

> 1 , 2 , . . . )

все

значения

число­

вой

последовательности

равны

+ 1 , а

при нечетном

а = 2 к -

<

все

значения

а „

равны

-

I

. Следовательно,

значения

c t n

не

приближаются ни к какой точке

на числовой оси, т . е .

а

не

^ ^

g

+ ^

имеет

никакого предела.

Н-редея числовой посяедо-

Рис*

^2

вательности,

так

же

как

и лю­

бой

функции,

может

быть

и бесконечным. Ясно, что в этом

слу­

чае

определение

предела

числовой последовательности

должно

бать несколько

изменено

в

соответствии

с общим

определением

предела

функции,

данном

в

§ 2,

гл . П.

Например,

Vim

а -

+

<=*»

,

если

по любому

£ = - 0

можно

указать

таков

номер

N »

В

, аря

котором для всех

п

э» N

соотязтстэузщшз

значенкя

п п

удовлетворяют

неравенству

п п » Е .

Аналогично,

1'ит

а

= -

,

дели

по любому

б => 0

можно

уа&эать

г а в о !

предел

N

0

,

при котором

для всех

п

*• N

соответствующие

значения

а п

удовлетворяют

неравенству ап -« - Е ,

Дрниэр 2 .

Пожааем,

что

{ i m

пг=

+

°=» .

Дэаетвнгэагао,

нераванстео

теа »• Б

выполняется

для

Г л а в а

ш

ОСНОВНЫЕ ТВОРЕНЫ О ФУНКЦИЯХ, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛЫ

§ 7.

Основные

свойства

пределов

Теорема

I . Единственность

предела.

Если функция

J ( i )

имеет

предел

при х — » - х 0

,

то

он

единственен.

Доказательство

Докажем

теорему от противного, т . е . предположим,

что

с у ­

ществуют два

различных

предела

liw.

f ( x ) = A

и t i m

J ( x ) = f t

,

причем

А ф В .

х— х 0

* — х

0

Пусть, например, А-»: Ь .

Тогда,

по определению предела, для любого

£ » 0

сущест­

вует

такая окрестность

И, (

х 0

) , при которой

для

всех

х е . и Д х „ )

, х ^ х 0 ,

выполняется

неравенство | J ( x )

-A|-« е .

Аналогично,

для

того

же самого

£ » 0

существует

такая

ок­

рестность

U 4 ( x 0

) ,

при

которой

для

всех

x e U a ( x 0 )

, х ^ х в ,

выполняется

неравенство

| f ( x ) - B | ^

£ .

Если

из

двух

полученных окрестностей

выбрать

наименьшую,

т . е . взять

U ( x 0 ) = U (

( x 0 )

П 1 1 г ( . * в )

,

то

для всех

х

e H ( i J

выполняются

одновременно

оба неравеаства. Перепишем

их

в сле ­

дующем виде:

е •« J(x)

А -

А • £ ,

В -

£

«= Ць)"

В + & •

Так как

& »

0

-

любое

число, те мехяо положить

его

равным £.=

(

В »

А , поетвму t — 0 . ) .

Тогда

полученные неравенства принимает вид:

48

А + 6

_

^

З В - А

f

т . е . для

всех ж е

U ( х 0 ) ,

i

фх0

f (х) «= - ^ р -

и ; f ( x ) = - А

* В

одновременно, что невозможно. Итак, предположение

А «= В

при­

вело к абсурду. Если предположить,

что

А =»• В

,

то

повторяя

аналогичные

рассуждения,

опять

подучим

противоречие

(в

этом

случае надо

только

взять

е = -А

~ 2 в

) .

Следовательно,

наве

предположение

о том,

что

А ф В

неверно, т . е . функция

не

может

иметь

двух

различных

пределов

в одной точке, что и требовалось

доказать.

Теорема 2 . Предельный переход в неравенстве.

Если

в

некоторой

окрестности

х 0

J(x)

35

t } ( x )

и

сущест­

вуют

u m

f ( x ) = А

и

Clm

qCx)= В ,

ю

А «

8 .

х — s 0

х—х0 а

Доказательство

Так

как

lim

f ( x ) = A

и

llm

д ( х ) =

В

,

то

существуют

Х~Х 0

Х^-Хо»

окрестности

U 4 l x 0 )

и

Иг (я„)

$

в

которых

выполняются

нера­

венства:

| f ( x ) - A j -

£ ;

- & •

Взяв

по-прежнему

U ( x 0 ) = U,(x0 ) П К г

( . х 0 ) ,

получим,

что

для

всех

х е

И ( х 0 ) , х

ф х 0

,

выполняются

одновременно

оба

нера­

венства,

т . е .

А - ь

-=

ftx)-=

А +

б

,

Будем доказывать теорему

от

противного, т . е .

предполо­

жим, что А » Ь . Тогда, взяв

ь =

~ в , получим

Т„е . для всех

х е

U ( x 0

) , х # х 0

должны одновременно выпол­

няться неравенства

А + В

2

9 U )

А + В

что

невозможно,

так

как

j ( x ) a j о Д х )

в окрестности точки. Тео­

рема

доказана.

49

Замечание; доказаввая теорема утверждает, что в неравен­

стве f ( i ) a i

п ( х )

меано

переходить

к пределу

{Vim

f(ac)«tLm g(x)

(если, конечно, соответствующие пределы существуют). Это, од­

нако,

не

означает,

что

из строгого неравенства между функция­

ми следует

с т р о г о е

неравенство

между

их

пределами,

т . е . ,

если j ( x ) « - e ( x )

в

некоторой

окрестности

точки

х „ ,

то

все равно

Vim

» -

£ ( х ) ч

tim

q(x),

так

как

и неравные

между собой

я —

x-*-s-«

3t-Xg

S-Kg<

фуакщш могут иыеть одинаковые пределы

Пример.

j ( x ) = 1 - J L

и

+ l

при

X » D

связаны

неравенством

J ( x ) «

g ( x ) . Но

tLm

f(x) = ti,m

q(x)=«,

т . е .

tim

J(x) =

t L m

q ( x ) .

Теорема 3. Предел суперпозиций".

Если

f{x)

и а Ц )

таковы,

что

можно

образовать

их

с у ­

перпозицию J ( x ) = Q [ ; f ( x ) ]

,

и существуют

{Lm f (х)= А и u m оДц)= В ,

причем

точка

А

является предельной

точкой

области

задания

функции оДу)

,

то

существует

предел

суперпозиции при х—^х

,

причем

.

<г

о

'

Сьтп

f ( i ) = U m

оТ}(х)1

= £ l m

оДц) = В .

х — х 0

х — i 0 * L

у-а * 1

Доказательство

Возьмем

любую окрестность

точки

В

- 1 Д В )

. Так

как

с у ­

ществует

Cun о.(.ц) -

В

,

то

по

этой

окрестности

можно найти

т а ­

кую ожрестность

точки

А

-

U(А) ,

при которой для

всех^еЦ(А) 7

i | ф А

,

соответствующие

значен НЕ (j(i^)e

и (В)

. Но

так как

с у ­

ществует Urn f ' ( x ) = А ,

го

по найденной окрестности

U(A) мож­

но указать "такую

окрестность

точки

х 0 -

Щ х 0

)

,

при

которой

для Bees

х е

U ( x 0

) , х

f

ха

, соответствующие

аначення }(х)е ц(А) .

Итак, по лзооа

окрестности

1ДВ)

можно

найти

такую

ок­

рестность

Щ ж 0 )

,

при которой

для

всех

s e l l ( x 0 )

,

« ^ i „ ,

(j(i|)=

е

М{Ъ)

. Но это и означает по определению пре­

дела,

что

точка

В

является

пределом

суперпозиции

? ( х )

»

» fjLJfc)]

»ри

ж — х „ ,

что и требовалось доказать.

Пример. Ранее было доказано, что

Urn^ (кх + а ) = к х , +Ь

и

?Lm swn х = 0

(примере

I

,

3

из

§

3,

гл . ufT

0

Тогда,

используя

теорему

о пределе

суперпозиции,

можно

вычислить

й т п cos

х

. Действительно,

tim

COSх

= t l m sinf-S- - s ) = t i , T n

s l n q

= 0 ,

3

=Щ- -

X .

x ~ f

x ~ §

V 2

' • '

8